趙旺，周薇薇，陳永紅（淮南師范學(xué)院物理與電子信息系，安徽淮南 232038）

Mathcad在弦振動(dòng)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

趙旺，周薇薇，陳永紅
（淮南師范學(xué)院物理與電子信息系，安徽淮南 232038）

以弦振動(dòng)特性的研究為例，闡述Mathcad軟件在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。Mathcad可以對(duì)駐波運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行形象直觀的仿真模擬，還可以對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行方便快捷的分析處理，從而極大地豐富教學(xué)手段，有效地提升教學(xué)質(zhì)量。

Mathcad；駐波；仿真模擬；數(shù)據(jù)處理

1 引言

Mathcad是美國(guó)PTC公司旗下的一款交互式的數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)，集文本編輯、數(shù)學(xué)計(jì)算、程序編輯和仿真于一體，可廣泛應(yīng)用于代數(shù)運(yùn)算、微積分、矩陣運(yùn)算、符號(hào)計(jì)算、變量與單位的定義和計(jì)算、圖形處理和程序編寫(xiě)等[1]。它的主要特點(diǎn)包括可以在工作區(qū)任意位置輸入，且輸入格式與人們習(xí)慣的數(shù)學(xué)書(shū)寫(xiě)格式非常接近，因而形象、直觀便于閱讀；采用動(dòng)態(tài)的所見(jiàn)即所得（WYSWYG）界面，調(diào)整任何參數(shù)，相應(yīng)的結(jié)果也自動(dòng)發(fā)生改變。Mathcad可以看作是一個(gè)功能強(qiáng)大的計(jì)算器，還可以與Microsoft Office、AutoCAD、MatLab等軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)交換與整合。它沒(méi)有復(fù)雜的規(guī)則，運(yùn)行并不要求具備較多的計(jì)算機(jī)知識(shí)，因此，特別適合教師、學(xué)生、工程人員等用戶使用。

在自然界中，振動(dòng)現(xiàn)象是廣泛存在的。而弦振動(dòng)特性的研究一直以來(lái)是高等學(xué)校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的傳統(tǒng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)之一，通過(guò)該實(shí)驗(yàn)的開(kāi)設(shè)，學(xué)生對(duì)波的形成、傳播和干涉能夠產(chǎn)生更加直觀、深刻的認(rèn)識(shí)。但在實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展過(guò)程中，存在以下問(wèn)題：在抽象的實(shí)驗(yàn)原理與具體的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象之間不容易建立聯(lián)系，給教師授課和學(xué)生理解帶來(lái)了困難；實(shí)驗(yàn)后期數(shù)據(jù)較多，且處理比較繁瑣，需要計(jì)算、作圖等多個(gè)步驟。實(shí)踐表明，充分利用一些數(shù)學(xué)軟件則可以緩解這種狀況[2,3]。本文以Mathcad 14.0版本為例，介紹其對(duì)弦振動(dòng)現(xiàn)象的仿真模擬以及對(duì)數(shù)據(jù)的最小二乘法分析和圖像表達(dá)的典型應(yīng)用方法。

2 實(shí)驗(yàn)原理及內(nèi)容

依據(jù)激勵(lì)裝置的不同，弦振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)可通過(guò)兩種方式實(shí)現(xiàn)：一是通過(guò)振動(dòng)音叉驅(qū)動(dòng)[4]；二是使用固定均勻弦振動(dòng)儀[3]。后者是利用在兩端固定并載有交流電流的金屬弦線在磁場(chǎng)中受到安培力作用振動(dòng)并產(chǎn)生共振而形成駐波，是傳統(tǒng)的電振音叉的升級(jí)換代產(chǎn)品，具有無(wú)噪聲、無(wú)污染的特點(diǎn)，并且通過(guò)函數(shù)信號(hào)發(fā)生器可以方便地調(diào)節(jié)頻率，上述兩點(diǎn)都是后者優(yōu)于前者之處。

二者的實(shí)驗(yàn)原理基本相同。以前者為例，如圖1所示，將細(xì)弦線的一端固定在電振音叉上，另一端繞過(guò)滑輪掛上砝碼。音叉振動(dòng)強(qiáng)迫弦線振動(dòng)（弦振動(dòng)頻率和音叉的頻率γ相等），形成一列向滑輪端前進(jìn)的橫波，稱為入射波。入射波在滑輪處反射后形成沿相反方向傳播的反射波。這樣入射波與反射波在同一弦線上相互干涉，適當(dāng)調(diào)節(jié)砝碼重量或弦長(zhǎng)（音叉端到滑輪軸間的線長(zhǎng)），弦線上的波就能形成駐波。這時(shí)，可以看到弦線上的波就被分成了幾段，每段波兩端始終靜止不動(dòng)的點(diǎn)稱為波節(jié)，而中間振幅最大的點(diǎn)稱為波腹。

