安景新 徐 林 劉 忠 張國棟

（海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院指揮自動化系 武漢 430033）

1 引言

一種新型炮彈在列裝艦艇之前，一項重要的工作便是為火控計算機(jī)裝訂其射表。各種火炮及其配屬的每種彈丸均有各自的專用射表。編制射表的標(biāo)準(zhǔn)條件是在建立和求解彈道微分方程組時對初始條件及其有關(guān)參數(shù)規(guī)定的一組標(biāo)準(zhǔn)值。射表編擬的基本原理是理論與試驗相結(jié)合，即用實驗結(jié)果對理論彈道進(jìn)行修正，使修正后的彈道與實際彈道相一致，而后以修正后的理論彈道為依據(jù)編擬計算射表［1］。

外彈道理論給出了描述彈丸運動規(guī)律的彈道數(shù)學(xué)模型。但是所用不同形式的模型都是在一定假設(shè)條件下推導(dǎo)出來的，都不同程度地與實際存在差別。要較準(zhǔn)確測定這些起始擾動非常困難，目前還沒有理想的辦法；彈丸在運動中不可避免地存在受干擾問題，而許多干擾因素是很難用理論來描述的。正是由于這諸多原因使得用理論模型計算出來的彈道和實際彈道有較大差別，因此必須通過實驗結(jié)果對理論彈道進(jìn)行修正，從而使修正后的理論彈道與實際彈道相一致［2～4］。由于火炮要在允許的各種仰角下進(jìn)行射擊，而不同仰角的修正因子（或符合系數(shù)）又是隨仰角而變化的，因此，在射表編擬中，要進(jìn)行較多射角的射擊試驗。即便是同一射角，由于實驗誤差的存在，也要進(jìn)行較多發(fā)數(shù)或組數(shù)的試驗［5～8］。

當(dāng)炮彈的質(zhì)量和質(zhì)心變化后，炮彈的轉(zhuǎn)動慣量等因素會發(fā)生變化，從而使其外彈道發(fā)生變化。這一變化如果通過六自由度的剛體彈道微分方程組進(jìn)行求解的話，需要確定比較多的方程系數(shù)，這在工程實踐中存在不少困難。本文針對這種情況，采用二自由度的質(zhì)點彈道微分方程組，確定其彈道系數(shù)，并利用解算彈道與實測彈道之間的擬合偏差對彈道系數(shù)進(jìn)行修正，最終所得解算結(jié)果可以很好地符合實測彈道。

2 彈道擬合模型

2.1 質(zhì)點彈道微分方程組

假設(shè)彈丸的外形和質(zhì)量分布都是軸對稱體且攻角恒為零，氣象條件是標(biāo)準(zhǔn)的，無風(fēng)雨。由于外形對稱、攻角為零，空氣阻力向量必然與彈軸重合。又由于質(zhì)量分布對稱，故質(zhì)心必在彈軸上。因此，空氣阻力必定通過質(zhì)心。而重力總是通過質(zhì)心的，這樣作用在彈丸上的力都過質(zhì)心，彈丸便可作質(zhì)點處理。此時，彈丸的運動是個平面運動問題，彈道成為平面曲線。質(zhì)點彈道是實際彈道最簡單的模型，一般作為研究實際彈道的基準(zhǔn)［9～10］。

在上述的假設(shè)條件下，將空氣阻力和重力對彈丸運動的影響，用空氣阻力加速度和重力加速度來表示時，以初速度v0和射角θ0發(fā)射的彈丸，在時刻t的運動狀態(tài)如圖1所示。圖中（x，y）為彈丸的質(zhì)心坐標(biāo)，v為彈丸速度，θ為彈道傾角，ax為空氣阻力加速度，g為重力加速度。

圖1 直角坐標(biāo)系彈丸質(zhì)心運動圖

圖2 基于彈道系數(shù)的外彈道擬合算法流程圖

則以t為自變量的直角坐標(biāo)系彈丸質(zhì)心運動方程組為

其中，Hτ（y）和G（vτ）均已編制成表或有標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，如G（v）＝4.737×10－4vCxon。

