宋榮榮

(1.西南交通大學電氣工程學院，成都 610031;2.西南民族大學計算機科學與技術學院，成都 610041)

磁浮控制技術能夠使懸浮物與支承面實現(xiàn)無接觸懸浮，具有無摩擦、噪聲低、污染小等優(yōu)點，因而被廣泛應用在磁懸浮軸承、磁懸浮工作臺、磁懸浮隔振器，特別是磁懸浮列車上，這使得該技術受到國內(nèi)外專家和學者的廣泛關注［1］。一般來說，磁浮控制方法主要包括線性控制［2］和非線性控制［3］。目前，很多國內(nèi)外專家學者對磁浮系統(tǒng)的滑?？刂飘a(chǎn)生了濃厚的興趣［4］。

線性控制主要是通過將系統(tǒng)在平衡點的鄰域內(nèi)采用泰勒定理展開，用近似的線性結構代替非線性結構進行懸浮控制。Matsuda R［5］研究了多電磁鐵懸浮系統(tǒng)的線性化問題，并設計了一種反饋控制器。由于軌道具有不平順的隨機性，Hac A［6］設計了一種預見控制器，該控制器對線性懸浮系統(tǒng)的運行平穩(wěn)性、外干擾和工作狀態(tài)具有良好的預見性。Trumper D L［7］提出了一種系統(tǒng)線性化的方法，利用線性和非線性2種控制器對系統(tǒng)進行仿真比較。為了實現(xiàn)故障檢測，在傳統(tǒng)Luenberger觀測器的基礎上，Koseki T［8］對系統(tǒng)的線性化模型提出了一種Luenberger魯棒故障檢測觀測器的設計方法以及相應的故障檢測算法，并給出了在外干擾存在的情況下，實現(xiàn)魯棒故障檢測觀測器設計的充分必要條件。然而，這些控制方法只能使系統(tǒng)在平衡點附近具有良好的性質(zhì)，在遠離平衡點處，系統(tǒng)將處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

磁浮系統(tǒng)是一種典型的非線性、不確定性開環(huán)系統(tǒng)。傳統(tǒng)的控制方法無法解決非線性部分的控制問題，所以目前國際上有很多專家學者都在研究懸浮系統(tǒng)的非線性控制方法，例如H∞魯棒控制、數(shù)控技術、狀態(tài)最優(yōu)估計控制、神經(jīng)網(wǎng)絡控制、模糊控制等，這些控制方法對于解決磁浮系統(tǒng)的非線性和不確定性有著良好的效果［9－13］。

在眾多的控制方法中，滑模控制對內(nèi)部參數(shù)的變動和外部擾動具有完全的自適應性，這一優(yōu)點已引起專家學者的極大興趣，使其得到巨大發(fā)展和廣泛應用。多年以來，許多學者將這項技術應用到懸浮控制技術中。針對3種模式下的靜電懸浮系統(tǒng)，Yang W Q等［14］設計了滑?？刂破?，仿真研究表明，該控制器提供了一個保證系統(tǒng)良好性能的預載荷。對于懸浮系統(tǒng)，Mohan B［15］結合最優(yōu)控制和自適應控制算法設計了一個滑?？刂破鳎摽刂破髂軌虮ＷC系統(tǒng)在外干擾和系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生改變時保持良好的性能，但是不能有效消除抖振現(xiàn)象。抖振問題的確是滑?？刂频囊粋€缺點，這成為影響滑?？刂瓢l(fā)展的主要原因。對于一個帶有積分結構的線性系統(tǒng)，楊普等［16］采用指數(shù)趨近律設計了滑?？刂破?，給出了抖振幅度、周期和趨近律參數(shù)、控制量的變化率之間的定量關系，從而有效地控制系統(tǒng)的抖振問題?；谝陨衔墨I，本文將滑?？刂萍夹g應用到單電磁鐵的懸浮控制中，并采用指數(shù)趨近律有效地解決了該系統(tǒng)的抖振問題。

