劉煥兵，陳 翔，姜 暉

(合肥電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037)

低密度奇偶校驗(LDPC)碼[1]已成為當今信道編碼領(lǐng)域的研究熱點之一，其隨機化編碼思想和概率迭代譯碼算法使其具有逼近香農(nóng)限的性能，與Turbo碼一起成為當今性能最優(yōu)越的糾錯碼，具有較高的研究價值。LDPC碼和Turbo碼都能達到逼近香農(nóng)限的性能，Turbo碼能實現(xiàn)線性編碼復(fù)雜度，但譯碼復(fù)雜度比較高;LDPC碼能實現(xiàn)線性譯碼復(fù)雜度，但編碼復(fù)雜度較高。而IRA碼不僅是一類“Turbo－like”碼—串行級聯(lián)卷積碼，而且是LDPC碼的一個子類，集合了兩者的優(yōu)點，既能實現(xiàn)線性編碼復(fù)雜度，又能實現(xiàn)線性譯碼復(fù)雜度，Hui Jin等人提出的IRA碼具有簡單的原模圖和優(yōu)越的次數(shù)分布對。本文在其基礎(chǔ)上，結(jié)合準循環(huán)碼的方法，對每個子矩陣進行具體設(shè)計，構(gòu)造出碼長靈活可變、性能優(yōu)越的LDPC好碼。

1 原理

1.1 低密度奇偶校驗碼

LDPC碼是一種(n，k)線性分組碼，碼長為n，信息序列長度為k，可以由校驗矩陣H唯一定義[2]。H的維數(shù)是m×n，每一行對應(yīng)一個校驗方程，每一列對應(yīng)碼字的一列。每一行和每一列中非零元素的個數(shù)為行重、列重。式(1)是一個5×10的校驗方程，其中碼字c=(c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7，c8，c9，c10)∈C，滿足 H·c=0，即

除了用校驗矩陣表示LDPC碼以外，還可以用雙向的模型圖表示，其中Tanner圖表示是比較方便的一種，可以形象地描述LDPC碼的編譯碼特性。圖1是與式(1)對應(yīng)的 LDPC碼的 Tanner圖，包含變量節(jié)點(VN){bj，j=1，2，…，n}、校驗節(jié)點(CN){ci，i=1，2，…，m}和連接它們的邊，其中VN對應(yīng)校驗矩陣H的列，即碼字的每個碼元，CN對應(yīng)H的行，即每個校驗方程，第j個VN和第i個CN有連接的邊就意味著H的i行j列元素不為零。與第j個VN相連的邊的個數(shù)稱為該變量節(jié)點的度或次數(shù)(degree)，等于H第j列的列重與第i個CN相連的邊的個數(shù)稱為該校驗節(jié)點的度或次數(shù)，等于H第i行的行重。

圖1 LDPC碼的Tanner圖

LDPC碼的環(huán)定義為Tanner圖中由VN，CN和連接它們的邊首尾相連組成的閉合環(huán)路，次數(shù)分布是指具有相同次數(shù)的節(jié)點所對應(yīng)的與之相連的邊占總邊數(shù)的比例。短環(huán)和次數(shù)分布對是影響非規(guī)則LDPC碼性能的兩大主要因素，在LDPC碼構(gòu)造時，要盡量避免環(huán)尤其是短環(huán)的出現(xiàn)。

傳統(tǒng)的LDPC編碼主要采用高斯消去法編碼。用給定的M×N的校驗矩陣H，編碼后得到的碼字c應(yīng)滿足HcT=0。LDPC碼的高斯消去法產(chǎn)生如圖2所示的下三角矩陣。若將c分成兩部分，即s代表信息序列，p代表校驗序列，則系統(tǒng)編碼可分為兩個步驟:第一步將長度為N－M的信息序列直接給s賦值，第二步通過后向遞推得到p，其中第i個校驗比特pi為

高斯消去法編碼復(fù)雜，需要進行的運算量為N2。

圖2 高斯消去法

1.2 非規(guī)則重復(fù)累加碼

Hui Jin等人提出IRA碼是一種簡單的類Turbo碼，同時也是一種特殊的LDPC碼，這種碼編碼簡單，僅由重復(fù)器、交織器和累加器組成，譯碼可由高速并行的置信傳播(BP)譯碼器實現(xiàn)，從而實現(xiàn)了線性的編譯碼復(fù)雜度。

