羅曉華 何為

(1．重慶交通大學(xué) 圖書(shū)館，重慶 400074;2．重慶大學(xué) 電氣工程學(xué)院，重慶 400044)

簡(jiǎn)單互聯(lián)電力系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象與共振行為

羅曉華1，2何為2

(1．重慶交通大學(xué) 圖書(shū)館，重慶 400074;2．重慶大學(xué) 電氣工程學(xué)院，重慶 400044)

在小振幅近似下，把電力系統(tǒng)的控制方程化為了經(jīng)典的Duffing方程，用Jacobian橢圓函數(shù)和第一類(lèi)橢圓積分解析地給出了無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)的周期解，并用攝動(dòng)法分析了擾動(dòng)系統(tǒng)在共振線附近的運(yùn)動(dòng)行為;揭示了系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象與不穩(wěn)定性。結(jié)果表明，只需適當(dāng)選擇系統(tǒng)的工作狀態(tài) (比如，盡量遠(yuǎn)離共振線)，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。

電力系統(tǒng);共振;跳躍現(xiàn)象;穩(wěn)定性;Duffing方程

電力系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題是倍受關(guān)注的問(wèn)題之一［1－5］。比如，電力系統(tǒng)在遭受周期性負(fù)荷擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)就可能會(huì)發(fā)生混沌振蕩［6－7］;工作在共振線附近時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象?；煦缯袷幰殉蔀殡娏ο到y(tǒng)穩(wěn)定性研究的重要課題，其中包括平衡態(tài)失穩(wěn)及失穩(wěn)后的周期振蕩問(wèn)題;而跳躍將產(chǎn)生電頻率突變，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。事實(shí)上，電力系統(tǒng)的混沌振蕩、電壓崩潰和頻率崩潰是導(dǎo)致電網(wǎng)事故的三大主要原因。

本文就對(duì)后一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行討論。首先，從電力系統(tǒng)的廣義的擺方程出發(fā)，在小振幅近似下把電力系統(tǒng)的控制方程化為了經(jīng)典的Duffing方程;其次，用Jacobian橢圓函數(shù)和第一類(lèi)橢圓積分解析地給出了無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)的周期解，并用攝動(dòng)法分析了擾動(dòng)系統(tǒng)在共振線附近的運(yùn)動(dòng)行為［8－9］;揭示了系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象與不穩(wěn)定性。結(jié)果表明，只需適當(dāng)選擇系統(tǒng)的工作狀態(tài) (比如，盡量遠(yuǎn)離共振線)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

1 系統(tǒng)的擺模型

注意到最重要的工程問(wèn)題之一是它的物理模型。由于認(rèn)識(shí)都是近似的，人們就在不同的近似下提出了不同模型對(duì)對(duì)工程問(wèn)題進(jìn)行描述，電力系統(tǒng)也不例外。其中簡(jiǎn)單互聯(lián)的電力系統(tǒng)模型是一個(gè)用得最多、最廣的物理模型之一。圖1給出了簡(jiǎn)單互聯(lián)電力系統(tǒng)示意圖。

圖1 簡(jiǎn)單互聯(lián)的電力系

在一定假設(shè)下，具有周期負(fù)荷擾動(dòng)的簡(jiǎn)單互聯(lián)電力系統(tǒng) (見(jiàn)圖1)的可化為如下形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題：

其中δ為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)行角;ω為發(fā)電機(jī)相對(duì)轉(zhuǎn)速;Pm，Ps分別為發(fā)電機(jī)機(jī)械功率和電磁功率;H為等值轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;D為等值阻尼系數(shù);Pe為擾動(dòng)功率幅值;β為擾動(dòng)功率變化頻率。令

方程 (1)可進(jìn)一步化為

方程 (2)是一個(gè)廣義的擺方程，也是一個(gè)典型的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，存在著復(fù)雜的分叉與混沌現(xiàn)象;在小振幅近似下，還存在共振行為與跳躍現(xiàn)象。鑒于方程 (2)不存在嚴(yán)格的解析解，我們?cè)谛≌穹葡?，把粒子運(yùn)動(dòng)方程化為具有硬彈簧特性的Duffing方程，用攝動(dòng)法求出系統(tǒng)的近似解，并分析了共振線附近粒子的運(yùn)動(dòng)行為和系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象。

在小振幅近似下，假設(shè)平衡相位δ0=ρ/ω20比較小，方程 (2)可化為

方程 (3)可化為

字母上方的圓點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間t的微商。方程 (5)是一個(gè)經(jīng)典的Duffing方程。

2 簡(jiǎn)單互聯(lián)的電力系

為了表示方程 (5)中各項(xiàng)的大小，我們引入小參數(shù)ε。如果系統(tǒng) (5)中的受迫項(xiàng)大小為O(ε)量級(jí)時(shí)，系統(tǒng)將存在Ω=ω0的主共振。其中ε是小量。為此，我們假設(shè)方程(5)中的2μ˙ξ，αξ3和Kcos Ωt項(xiàng)的大小是O(ε)數(shù)量級(jí)，其他項(xiàng)是O(1)數(shù)量級(jí)，則形式上可將方程 (5)改寫(xiě)為

(式中ε只表示該項(xiàng)大小，只需在結(jié)果中令ε=1即可回到原來(lái)狀態(tài))。

如果不考慮擾動(dòng) (ε=0)，系統(tǒng)是一個(gè)哈密頓系統(tǒng)。它的等價(jià)系統(tǒng)可表示為

相應(yīng)的的哈密頓量

從式 (8)可以看出，在相平面上，(0，0)是系統(tǒng) (7)的一個(gè)中心，而另外兩點(diǎn)(1，0)和(-1，0)是它的鞍點(diǎn)。當(dāng)0＜h＜1/4，存在一族圍繞中心(0，0)的周期軌道，

其中sn(u)，cn(u)，dn(u)是雅可比橢圓函數(shù)，k是橢圓函數(shù)的模 (0＜k＜1)，相應(yīng)的軌道周期可表示為?