圖1 弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

由于弦線的兩端點(diǎn)是固定靜止不動(dòng)的,故兩端點(diǎn)必為波節(jié)。這里設(shè)入射波為正弦波，沿x軸正方向傳播，則入射波和反射波可分別表示為：

式中A為簡(jiǎn)諧波的振幅，T為周期，λ為波長(zhǎng)，x為弦線上質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置。

兩波疊加后的合成波為駐波，其方程為：

這樣相鄰的波節(jié)（或波腹）間的距離都是半個(gè)波長(zhǎng)。相鄰兩個(gè)波節(jié)構(gòu)成一個(gè)半波區(qū)，若此時(shí)弦上有n個(gè)半波區(qū)，則波長(zhǎng)λ=2l/n，因此，弦上的波速v可表示為：

將（3）代入（4）式，可以得出弦振動(dòng)規(guī)律：

綜合上述討論，弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容主要包括兩點(diǎn)[4]：一是定性觀察弦振動(dòng)時(shí)形成的駐波；二是定量驗(yàn)證弦振動(dòng)的波長(zhǎng)λ與張力T的關(guān)系。

3 Mathcad對(duì)駐波運(yùn)動(dòng)的模擬

通過(guò)使用Mathcad可以方便的對(duì)駐波的形成和運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行模擬，這樣在抽象的物理公式和實(shí)際的觀測(cè)現(xiàn)象之間建立聯(lián)系，從而達(dá)到增強(qiáng)學(xué)生對(duì)駐波的理解的目的。

由于式（1）中入射波和反射波表達(dá)式是一種通式，為了操作方便，我們做了對(duì)（1）式做了如下變形，令X=x/λ，Y=y/A，則：

下面我們對(duì)某一時(shí)刻進(jìn)行模擬。以t/T= 1/8時(shí)刻為例，運(yùn)行Mathcad，菜單欄插入→圖表→X-Y繪圖，在出現(xiàn)的繪圖區(qū)域的x軸占位符處輸入“X”,在y軸占位符處輸入“sin[2π(X-1/8)],sin [2π(X+1/8)],sin[2π(X-1/8)]+sin[2π(X+1/8)]”。這樣，Mathcad就可以快捷地繪制出入射波Y1=sin [2π(X-1/8)]，反射波Y2=sin[2π(X+1/8)]和合成駐波Y=sin[2π(X-1/8)]+sin[2π(X+1/8)]的圖像。在繪圖區(qū)域右鍵→格式，可以很方便地對(duì)X-Y軸、軌跡、數(shù)字格式和標(biāo)簽等圖像屬性進(jìn)行編輯；右鍵→追蹤，則可以查看圖像上任意一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值。t/T=1/8時(shí)刻所得波形圖如圖2所示，其中，虛線分別表示入射波和反射波，實(shí)線則代表合成的駐波。

圖2 t/T=1/8時(shí)刻，入射波、反射波和合成駐波的波形圖

同理，我們可以繪制出任意時(shí)刻合成駐波的波形圖。另外，我們可以利用Mathcad中的內(nèi)置變量FRAME，設(shè)計(jì)創(chuàng)建圖示動(dòng)畫(huà)[5]，從而動(dòng)態(tài)地表達(dá)駐波隨時(shí)間的波形變化。圖3選取了幾個(gè)典型時(shí)刻（t/T=0,1/8,1/4,3/8,1/2）的合成駐波的圖像。由圖3可以總結(jié)出駐波運(yùn)動(dòng)規(guī)律：駐波可以分為幾個(gè)分段；同一分段中的各質(zhì)點(diǎn)作振幅不同、相位相同的運(yùn)動(dòng)，中間的點(diǎn)振幅最大，越靠近兩端，振幅越小，兩端的點(diǎn)則始終保持靜止不動(dòng)；相鄰分段上的各點(diǎn)，振動(dòng)相位相反。波節(jié)（或波腹）位置，相鄰波節(jié)（或波腹）間的距離，也與本文第二部分的理論推導(dǎo)一致。因此，Mathcad對(duì)駐波運(yùn)動(dòng)的模擬，在物理公式與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象之間搭建了一座橋梁，可以使學(xué)生對(duì)駐波的認(rèn)知更加容易，也更加深刻。