IRA碼是由一個重復(fù)器和一個累加器，中間級聯(lián)一個交織器組成，其編碼原理如圖3所示。長度為K的信息序列進入重復(fù)q次，然后經(jīng)過一個交織器，隨機交織，最后經(jīng)過累加器進行累加，最后輸出校驗序列P。

圖3 IRA碼編碼原理

IRA碼可以由原模圖表示，即節(jié)點數(shù)量較少的Tanner圖，如圖4所示，通過原模圖進行“復(fù)制—置換”操作，可以得到任意大小的Tanner圖。原模圖用G=(V，C，E)表示，其中V，C和E分別是其變量節(jié)點、校驗節(jié)點和邊的集合。

圖4 非規(guī)則重復(fù)累加碼的原模圖

1.3 準循環(huán)構(gòu)造方法

一些線性分組碼(n，k)的碼字循環(huán)移位n0(n=zn0，k=zk0)次后得到的仍是該碼的一個碼字，這類碼稱為準循環(huán)(QC)碼[3－4]。準循環(huán)碼的校驗矩陣完全由其前k0行決定，編碼也可用移位寄存器實現(xiàn)，降低了編碼器的復(fù)雜度。其循環(huán)右移過程如圖5所示。

圖5 準循環(huán)碼的循環(huán)右移過程

2 設(shè)計方案

首先通過文獻[5]中給出的原模圖得到次數(shù)分布對和未具體設(shè)計子矩陣的基校驗矩陣，然后通過準循環(huán)的方法對子矩陣進行具體設(shè)計，最后對校驗矩陣進行去四環(huán)優(yōu)化。

2.1 IRA碼

非規(guī)則重復(fù)累加碼的原模圖由圖4給出，可以看出原模圖包含6個變量節(jié)點，3個校驗節(jié)點、邊數(shù)，將其轉(zhuǎn)換到校驗矩陣形式，得到校驗矩陣的列重分別為 3，4，3，2，2，2，行重分別為5，6，5。可以由其設(shè)計校驗矩陣Hm×n(m=3，n=6)，表示為

式中:Π1代表列重為1的子矩陣，Π2代表列重為2的子矩陣，0代表全零陣。IRA碼的次數(shù)分布對為

2.2 子矩陣設(shè)計

對于列重為1的子矩陣，利用單位矩陣進行循環(huán)右移，對于列重為2的子矩陣，利用雙對角線陣進行循環(huán)右移，如圖6所示，全零陣保持不變。

定義基準矩陣Bm×n(m=3，n=6)為子矩陣循環(huán)右移次數(shù)的集合，其表達式如式(5)所示?；鶞示仃嘊m×n對應(yīng)檢驗矩陣 Hm×n，如果 b1，1=12，則代表 Hm×n中第一行第一列個子矩陣循環(huán)右移次數(shù)為12

圖6 雙對角線陣循環(huán)右移過程

單位陣、雙對角線陣、全零陣都是z×z方陣，z的大小可靈活選取，從而構(gòu)造碼長不同的LDPC碼。

2.3 去四環(huán)優(yōu)化

LDPC碼的環(huán)[6]是指Tanner圖中由變量節(jié)點、校驗節(jié)點和連接它們的邊首尾相連組成的閉合環(huán)路。環(huán)長是指其中包含的變數(shù)，環(huán)長最小值為4。四環(huán)是影響LDPC碼性能的重要因素，因為Tanner圖中的環(huán)特別是長度較短的循環(huán)使譯碼不充分，使節(jié)點之間傳遞的外部信息的獨立性減小，減低了抗干擾能力，從而使譯碼算法無法收斂到一個最優(yōu)的譯碼效果，造成了性能的下降。

為了進一步提高碼的性能，對校驗矩陣進行去四環(huán)優(yōu)化。本文構(gòu)建校驗矩陣使用的子矩陣是單位陣和雙對角線結(jié)構(gòu)的準循環(huán)矩陣，結(jié)合單位陣、雙對角線陣、準循環(huán)的特殊性，所以只要滿足以下兩個條件，校驗矩陣中就不會出現(xiàn)四環(huán):

