許愛強,魏 輝,汪定國,尹德強

(1.海軍航空工程學(xué)院ATE研究所,山東煙臺 264001;2.海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊,山東煙臺 264001)

單頻信號對應(yīng)到時域就是正弦信號,在通信、潛艇噪聲中是非常重要的一種信號.大部分通信系統(tǒng)都是以正弦信號作為載波發(fā)送數(shù)據(jù),而潛艇噪聲為線譜和連續(xù)譜的疊加,其中主要為線譜,也即時域正弦信號,許多信號檢測算法性能的改善最基本的指標(biāo)是信噪比,因此對正弦信號的信噪比計算就非常有意義.目前,已經(jīng)有多種估計信噪比的方法,包括:基于子空間的估計方法[1,2]、基于接收信號統(tǒng)計量的方法[3]、以及FFT方法[4]等.對于正弦信號來講,前兩種方法略顯復(fù)雜,而第三種方法則在特定情況下使用.本文用時頻法來計算正弦信號在高斯噪聲背景下的信噪比.

1 算法原理分析

1.1 公式推導(dǎo)

正弦信號在產(chǎn)生和傳播過程中都會附加噪聲,海洋噪聲也會附加到潛艇噪聲中,因而可以簡化模型,如圖1所示.(以加性噪聲為例,乘性噪聲將是后續(xù)研究)

事實上,對于信號x(t)=s(t)經(jīng)過系統(tǒng)后,其輸出為(t)=s(t)+n(t),其中:n(t)為系統(tǒng)的噪聲,則其輸出信號的信噪比

式中:Ps+n是信號加噪聲的平均功率,此為時域求解.

假設(shè)s(t)為1 kHz的單頻信號,所以求噪聲的平均功率可以用頻域非1 kHz頻段的信號積分取平均,如式(2),其中w1,w2為2倍～3倍的信號頻率.

圖1 信號經(jīng)過系統(tǒng)(加性噪聲)Fig.1 Signal thread system(adding noise)

則信噪比SNR(單位:dB)為

隨著數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展,在仿真和工程計算中,采用數(shù)字的方法,式(1)和式(2)都有其對應(yīng)的離散表示[5,8],這里不再一一贅述.

1.2 實際求解

時域計算信號加噪聲的平均功率是可行的,只要時間T足夠長,再重復(fù)取平均,得到的Ps+n是可以無限接近實際信號和噪聲的功率的.式(2)中的w1和w2如何確定SNR才能使最終計算出的與實際的SNR0誤差最小,而且由測不準(zhǔn)原理[9,10],信號的時域和頻域分辨率不可能同時很小,由此引出一個問題:求解信號的功率還是求噪聲的功率?此處分兩種情況:①當(dāng)系統(tǒng)是無限寬帶(大于信號帶寬5倍 ～10倍)時,而且系統(tǒng)不會因輸入正弦信號而在信號頻率點處產(chǎn)生額外噪聲時,可以通過求噪聲的功率來求SNR,w1和w2如圖2所示,w1,w2為2倍 ～3倍的信號頻率;②當(dāng)系統(tǒng)不是無限帶寬,或者是系統(tǒng)會因信號的輸入產(chǎn)生額外的噪聲時,就需要通過計算信號的功率來計算SNR,w1和w2如圖3所示.

圖2 1 kHz信號頻譜計算噪聲功率Fig.2 Computing the power of 1kHz signal'noise via frequency field

圖3 1 kHz信號通過頻譜計算信號功率Fig.3 Computing the power of 1kHz signal via frequency field

計算信號加噪聲的功率時可以由式(1)求得,對于情況1中求噪聲的功率可以由式(2)求得.

對于通過頻域求信號功率時存在一個問題,即w1,w2的選取,選擇w1,w2要使得到的信噪比SNR最接近實際信噪比SNR0,即ΔSNR最小.

圖4 1 kHz信號經(jīng)過某系統(tǒng)后的時域圖Fig.4 The time distribution of 1 kHz signal threading some system

圖5 1 kHz信號經(jīng)過某系統(tǒng)后的頻域圖Fig.5 The frequency distribution of 1 kHz signal threading some system

1.3 仿真算法

圖6 軟件算法流程圖Fig.6 The flow of software

圖6為情況2中頻域求信號功率的仿真實驗的算法流程.對x′(t)進行FFT[5]變換,得到x′(t)的頻譜圖如圖5所示,可以看出此時不再是帶寬w2-w1的問題,而是取 1 kHz頻點處頻點個數(shù)的問題,故對此進行實驗來確定頻點數(shù)n.

頻點數(shù)由以下算法得到:采樣頻率為Fs,觀測點數(shù)為M,則將 1 000M/Fs取整帶入X(jwn),并計算其左右的相鄰值,比較之后確定信號頻率落在偶數(shù)個頻點上還是奇數(shù)個頻點上,以對稱為原則進行頻點個數(shù)的確定.

