蘭德新,趙 萌
(武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系,福建武夷山 354300)
在過(guò)去的幾十年里,已有不少研究者致力于擴(kuò)展經(jīng)典的EOQ模型到包含易變質(zhì)的情形。例如Ghere和 Schrader[1]通過(guò)考慮常數(shù)變質(zhì)而給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的 EOQ 模型,Covert和 Philip[2]以及 Tadikamalla[3]通過(guò)考慮變化的變質(zhì)率而進(jìn)一步擴(kuò)展Ghere和Schrader的模型,Shah通過(guò)使用具有一般分布的變質(zhì)率并允許短缺而將所有這些模型進(jìn)行一般化。許多文獻(xiàn)對(duì)允許缺貨、短缺量部分拖后問(wèn)題做了研究,如文獻(xiàn)[4-5]考慮變質(zhì)、短缺量部分拖后等因素,建立了單一產(chǎn)品的訂價(jià)和批量的庫(kù)存模型。文獻(xiàn)[6-7]研究了允許缺貨且?guī)?shù)量折扣的腐爛物質(zhì)庫(kù)存模型。但在實(shí)際的庫(kù)存系統(tǒng)中,許多學(xué)者考慮了需求是隨機(jī)變量的問(wèn)題,如文獻(xiàn)[8-9]考慮一類(lèi)需求連續(xù)隨機(jī)變質(zhì)物品的庫(kù)存模型。文獻(xiàn)[10]采用周期盤(pán)點(diǎn)的(T,S)策略,在需求為連續(xù)型隨機(jī)變量,提前期為0,缺貨量完全延期供給且變質(zhì)率為常數(shù)的情形下,研究了易變質(zhì)產(chǎn)品的訂購(gòu)策略。
本文將在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上同時(shí)考慮拖后率和隨機(jī)因素的這類(lèi)問(wèn)題,即:當(dāng)產(chǎn)品發(fā)生連續(xù)變質(zhì)時(shí),變質(zhì)率θ為固定常數(shù);需求率為連續(xù)型隨機(jī)變量并受產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格的影響;允許缺貨,缺貨部分延期供給,拖后率是β(t)=e-kt,k>0,t是等待時(shí)間。最后給出了最優(yōu)的訂購(gòu)與定價(jià)策略。
考慮一類(lèi)無(wú)限時(shí)間范圍內(nèi),隨機(jī)需求下缺貨部分延期補(bǔ)給的易變質(zhì)產(chǎn)品的庫(kù)存優(yōu)化模型。采用周期盤(pán)點(diǎn)的(T,S)庫(kù)存策略,即每隔相同的訂購(gòu)周期長(zhǎng)T,將庫(kù)存水平瞬時(shí)補(bǔ)充到S。
圖1描述系統(tǒng)的庫(kù)存水平的變化狀態(tài),系統(tǒng)從0時(shí)刻開(kāi)始運(yùn)作,并且假定0時(shí)刻庫(kù)存水平為S,此后產(chǎn)品以一定的速率連續(xù)出售,需求率,其中:p為單位產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格;X表示隨機(jī)波動(dòng)量,服從Gamma-分布Γ(λ,k)且λ>0,k≥2;μ表示X的均值;d(p)=a-bp(其中a代表產(chǎn)品的市場(chǎng)基礎(chǔ))表示單位時(shí)間內(nèi)的期望需求量,是p的單調(diào)遞減函數(shù)。由于連續(xù)的需求和產(chǎn)品自身的變質(zhì)使得庫(kù)存水平不斷下降,最終假定在τ時(shí)刻,庫(kù)存水平下降到0;在τ時(shí)刻后,繼續(xù)到來(lái)的需求量拖后補(bǔ)給,拖后率是 β(t)=e-kt,k >0,t是等待時(shí)間。
圖1 產(chǎn)品的庫(kù)存水平變化曲線
令I(lǐng)x(t)為t時(shí)刻且隨機(jī)變量X的實(shí)現(xiàn)為x時(shí)的庫(kù)存水平,可以得到微分方程:
由邊界條件Ix(0)=S及Ix(τ)=0求解微分方程(1)及(2)得:
再由式(3)及邊界條件Ix(τ)=0可得
假設(shè)購(gòu)買(mǎi)單位產(chǎn)品所需的可變訂購(gòu)成本為c,單位產(chǎn)品在單位時(shí)間內(nèi)的庫(kù)存成本為h,單位產(chǎn)品的缺貨成本為π,單位產(chǎn)品丟單成本為p-π,則系統(tǒng)在[0,T]時(shí)間內(nèi)各項(xiàng)費(fèi)用計(jì)算如下:
1)總的期望收益
2)期望訂購(gòu)成本
3)期望庫(kù)存成本
4)期望缺貨成本和丟單成本
綜上,庫(kù)存系統(tǒng)總的期望利潤(rùn)函數(shù)可表述為:
總期望利潤(rùn)=總期望收益-(期望訂購(gòu)成本+期望庫(kù)存成本+期望缺貨成本+期望丟單成本)即
本文的庫(kù)存模型為
模型(7)是帶約束條件的非線性規(guī)劃問(wèn)題,本研究的目標(biāo)是尋找p,s的值,使得庫(kù)存系統(tǒng)總的期望利潤(rùn)NP(p,s)最大。考慮到模型(6)的積分計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜,而實(shí)際應(yīng)用中變質(zhì)率0<θ<<1,參數(shù)0<k<<1,因此可以保證當(dāng)x>q時(shí)有,這樣式(6)采用近似計(jì)算,對(duì)結(jié)果影響不太大。由式(6)得
對(duì)式(8)的項(xiàng) e-kT和 e-θT利用泰勒展開(kāi),并保留3項(xiàng),化簡(jiǎn)得:
將式(9)中的變量p,s替換為p,q,即得如下形式:
即
將式(11)代人(10)得
故
因?yàn)閒(x)是Gamma-分布Γ(λ,k)(λ>0和k≥2)的密度函數(shù),所以式(13)可以化為k次多項(xiàng)式方程,利用Matlab軟件求k次多項(xiàng)式方程(13)的正的近似解且 r≤k。將代人式(11)求出滿(mǎn)足的且 r≤k。比較 NP(pi*,qi*)的大小使NP(pi*,qi*)取得最大的NP(p*,q*),再與邊界上條件p=c和代人式(10)求得目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的NP(c,q1)和進(jìn)行比較,并取得最大的解(p*,q*),對(duì)應(yīng)的(p*,s*)即為模型(7)的最優(yōu)策略。