1)對于由單位矩陣得到的循環(huán)右移子矩陣，應(yīng)滿足

式中:1≤i＜i+m≤3，1≤j＜j+n≤6。

2)對于由雙對角線矩陣得到的循環(huán)右移子矩陣，應(yīng)滿足

式中:1≤i＜i+m≤3，1≤j＜j+n≤6。

在產(chǎn)生B基準矩陣后，經(jīng)過驗證，如果不滿足以上條件，則重新生成，直至產(chǎn)生不存在四環(huán)的B基準矩陣，本文使用的基準矩陣如式(8)所示，經(jīng)驗證，滿足以上條件

3 仿真結(jié)果及分析

在加性高斯白噪聲信道(AWGN)中，采用二進制相移鍵控(BPSK)調(diào)制，置信傳播譯碼算法迭代50次，驗證算法構(gòu)造LDPC碼的的性能。

仿真1:比較碼長變化時碼的性能。將子矩陣大小z取值25，50，100，200，從而構(gòu)造碼長為 150，300，600，1200的碼，對其進行性能比較，其結(jié)果如圖7所示，可以看出，當碼長變化時，碼的性能始終保持在一個較好的范圍之內(nèi)，雖然碼長變化，但次數(shù)分布對并沒有改變，四環(huán)也沒有增加。隨碼長增加，碼字性能逐漸變好。

圖7 碼長變化靈活的非規(guī)則重復(fù)累加碼的誤比特率性能

仿真2:比較去四環(huán)之前與去四環(huán)之后碼的性能。z取值100，碼長為600，仿真結(jié)果如圖8所示，可以看出優(yōu)化去四環(huán)之后，碼的性能有了明顯的改善，去四環(huán)之前，LDPC碼的誤差平層較高，在高信噪比區(qū)域曲線下降的趨勢變緩，從而證明了四環(huán)是影響LDPC碼重要因素之一。

圖8 去四環(huán)之前與去四環(huán)之后的碼性能仿真圖

仿真3:比較算法構(gòu)造的LDPC碼與IEEE 802.16e標準規(guī)定的LDPC碼性能。z取值100，碼長為600，IEEE 802.16e標準規(guī)定的LDPC碼碼長為576，其仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9比較了算法構(gòu)造碼與IEEE 802.16e標準規(guī)定的LDPC碼性能，可以看出，本文構(gòu)造的LDPC碼與標準中規(guī)定的LDPC碼性能極為接近，當誤塊率為0.01時，差距在0.5 dB以內(nèi)，說明所構(gòu)造的LDPC碼也達到了逼近香農(nóng)限的性能。

圖9 算法構(gòu)造的LDPC碼與IEEE 802.16e標準規(guī)定的LDPC碼性能比較

4 小結(jié)

本文在一類IRA碼優(yōu)越的次數(shù)分布對基礎(chǔ)上，利用準循環(huán)碼原理具體設(shè)計了基校驗矩陣，并進行了去四環(huán)優(yōu)化。通過仿真結(jié)果和理論分析可以得到，利用算法構(gòu)建優(yōu)化的LDPC碼，碼長變化靈活，性能比優(yōu)化前有明顯提高，十分接近IEEE 802.16e標準規(guī)定的LDPC碼性能，在電視信號傳輸領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。

[1]GALLAGER R G.Low－density parity－check codes[EB/OL].[2011－08－09].http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/ldpc.pdf.

[2]袁東風(fēng)，張海剛.LDPC碼理論與應(yīng)用[M].北京:人民郵電出版社，2008.

[3]FOSSORIER M P C.Quasicyclic low density parity check codes from circulant permutation matrices[J].IEEE Trans.Information Theory，2004，50(8):1788－1793.

[4]劉春江，吳智勇，于新，等.一類準循環(huán)LDPC碼的快速編碼方法[J].電視技術(shù)，2007，31(6):11－13.

[5]JIN H，KHANDEKAR A，MCELIECE R.Irregular repeat－accumulate codes[EB/OL].[2011－08－09].http://www.ee.caltech.edu/EE/Faculty/rjm/papers/Brest00.pdf.

[6]陳翔.LDPC碼鏈路自適應(yīng)技術(shù)研究[D].北京:北京理工大學(xué)，2009.

[7]龔昊，龍滬強，張羅鳴，等.一種低誤碼平層的LDPC碼的構(gòu)造與實現(xiàn)[J]. 電視技術(shù)，2008，32(S1):106－109.