本文先給出磁場力的一種非線性結構，通過控制電流，將該系統(tǒng)轉化為二階非線性系統(tǒng)。然后，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程，設計了一個具有防抖振現(xiàn)象的動態(tài)滑?？刂破鳌Ｗ詈?，基于Matlab軟件進行了仿真。結果表明，該控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能和較強的魯棒性。

1 單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程

在單電磁鐵懸浮系統(tǒng)中，磁鐵懸浮在電壓控制的磁場中，所以系統(tǒng)可以通過控制器控制電流，從而控制電壓，使磁鐵懸浮在設定的平衡點處。系統(tǒng)結構如圖1所示。

圖1 單電磁鐵懸浮系統(tǒng)結構

圖1中:φT為主極磁通;φm為氣隙磁通;φL為漏磁通;Mg為電磁鐵重力;fd為外界干擾力;F(i，c)為電磁吸力;z(t)為磁極表面與參考平面的距離;h(t)為導軌表面參考平面的距離;c(t)為磁極與導軌間的氣隙;i(t)為控制線圈的電流;u(t)為繞組回路的電壓。

在分析單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的動力學模型時，假設［17］:

① 忽略漏磁通 φL，即 φm=φT。

②電磁鐵磁路中鐵磁材料的磁導率無窮大(忽略鐵芯和導軌中的磁阻)，磁勢均勻降落在氣隙上。

③電磁鐵僅有垂直方向上的移動，其他方向受限，無運動。

設電磁鐵懸浮位置為c，控制電流為i，兩者之間的關系如表1。

表1 c與i的關系

電磁鐵受到的磁場力F與c和i有關，可用下式表示:

式中a2、a1、a0為待定系數(shù)。利用最小二乘法擬合曲線，由 表 1 可 得 a2=0.019 5，a1=－0.182 7，a0=0.133 8。

根據(jù)電磁場理論，系統(tǒng)的數(shù)學模型為

選取系統(tǒng)狀態(tài)變量為x1(t)=c(t)，x2(t)=，那么單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

設 x0=(x10，x20)=(x10，0)為系統(tǒng)在平衡點處的狀態(tài)值，系統(tǒng)輸出y=x1－x10，由式(1)可得輸入輸出關系¨y=a+f(x)·i2(t)。這樣，就建立了單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

2 滑?？刂破?/h2>

滑模控制不是一種分析方法，而是一種綜合方法，因此，其重點就是系統(tǒng)的設計問題［22］。

設計問題有2個:① 選擇切換函數(shù) s(x);②求取控制u±(x)。設計的目標有3個，即滑?？刂频娜?進入條件;存在條件;穩(wěn)定條件。

可得系統(tǒng)在滑模區(qū)的等效控制

將ieq代人系統(tǒng)表達式(1)，可得滑模運動方程

那么，等效的滑模運動方程可寫為

其中參數(shù)c1、c2滿足 Hurwitz多項式 p(s)=s2+c1s+c2的要求，這樣就可使得滑模運動漸近穩(wěn)定。

利用式(1)，可以將切換函數(shù)改寫為s=a+fi2+c1x2+c2(x1－x10)。采用指數(shù)趨近律－w*sign(s)－Ks的控制策略，則得控制電流:

當切換函數(shù)s趨近于零時，輸出y=x1－x10可以通過方程得到。因為參數(shù)c1、c2滿足Hurwitz多項式p(s)=s2+c1s+c2的要求，所以輸出y趨近于零，這樣x2也將趨近于零。通過滑?？刂?，就可以保證系統(tǒng)中的單電磁鐵到達期望的位置。

3 Matlab仿真分析

對于單電磁鐵懸浮系統(tǒng)，選擇參數(shù)為:采樣周期為0.01 s，重力加速度g=9.8 m/s2，電磁鐵質(zhì)量m=98.4 g，氣隙的初始位置x10=3.2 mm。滑?？刂破鲄?shù)為:w=5 000，c1=61，c2=930，K=10 000。對上面的模型用 Matlab進行仿真［19］，仿真結果如圖2所示。