周期軌道是橢圓軌道，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)繞平衡位置 (ξs=0)的周期運(yùn)動(dòng);在平衡點(diǎn)附近，相軌線近似為一個(gè)圓。

3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性

3.1 攝動(dòng)解

利用多重尺度法，把擾動(dòng)系統(tǒng) (6)的解按不同的時(shí)間尺度展開(kāi)

式中T0=t，T1=εt。我們關(guān)心的是系統(tǒng)在共振線附近 (Ω≈ω0)的運(yùn)動(dòng)行為，為此，引入解諧因子σ來(lái)描寫(xiě)粒子離開(kāi)共振線的程度。于是Ω可表示為，

式中σ=O(1)，而

將式 (16)和 (18)代入式 (6)中，并分別令ε0和ε1的系數(shù)相等，可得

式中Dn=?/?Tn，解方程 (19)可得方程 (6)的一級(jí)近似解

其中a和γ由方程 (16)給出。

從方程 (6)、(15)和 (16)可以看出，求解二階微分方程 (6)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解兩個(gè)一階微分方程 (16)的問(wèn)題。但是，由于方程 (16)的右邊既是a的函數(shù)，又是γ的函數(shù)，要把它積分到最終形式仍然是很困難的。不過(guò)，根據(jù)彭加勒 (Poincare)定理，不積分方程 (16)也可得到若干重要結(jié)果。比如，它的靜態(tài) (a'=γ'=0)解就十分重要。

3.2 跳躍現(xiàn)象

對(duì)于靜態(tài)解 (a'=γ'=0)，方程 (16)化為

于是靜態(tài)解可表示為

圖2 系統(tǒng)的非線性頻率響應(yīng)曲線。選擇參數(shù)K=0.5，μ2=0.1，α=1，ωo=1

式中a和γ由方程 (16)給出。由方程 (17)可得系統(tǒng)的非線性頻率響應(yīng)曲線 (共振曲線)

3.3 穩(wěn)定性

為了討論靜態(tài)解的穩(wěn)定性，令

式中a0和γ0是系統(tǒng)的靜態(tài)解，滿足方程 (16)，而a1和γ1是離開(kāi)靜態(tài)解的任意小量。把方程 (20)代入方程 (16)，按小量a1和γ1展開(kāi)，保留線性項(xiàng)可得

系統(tǒng)的穩(wěn)定性與下列本征方程

的本征值有關(guān)，式中

當(dāng)Γ＞0時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的;當(dāng)Γ＜0時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定;當(dāng)Γ=0時(shí)系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

4 結(jié)論

電力系統(tǒng)是一個(gè)典型的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，它存在著復(fù)雜的分叉與混沌現(xiàn)象;在小振幅近似下，還存在共振與跳躍。比如，電力系統(tǒng)在遭受周期性負(fù)荷擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)就可能會(huì)發(fā)生混沌振蕩;工作在共振線附近時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。事實(shí)上，電力系統(tǒng)的混沌振蕩、頻率崩潰和電壓崩潰是導(dǎo)致電網(wǎng)事故的三大主要原因。鑒于系統(tǒng)不存在嚴(yán)格的解析解，我們?cè)谛≌穹葡?，把粒子運(yùn)動(dòng)方程化為具有硬彈簧特性的Duffing方程，用攝動(dòng)法求出了系統(tǒng)的近似解，揭示了系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象與不穩(wěn)定性。結(jié)果表明，只需適當(dāng)選擇系統(tǒng)的工作狀態(tài) (比如，盡量遠(yuǎn)離共振線)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

［1］Arjen D，Koenperink A F，Mass R M．Quasi－ periodically forced nonlinear Helmholtz oscillation［J］．Physica D，2002，164(1)：1 －27．

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Jumping Phenomenon and Resonance Behavior of Simple Interconnected Power System

LUO Xiao-hua1，2HE Wei2
(1．Library，Chongqing University of Communications，Chongqing 400074，China;2．Electric Engineering College Chongqing University，Chongqing 400044，China)

In the small amplitude approximation，the controlled equations of power system is reduced to the classic Duffing equation;Jacobian elliptic function and the first class of elliptic integral analytically produce the periodic solution of the perturbless system by，and the behavior of the perturbed system in the vicinity of resonance line is analyzed by using perturbation method;and the system＇s jump phenomena and instability are revealed．The results show that the system is stable under the certain conditions of the appropriately selected working status，for example，being as far as possible away from the resonance line．

power system;resonance;jump phenomena;stability;Duffing equation

TM 712;O415.5

A

1009－0312(2012)01－0044－05

2011－09－02

羅曉華 (1969—)，男，重慶人，博士生，主要從事聲子同物質(zhì)相互作用研究。