之所以可以用頻域求噪聲或者信號功率,是因為由帕塞伐爾定理[6]可知,信號的時域總能量與頻域總能量相等,在相同時間長度下,由時域求出的噪聲功率和頻域求出的功率應(yīng)該是相等的,因此,基于時頻法求信噪比就有了理論依據(jù).

2 仿真結(jié)果及分析

1)當(dāng)采樣頻率Fs=10 kHz,觀測時域點數(shù)為M=10 000個,實際信噪比為SNR0=3 dB時,對x′(t)求信噪比,計算10 000次求平均,此情況下由結(jié)果看出信號分布在奇數(shù)個頻點上,故取頻點為3,5,7.當(dāng)取頻點數(shù) 7個時,ΔSNR=8.818 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖7所示;當(dāng)頻點數(shù)取5個時,ΔSNR=2.276 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖8所示;當(dāng)頻點數(shù)取3個時,ΔSNR=0.139 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖9所示.

圖7 頻點數(shù)取 6個Fig.7 Frequency bins are 6

結(jié)論:頻域取點數(shù)不一定越多越好,因為當(dāng)取點數(shù)多時,會將噪聲視為信號,而影響最終的信噪比計算,對于如何取點,一點經(jīng)驗是看信號頻點附近的值的分布,對稱取值.

圖8 頻點數(shù)取4個Fig.8 Frequency bins are 4

圖9 頻點數(shù)取 3個Fig.9 Frequency bins are 3

2)當(dāng)實際信噪比SNR0=3 dB,采樣頻率為Fs=10 kHz,因為此時要研究變換時域點數(shù)M,而M變化,頻域觀測點數(shù)可能為奇數(shù)個也可能為偶數(shù)個,要具體分析.當(dāng)取M=2 000個,經(jīng)反復(fù)實驗頻點數(shù)取9個時,ΔSNR=0.655 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖10所示;當(dāng)取M=4 000個,經(jīng)反復(fù)實驗頻點數(shù)取4個時,ΔSNR=0.314 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖11所示;當(dāng)取M=10 000個,經(jīng)反復(fù)實驗頻點數(shù)取3個時,ΔSNR=0.138 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖12所示.

圖10 M=2 000,頻點數(shù)取9Fig.10 M=2 000,frequency bins are 9

圖11 M=4 000,頻點數(shù)取 4Fig.11 M=4 000,frequency bins 4

圖12 M=10 000,頻點數(shù)取2Fig.12 M=10 000,frequency bins are 2

圖13 Fs=5 kHz,頻點數(shù)取 2Fig.13 Fs=5 kHz,frequency bins 2

結(jié)論:當(dāng)Fs一定時,增加M也就是增加時域觀測時間,信噪比越穩(wěn)定,受隨機信號的影響越小,結(jié)果越精確.

3)當(dāng)實際信噪比為SNR0=3 dB,時域點數(shù)M=10 000時,因為此時要研究變化Fs,而Fs變化,頻域觀測點數(shù)可能為奇數(shù)個也可能為偶數(shù)個,要具體分析.

當(dāng)Fs=5 kHz,經(jīng)反復(fù)實驗頻點數(shù)取2個時,ΔSNR=1.317 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖13所示;當(dāng)Fs=10 kHz,經(jīng)反復(fù)實驗頻點數(shù)取3個時,ΔSNR=0.138 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖14所示;當(dāng)Fs=20 kHz,經(jīng)反復(fù)實驗頻點數(shù)取3個時,ΔSNR=0.150 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖15所示.

圖14 Fs=10 kHz,頻點數(shù)取 3Fig.14 Fs=10 kHz,frequency bins are 3

圖15 Fs=20 kHz,頻點數(shù)取 3Fig.15 Fs=20 kHz,frequency bins 3

結(jié)論:Fs越大,信噪比計算越精確,但是當(dāng)Fs＞10Fsignal(Fsignal為信號頻率)時,信噪比的計算準(zhǔn)確度不再明顯提高,在工程中,采樣頻率取10倍信號功率,有時甚至達不到,所以在器件允許的范圍內(nèi)提高采樣頻率,即可以提高計算信噪比的準(zhǔn)確度.

3 結(jié) 論

本文針對實際工程中計算單頻信號的問題,提出用時頻結(jié)合的方法來計算信噪比,并研究了頻域取點數(shù)、時域觀測點數(shù)和采樣頻率對計算信噪比的影響,結(jié)果表明此3個因素確實對信噪比的計算有明顯影響.本文的創(chuàng)新點是在他人研究方法的基礎(chǔ)上著重研究頻域點數(shù)的選取原則,以此增加工程實現(xiàn)中的可操作性.但是本文假定的是加性的高斯噪聲,在后續(xù)的研究中,將重點研究非高斯噪聲和乘性噪聲的信噪比計算方法.

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