步驟1 模型,即式(10)對(duì)p求偏導(dǎo),并令為,代人式(10)得
由于方程中的f(x)是Gamma-分布Γ(λ,k)(λ>0,k≥2)的密度函數(shù),所以上述方程可化為k次多項(xiàng)式方程,利用Matlab軟件求k次多項(xiàng)式方程的正的近似解,i,1,2,…,r且 r≤k。將代人式(11)求出滿(mǎn)足的且 r≤k。比較的大小使取得最大的NP(p*,q*)。
步驟3 比較目標(biāo)函數(shù)值NP(p*,q*)與邊界上目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的NP(c,q1)和,其中使目標(biāo)函數(shù)值NP(p,q)達(dá)到最大的(p*,q*)對(duì)應(yīng)的(p*,s*)即為模型的最優(yōu)訂購(gòu)策略。
為了便于驗(yàn)證和說(shuō)明此庫(kù)存系統(tǒng)的模型,本文給出模型中涉及到的隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)和各種參數(shù)的取值,設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為
參數(shù) T=10,c=100,θ=0.01,k=0.02,π =80,h=20,d(p)=500 -0.5p,經(jīng)過(guò)計(jì)算式(13)化為
其近似解q*≈3.795,將q*≈3.795代入式(11)得方程:
其近似解 p*=522.387 33,此時(shí)對(duì)應(yīng)的 s*=4 765.485,NP(p*,q*)=1 149 879.21。
而邊界上目標(biāo)函數(shù)值NP(100,q1)和 NP(1 000,q2)均小于NP(p*,q*),通過(guò)比較我們得到最優(yōu)訂購(gòu)策略(p*,s*)=(522.387 33,4 765.485)。
本文針對(duì)隨機(jī)波動(dòng)量為一類(lèi)Gamma-分布Γ(λ,k)(λ>0,k≥2)時(shí),且短缺量部分拖后的情形下,建立了單一易變質(zhì)產(chǎn)品的隨機(jī)庫(kù)存模型。庫(kù)存策略為周期盤(pán)點(diǎn)的(T,S)策略。采用最小二乘法原理以及泰勒展開(kāi)對(duì)模型進(jìn)行了分析和近似求解,給出求解其最優(yōu)的訂購(gòu)策略的算法步驟,并給出算例進(jìn)行仿真,得到了訂購(gòu)的近似最優(yōu)策略(p*,s*)。還可以考慮庫(kù)存策略為連續(xù)盤(pán)點(diǎn)的(T,S)策略,以及隨機(jī)波動(dòng)量為一般分布及需求率為一般函數(shù)的情況和庫(kù)存策略為周期盤(pán)點(diǎn)的(s,S)策略等進(jìn)行研究。
[1]Ghare P M,Schrader S F.A model for exponentially decaying inventory[J].Journal of Industrial Engineering,1963,14:238 -243.
[2]Covert R P,Philip G C.An EOQ model for items with Weibull distribution deterioration[J].AIIE Transactions,1973,5(4):323-326.
[3]Tadikamalla P R.An EOQ inventory model for items with Gamma distribution[J].AIIE Transaction,1978,10(1):100 -103.
[4]Abad P L.Optimal pricing and lot sizing under conditions of perishability and partial backordering[J].Management Science,1996,42:1093-1104.
[5]Abad P L.Optimal pricing and order size for a reseller under partial backordering[J].Computers and Operations Research,2001,28:53 -65.
[4]Papachristos S,Skouri K.An inventory model with deteriorating items,Quantity discount,pricing and time-dependent partial backlogging[J].International Journal of Production Economics,2003,83:247 -256.
[5]Shah Y K,Jaiswal M C.An order-level inventory model for a system with constant rate of deterioration[J].Operations Research,1979,14:174 -184.
[6]莫降濤,徐春明.允許缺貨且?guī)?shù)量折扣的腐爛物質(zhì)庫(kù)存模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí).2010(5):1-8.
[7]周永務(wù),王圣東.庫(kù)存控制理論與方法[M].北京:科技出版社,2009.
[8]題正義,鄭九龍,張仕偉.需求連續(xù)隨機(jī)的庫(kù)存模型改進(jìn)[J].遼寧工程大學(xué)學(xué)報(bào),2006(2):276-278.
[9]李銀俠,楊茂盛.一類(lèi)需求連續(xù)隨機(jī)變質(zhì)物品的庫(kù)存模型[J].商品儲(chǔ)運(yùn)與養(yǎng)護(hù),2007(2):31-32.
[10]馮穎,蔡小強(qiáng),涂菶生,等.隨機(jī)需求情形下單一易變質(zhì)產(chǎn)品庫(kù)存模型的訂購(gòu)與定價(jià)策略[J].南開(kāi)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010(2):106-112.