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        譜函數的漸近表達式

        2012-06-04 10:04:50崔慶岳
        東莞理工學院學報 2012年1期
        關鍵詞:參變量表達式常數

        崔慶岳

        (廣州城建職業(yè)學院 基礎部,廣州 510925)

        譜函數的漸近表達式

        崔慶岳

        (廣州城建職業(yè)學院 基礎部,廣州 510925)

        一端奇異Sturm-Liouville方程在滿足Neumann邊條件下相對應的譜函數的一種漸近表達形式,其中方程在奇異點屬于極限點型.

        Sturm-Liouville方程;譜函數;漸近表達式;極限點型

        1 概述及預備知識

        考慮當λ=u()>0的微分方程

        滿足初始條件

        的解φx,()u,其中參變量q∈L0,()∞。由常數變易法可得方程的解,如下所示

        其中u=s2。如文獻[1]所示,當q∈L 0,()∞時,存在函數()a u和()b u使得

        成立。其中()a u和()b u是與變量x線性無關的函數,并且當x→∞時,Φ x,()u→0。Coddington在文[2]中證明了譜函數可以通過函數 ()a u和 ()b u來表示,即

        因此,當u→∞時,確定方程(1)的解φ x,()u的漸近形式,近而求出函數()a u和()b u的表達式,然后再利用上式求得譜函數的漸近表達式。

        引理1[3]設()ρ λ為譜函數,λ1,λ2為它的任兩個連續(xù)點,M()λ為對應的Weyl函數,則

        2 譜函數的漸近表達式

        一端奇異Sturm-Liouville方程

        滿足初始條件

        其中()q x在區(qū)間0,[)∞上為局部可積的實函數,α為實數。

        即為方程 (6)的Neumann邊條件。

        主要討論一端奇異Sturm-Liouville方程 (6)在滿足Neumann邊條件下,當參變量q滿足一定條件及u→∞時譜函數的一種漸近表達形式,其中方程 (6)在奇異點∞屬于極限點型。

        首先,討論當u→∞時函數 ()a u和 ()b u的漸近表達式,近而推得譜函數的漸近形式。

        為了將上式展開,下面在區(qū)間0,[)∞上引入函數列Bk()x,設B1()x=-1,

        其中j≥0,當j為偶數時,δ=0;當j為奇數時,δ=1。[·]表示取其整數部分。并且

        由 (10)式和 (11)式可得

        其中

        由(12)式可得

        都屬于空間L 0,()∞。

        由上述引理可知,存在 (17)式和 (18)式的一個序列

        使得當x→∞時,上述函數列都可以表示成o()1,則 (10)式有下列表示形式

        因此,結合 (11)式和 (14)-(16)式可得

        下面的定理將給出方程解φ x,()u的另外一種漸近表達形式,從而把(4)式和(5)式聯系起來。

        其中

        并且當0≤x<∞和s≥s0>0時,KN是與參變量x和s線性無關的常數。

        證明 由(9)式可得

        將(22)式代入到(9)式中的積分項,并進行整理可得

        將(23)式展開,并且由(10)式和(11)式可得

        因此,再對 (24)式進行重復迭代N-1次就可得 (20)式。下面重點給出 (21)式的證明。設SN()x和CN()x分別表示 (20)式中函數sin sx和cos sx前的函數項,即

        由 (9)式可得,S0()x=0,C0()x=-1,再由Cronwall不等式[1]可得

        因此,

        這就證明了當N=0時的情形。下面假設N-1次展開式 (20)和不等式 (21)均成立,證明N次展開式和不等式也成立。將N-1次展開的 (20)式代入到 (9)式中的積分項,并進行整理可得

        首先,對 (29)式的最后一項進行漸近估計可得顯然上式符合 (21)式的估計形式,并且構成KN的一部分。下面考慮 (29)式的第二項,因為上式等號右側第一項可歸為SN進行估計,對上式等號右側的第二項進行N-2k次分部積分并取最后一個積分項,即含s-N( )由此可知,下面不等式成立+1的系數項,表示如下再根據 (11)式和引理1可得,上式是收斂的。因此可得,其估計式也符合 (21)式,同樣構成KN的一部分。利用相同的方法,可證得包含SN-1的積分項也符合估計式 (21)。因此可證得,對于所有的x∈0,[)∞和s≥s0≥0都有(21)式成立。

        定理3 假設qN( )-1在區(qū)間0,[)∞是局部絕對連續(xù)的,并且q()v∈L 0,()∞,其中0≤v≤N(N是

        正整數),則當u→∞時,

        證明 由于 (4)式和 (20)式是方程 (6)的解的兩種不同表達形式。因此,對于任意固定的s,令 (4)式和 (20)式相等,即

        成立,在此[·]表示取整數部分。

        證明 由定理3可得

        對(36)式進行整理可得

        其中dk是常數,特別的,由 (19)式和 (37)式可得

        其中d'k為常數,對 (39)式進行積分可得

        因此證得定理成立。

        [1]Titchmarsh E C.Eigenfunctions Expansions Associated With Second Order Diffetential Equations:vol I[M].2nd ed.London:Oxford Univ Press,1962.

        [2]Coddington E A,Levinson N.On the nature of the spectrum of singular,second order linear differential equations[J].Canad J Math,1951(3):335-338.

        [3]曹之江.常微分算子[M].上海:上??茖W技術出版社,1987.

        [4]Coddington E A,Lvinson N.Theory of Ordinary Differential Equations[M].New York:McGraw-Hill,1955.

        [5]Eastham M S P.The asymptotic nature of spectral functions in Sturm-Liouville problems with continuous spectrum[J].J Math Analysis Appl 1997,213:573-582.

        The Asymptotic Expression of the Spectral Function

        CUI Qing-yue
        (Guangzhou City Construction College,Guangzhou 510925,China)

        The asymptotic expression form of the spectral function correspond to the Sturm-Liouville equation which satisfy Neumann boundary conditions at one singular endpoint.

        Sturm-Liouville equations;spectra function;asymptotic expression;limit point

        O175.3

        A

        1009-0312(2012)01-0019-05

        2011-04-20

        崔慶岳 (1984—),男,山東濟寧人,碩士,主要從事微分算子及其譜分析研究。

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