解算時可采用四階龍格－庫塔法，積分的起始條件為t＝0時

2.2 利用彈道系數(shù)的擬合模型

由式（1）可以看出，除彈道系數(shù)需要根據(jù)彈形、彈重進(jìn)行確定以外，空氣密度函數(shù)Hτ（y）只隨高度變化，而空氣阻力函數(shù)G（vτ）只隨彈丸速度變化，且 Hτ（y）和G（vτ）均有相應(yīng)的擬合函數(shù)［2］，因此可以通過對彈形系數(shù)的求解來進(jìn)行彈道符合計算。

由于

其中，c為彈道系數(shù)，i為彈形系數(shù)，d為彈丸直徑，G為彈丸重量，cx0（M）為阻力系數(shù)，cx0n（M）為標(biāo)準(zhǔn)阻力系數(shù)。關(guān)于各種形狀彈丸的阻力系數(shù)，并不是很準(zhǔn)確地遵守上式，尤其是當(dāng)彈形與標(biāo)準(zhǔn)彈形相差較大時更是如此。彈丸在整個飛行過程中，由于馬赫數(shù)M的不斷變化，因而彈形系數(shù)也在不斷地略有變化。當(dāng)彈形與標(biāo)準(zhǔn)彈相差愈大，則在整個飛行過程中彈形系數(shù)的變化也就愈大。在需要準(zhǔn)確地計算彈道諸元時，就應(yīng)該將彈形系數(shù)i如實地看作為M的函數(shù)：

因此，知道彈丸的直徑、重量以及阻力系數(shù)后，聯(lián)合（1）、（2）兩式，便可進(jìn)行彈道的理論計算。

以（1）、（2）兩式所計算的理論彈道與實測彈道必然存在一定偏差，記x軸方向偏差為det x，y軸方向偏差為dety。為了將解算偏差體現(xiàn)在彈道系數(shù)中，采取以下方法：

Step1：用式（2）的彈道系數(shù)c求解彈道方程組，求得det x、dety；

Step2：將det x、dety擬合成隨射角、彈丸飛行時間變化的函數(shù)f（x）、f（y）；

Step3：利用蟻群算法搜索每一時刻對應(yīng)于f（x）、f（y）的最優(yōu)彈道系數(shù)c′；

Step4：將最優(yōu)彈道系數(shù)c′帶入式（1）進(jìn)行解算，得到滿意解。

算法流程圖如圖2所示。

3 實際應(yīng)用

3.1 應(yīng)用背景

某型定時引信彈丸，直徑0.1m，彈重15.8kg，炮口初速900m／s，射序1射角3～75mil，射序2～6射角3～33mil。彈丸阻力系數(shù)已知。由于彈丸屬空炸彈丸，故炮瞄雷達(dá)只抓取了上升段數(shù)據(jù)，示意圖如圖3所示。

圖3 實驗彈道示意圖

3.2 算法應(yīng)用及分析

利用式（2）求解射序1～6的彈形系數(shù)，可得如圖4之示意圖。

圖4 6條彈道的彈道系數(shù)

圖5 射序1的實測彈道與解算彈道對比

圖6 解算彈道與實測彈道的偏差

圖7 理論彈道、修正彈道、實測彈道對比圖

利用上述所求出的彈道系數(shù)解理論彈道，所得結(jié)果如圖5、圖6所示。

利用蟻群算法搜索最優(yōu)彈道系數(shù)后所求解的彈道與實測彈道示意圖如圖7所示。

由結(jié)果看出，通過原有的彈道系數(shù)求解出的彈道與真實彈道之間仍存在較大差別，初步認(rèn)為這是由于原始數(shù)據(jù)中彈丸的阻力系數(shù)測定不準(zhǔn)確造成的。將該不準(zhǔn)確性在彈道系數(shù)的擬合計算中進(jìn)行彌補(bǔ)，從而使解算的修正理論彈道能較準(zhǔn)確地符合實測彈道。

4 結(jié)語

本文提出了一種以彈丸質(zhì)心運動微分方程組為模型，采用估算彈道系數(shù)與誤差擬合修正相結(jié)合的彈道擬合方法，解決了擬合系數(shù)法難以保證全彈道一致精度的難題。該方法具有精度穩(wěn)定性好，編程算法簡潔的特點，實際應(yīng)用效果好，可對任意射角、初速的彈丸進(jìn)行任意時刻的彈道擬合。通過實測數(shù)據(jù)對該方法的檢驗，表明該方法具有一定工程應(yīng)用價值。

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