圖2 滑模控制的氣隙響應曲線

由圖2可知，對于磁懸浮系統(tǒng)，基于指數(shù)趨近律的滑?？刂破鞯妮敵鲰憫^渡過程很短，能夠快速到達期望位置，滑?？刂破鞯妮敵鲭娏骷s為0.93，驗證了控制器的準確性。

為檢驗采用滑?？刂坪笙到y(tǒng)的魯棒性，作如下仿真分析:

1)設系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生改變，電磁鐵質(zhì)量m=50 g，氣隙的初始位置x10=4.2 mm，氣隙變化如圖3所示。

圖3 內(nèi)部參數(shù)發(fā)生改變后的氣隙響應曲線

由圖3可知，系統(tǒng)在滑模控制器的控制作用下，不受內(nèi)部參數(shù)改變的影響，仍保持良好的動態(tài)特性。

2)假設外干擾力fd增大為電磁鐵質(zhì)量的3倍時，氣隙變化如圖4所示。

圖4 外干擾力fd增大為電磁鐵質(zhì)量3倍時的氣隙響應曲線

3)當軌道振動變化大小為1 mm時，不同頻率對系統(tǒng)氣隙變化的影響情況如圖5所示。

圖5 不同頻率對氣隙響應曲線的影響

仿真結果表明，當軌道變化頻率為1 Hz時，氣隙響應曲線變化幅值約為0.001 mm;當軌道變化頻率為50 Hz時，氣隙響應曲線變化幅值約為0.004 mm。

4)采用等速趨近律˙s=－w*sign(s)進行仿真比較，系統(tǒng)的氣隙響應曲線出現(xiàn)明顯的抖振現(xiàn)象，如圖6所示。

從仿真結果可以看出:圖6(a)表明基于等速趨近律的滑?？刂破鞯姆抡媲€中很明顯存在著一些抖振現(xiàn)象;而圖6(b)表明基于指數(shù)趨近律的滑?？刂破鞯姆抡媲€減弱了系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，說明該控制器能夠有效地解決系統(tǒng)的抖振問題。

圖6 兩種不同趨近律的氣隙響應曲線

4 結論

1)分析了傳統(tǒng)滑模控制器必須考慮的問題:到達條件，滑模面存在條件，滑模面的設計，穩(wěn)定性條件。針對單電磁鐵懸浮系統(tǒng)進行了改進的滑?？刂破髟O計，即采用指數(shù)趨近律設計滑?？刂破?，在采樣周期為0.01 s的情況下，該系統(tǒng)在滑?？刂破鞯淖饔孟履軌蜉^快收斂到期望的穩(wěn)定位置，并保持穩(wěn)定性。這說明該控制器具有較快的收斂性。

2)對于周期性的高頻和低頻干擾或是脈沖干擾，基于指數(shù)趨近律的滑模控制器都表現(xiàn)了很好的魯棒性，不僅響應時間短，而且氣隙響應曲線幾乎沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象?？傊?，該系統(tǒng)對內(nèi)部參數(shù)變化和外部干擾具有較強的魯棒性。

3)對滑?？刂品椒ㄖ写嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象進行了仔細分析，并采用了2種控制率對該系統(tǒng)進行了仿真比較。當采用等速趨近律設計滑模控制器時，該系統(tǒng)很明顯出現(xiàn)較強的抖振現(xiàn)象。與之相比，采用指數(shù)趨近律的控制器能夠有效地防止抖振現(xiàn)象。

4)一個理論必須在實踐中得到成功的應用才能推動其不斷完善和向前發(fā)展，滑?？刂评碚撘彩且粯?，今后應該更多考慮如何將其和其他的非線性控制方法結合，更好地應用到磁懸浮控制中去。

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