蘭德新，趙 萌

(武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，福建武夷山 354300)

在過(guò)去的幾十年里，已有不少研究者致力于擴(kuò)展經(jīng)典的EOQ模型到包含易變質(zhì)的情形。例如Ghere和 Schrader［1］通過(guò)考慮常數(shù)變質(zhì)而給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的 EOQ 模型，Covert和 Philip［2］以及 Tadikamalla［3］通過(guò)考慮變化的變質(zhì)率而進(jìn)一步擴(kuò)展Ghere和Schrader的模型，Shah通過(guò)使用具有一般分布的變質(zhì)率并允許短缺而將所有這些模型進(jìn)行一般化。許多文獻(xiàn)對(duì)允許缺貨、短缺量部分拖后問(wèn)題做了研究，如文獻(xiàn)［4－5］考慮變質(zhì)、短缺量部分拖后等因素，建立了單一產(chǎn)品的訂價(jià)和批量的庫(kù)存模型。文獻(xiàn)［6－7］研究了允許缺貨且?guī)?shù)量折扣的腐爛物質(zhì)庫(kù)存模型。但在實(shí)際的庫(kù)存系統(tǒng)中，許多學(xué)者考慮了需求是隨機(jī)變量的問(wèn)題，如文獻(xiàn)［8－9］考慮一類(lèi)需求連續(xù)隨機(jī)變質(zhì)物品的庫(kù)存模型。文獻(xiàn)［10］采用周期盤(pán)點(diǎn)的(T，S)策略，在需求為連續(xù)型隨機(jī)變量，提前期為0，缺貨量完全延期供給且變質(zhì)率為常數(shù)的情形下，研究了易變質(zhì)產(chǎn)品的訂購(gòu)策略。

本文將在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上同時(shí)考慮拖后率和隨機(jī)因素的這類(lèi)問(wèn)題，即:當(dāng)產(chǎn)品發(fā)生連續(xù)變質(zhì)時(shí)，變質(zhì)率θ為固定常數(shù);需求率為連續(xù)型隨機(jī)變量并受產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格的影響;允許缺貨，缺貨部分延期供給，拖后率是β(t)=e－kt，k＞0，t是等待時(shí)間。最后給出了最優(yōu)的訂購(gòu)與定價(jià)策略。

1 數(shù)學(xué)模型的刻畫(huà)

考慮一類(lèi)無(wú)限時(shí)間范圍內(nèi)，隨機(jī)需求下缺貨部分延期補(bǔ)給的易變質(zhì)產(chǎn)品的庫(kù)存優(yōu)化模型。采用周期盤(pán)點(diǎn)的(T，S)庫(kù)存策略，即每隔相同的訂購(gòu)周期長(zhǎng)T，將庫(kù)存水平瞬時(shí)補(bǔ)充到S。

圖1描述系統(tǒng)的庫(kù)存水平的變化狀態(tài)，系統(tǒng)從0時(shí)刻開(kāi)始運(yùn)作，并且假定0時(shí)刻庫(kù)存水平為S，此后產(chǎn)品以一定的速率連續(xù)出售，需求率，其中:p為單位產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格;X表示隨機(jī)波動(dòng)量，服從Gamma－分布Γ(λ，k)且λ＞0，k≥2;μ表示X的均值;d(p)=a－bp(其中a代表產(chǎn)品的市場(chǎng)基礎(chǔ))表示單位時(shí)間內(nèi)的期望需求量，是p的單調(diào)遞減函數(shù)。由于連續(xù)的需求和產(chǎn)品自身的變質(zhì)使得庫(kù)存水平不斷下降，最終假定在τ時(shí)刻，庫(kù)存水平下降到0;在τ時(shí)刻后，繼續(xù)到來(lái)的需求量拖后補(bǔ)給，拖后率是 β(t)=e－kt，k ＞0，t是等待時(shí)間。

圖1 產(chǎn)品的庫(kù)存水平變化曲線

令I(lǐng)x(t)為t時(shí)刻且隨機(jī)變量X的實(shí)現(xiàn)為x時(shí)的庫(kù)存水平，可以得到微分方程:

由邊界條件Ix(0)=S及Ix(τ)=0求解微分方程(1)及(2)得:

再由式(3)及邊界條件Ix(τ)=0可得

假設(shè)購(gòu)買(mǎi)單位產(chǎn)品所需的可變訂購(gòu)成本為c，單位產(chǎn)品在單位時(shí)間內(nèi)的庫(kù)存成本為h，單位產(chǎn)品的缺貨成本為π，單位產(chǎn)品丟單成本為p－π，則系統(tǒng)在［0，T］時(shí)間內(nèi)各項(xiàng)費(fèi)用計(jì)算如下:

1)總的期望收益

2)期望訂購(gòu)成本

3)期望庫(kù)存成本

4)期望缺貨成本和丟單成本

綜上，庫(kù)存系統(tǒng)總的期望利潤(rùn)函數(shù)可表述為:

總期望利潤(rùn)=總期望收益－(期望訂購(gòu)成本+期望庫(kù)存成本+期望缺貨成本+期望丟單成本)即

本文的庫(kù)存模型為

2 模型分析

模型(7)是帶約束條件的非線性規(guī)劃問(wèn)題，本研究的目標(biāo)是尋找p，s的值，使得庫(kù)存系統(tǒng)總的期望利潤(rùn)NP(p，s)最大。考慮到模型(6)的積分計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，而實(shí)際應(yīng)用中變質(zhì)率0＜θ＜＜1，參數(shù)0＜k＜＜1，因此可以保證當(dāng)x＞q時(shí)有，這樣式(6)采用近似計(jì)算，對(duì)結(jié)果影響不太大。由式(6)得

對(duì)式(8)的項(xiàng) e－kT和 e－θT利用泰勒展開(kāi)，并保留3項(xiàng)，化簡(jiǎn)得:

將式(9)中的變量p，s替換為p，q，即得如下形式:

即

將式(11)代人(10)得

故

因?yàn)閒(x)是Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0和k≥2)的密度函數(shù)，所以式(13)可以化為k次多項(xiàng)式方程，利用Matlab軟件求k次多項(xiàng)式方程(13)的正的近似解且 r≤k。將代人式(11)求出滿(mǎn)足的且 r≤k。比較 NP(pi*，qi*)的大小使NP(pi*，qi*)取得最大的NP(p*，q*)，再與邊界上條件p=c和代人式(10)求得目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的NP(c，q1)和進(jìn)行比較，并取得最大的解(p*，q*)，對(duì)應(yīng)的(p*，s*)即為模型(7)的最優(yōu)策略。

3 算法與算例仿真

步驟1 模型，即式(10)對(duì)p求偏導(dǎo)，并令為，代人式(10)得

由于方程中的f(x)是Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0，k≥2)的密度函數(shù)，所以上述方程可化為k次多項(xiàng)式方程，利用Matlab軟件求k次多項(xiàng)式方程的正的近似解，i，1，2，…，r且 r≤k。將代人式(11)求出滿(mǎn)足的且 r≤k。比較的大小使取得最大的NP(p*，q*)。

步驟3 比較目標(biāo)函數(shù)值NP(p*，q*)與邊界上目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的NP(c，q1)和，其中使目標(biāo)函數(shù)值NP(p，q)達(dá)到最大的(p*，q*)對(duì)應(yīng)的(p*，s*)即為模型的最優(yōu)訂購(gòu)策略。

為了便于驗(yàn)證和說(shuō)明此庫(kù)存系統(tǒng)的模型，本文給出模型中涉及到的隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)和各種參數(shù)的取值，設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

參數(shù) T=10，c=100，θ=0.01，k=0.02，π =80，h=20，d(p)=500 －0.5p，經(jīng)過(guò)計(jì)算式(13)化為

其近似解q*≈3.795，將q*≈3.795代入式(11)得方程:

其近似解 p*=522.387 33，此時(shí)對(duì)應(yīng)的 s*=4 765.485，NP(p*，q*)=1 149 879.21。

而邊界上目標(biāo)函數(shù)值NP(100，q1)和 NP(1 000，q2)均小于NP(p*，q*)，通過(guò)比較我們得到最優(yōu)訂購(gòu)策略(p*，s*)=(522.387 33，4 765.485)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)隨機(jī)波動(dòng)量為一類(lèi)Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0，k≥2)時(shí)，且短缺量部分拖后的情形下，建立了單一易變質(zhì)產(chǎn)品的隨機(jī)庫(kù)存模型。庫(kù)存策略為周期盤(pán)點(diǎn)的(T，S)策略。采用最小二乘法原理以及泰勒展開(kāi)對(duì)模型進(jìn)行了分析和近似求解，給出求解其最優(yōu)的訂購(gòu)策略的算法步驟，并給出算例進(jìn)行仿真，得到了訂購(gòu)的近似最優(yōu)策略(p*，s*)。還可以考慮庫(kù)存策略為連續(xù)盤(pán)點(diǎn)的(T，S)策略，以及隨機(jī)波動(dòng)量為一般分布及需求率為一般函數(shù)的情況和庫(kù)存策略為周期盤(pán)點(diǎn)的(s，S)策略等進(jìn)行研究。

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