圖3 駐波波形隨時(shí)間的變化

4.Mathcad對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析

弦振動(dòng)最終獲得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，接下來(lái)就是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，定量驗(yàn)證波長(zhǎng)λ與張力T之間的關(guān)系。

表1 弦振動(dòng)測(cè)量數(shù)據(jù)

由式（5），可以看出波長(zhǎng)λ與張力T并不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，直接建立經(jīng)驗(yàn)公式一般是比較困難的，因此，將式（5）兩側(cè)取對(duì)數(shù)，得

這樣就lnλ與lnT間就構(gòu)成了線性關(guān)系。

圖解法是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是直線更加容易描繪，圖像更加直觀形象，更重要的是直線的斜率和截距往往包含著深刻的物理內(nèi)涵，便于求出某些物理量以及建立關(guān)系式等。但它的缺點(diǎn)也很明顯：第一必須由原始數(shù)據(jù)計(jì)算出繪圖所需數(shù)據(jù)，計(jì)算量較大；第二作圖用坐標(biāo)紙精度不足，并且在圖線的繪制上（如橫縱軸范圍選擇）往往帶有較大的任意性，所得的結(jié)果常常因人而異，并且很難對(duì)它做進(jìn)一步的誤差分析。

在研究直線的擬合問(wèn)題時(shí)，用最小二乘法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也是一種通用的方法。使用最小二乘法從觀測(cè)到的數(shù)據(jù)中可以求出一個(gè)最佳的經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng) =a+bx，使得觀測(cè)值和擬合值的偏差平方和最小。按這一最佳經(jīng)驗(yàn)公式做出的圖線雖不一定通過(guò)每一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但是它以最接近這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的方式平滑地穿過(guò)它們。根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的自變量x=x1，x2，. ..xn與因變量y=y1，y2，...yn的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，可以求出上述待定參量[3]：

式中

r稱作相關(guān)系數(shù)，可以用于衡量擬合的準(zhǔn)確性。| r|的值在0和1之間，越接近于1，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越密集在所求的直線的周圍。由（8）式可以看出，最小二乘法的缺點(diǎn)就是計(jì)算任務(wù)非常繁重，且易出錯(cuò)。

現(xiàn)在我們用Mathcad幾步即可完成對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理。如圖4所示，將表1中m、l1、l2和l3在Mathcad中以矩陣表示，首先利用簡(jiǎn)單的矩陣運(yùn)算求出張力T和平均波長(zhǎng)λ，然后將lnT數(shù)據(jù)賦值于x，將lnλ賦值于y，最后輸入函數(shù)語(yǔ)句slope (x,y)以求解斜率，intercept(x,y)以求解截距，corr (x,y)以求解相關(guān)系數(shù)。計(jì)算結(jié)果表明，相關(guān)系數(shù)等于0.9996，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性關(guān)系良好（見(jiàn)圖5）；斜率為0.5068，與式（7）的理論計(jì)算值（0.5）較為吻合，證明了波長(zhǎng)λ與張力T的開(kāi)方成正比。

圖4 Mathcad對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析處理示例

圖5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與所擬合得到的直線

5 結(jié)論

Mathcad是一款界面友好、功能豐富而強(qiáng)大的計(jì)算軟件。它能對(duì)物理實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行仿真模擬，使抽象的問(wèn)題形象化、直觀化，加深了學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)；還能夠快捷地對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算，極大地減輕了計(jì)算負(fù)擔(dān)。因此，對(duì)教師而言，Mathcad可以有效地輔助教學(xué)，提高課堂講授效果；對(duì)學(xué)生而言，Mathcad的熟練掌握與靈活運(yùn)用，不僅僅有助于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，還能夠給學(xué)習(xí)、生活等各個(gè)方面帶來(lái)便捷。

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1009-9530（2012）03-0087-03

2012-01-12

安徽省高校人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)區(qū)項(xiàng)目（2009cxsyq024）；安徽省高校省級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)項(xiàng)目（20100904）

趙旺（1982-），男，淮南師范學(xué)院物理與電子信息系講師，博士，主要從事稀土發(fā)光材料的研究。