景德鎮(zhèn)高等?？茖W(xué)校 葉藝林

用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)作業(yè)實(shí)踐

景德鎮(zhèn)高等?？茖W(xué)校 葉藝林

文章以應(yīng)用Mathematica 8做數(shù)學(xué)作業(yè)的形式，介紹了符號計(jì)算系統(tǒng)發(fā)展前沿的應(yīng)用狀況，期望引起我國數(shù)學(xué)工作者的重視。一方面盡快在我國的數(shù)學(xué)教育中充分的反映這些內(nèi)容，另一方面在數(shù)學(xué)應(yīng)用方面，尤其是數(shù)學(xué)模型技術(shù)應(yīng)用方面，符號計(jì)算系統(tǒng)應(yīng)該像計(jì)算器一樣走進(jìn)千家萬戶。

符號計(jì)算系統(tǒng)；計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)；Mathematica；Maple

一、引言

我們已經(jīng)步入信息時代，這是一個以計(jì)算機(jī)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)、多媒體技術(shù)等為核心的信息技術(shù)高度應(yīng)用的時代?？梢哉f當(dāng)今信息技術(shù)已經(jīng)滲透到人類社會的一切領(lǐng)域，正改變著我們的生活方式和工作方式。掌握信息技術(shù)是現(xiàn)代人的基本素質(zhì)，特別是在科學(xué)發(fā)展和技術(shù)創(chuàng)新前沿，誰掌握了最先進(jìn)的信息技術(shù)誰就能勝出一籌。

我國信息技術(shù)發(fā)展很快，使用PC機(jī)、智能手機(jī)、平板電腦等上網(wǎng)交流、獲取和發(fā)布信息已經(jīng)是百姓生活的一部分，人們用計(jì)算機(jī)搜集資料，閱讀書、刊、報，寫作，創(chuàng)作，設(shè)計(jì)，制作教學(xué)課件等等。不過在輔助學(xué)習(xí)方面，信息技術(shù)應(yīng)用目前還是有很多地方或方面是處女地，還大有用武之地。比如很少有人用PC機(jī)做作業(yè)，尤其是用PC機(jī)做數(shù)學(xué)作業(yè)。作為拋磚引玉，本文就是想讓大家都知道，用計(jì)算機(jī)也可以做數(shù)學(xué)作業(yè)，而且用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)作業(yè)的操作是非常簡單的，期望能夠得到普及。

二、符號計(jì)算系統(tǒng)簡介

符號計(jì)算系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)常指進(jìn)行符號計(jì)算的計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)。目前流行的符號計(jì)算系統(tǒng)很多（參見教材[3]第3頁或教材[4]第1頁），可分為專用和通用兩類。通用符號計(jì)算系統(tǒng)，是一個集成化的表示數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)工具的計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)，其處理對象從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，幾乎涉及所有數(shù)學(xué)學(xué)科。Mathematica 8和Maple 15就是兩款很好的通用符號計(jì)算系統(tǒng)。

Mathematica 8作為一款強(qiáng)大的計(jì)算工具，能夠支持任意精度的數(shù)值計(jì)算、符號式運(yùn)算以及可視化功能，詳見網(wǎng)站http://www.wolfram.com/mathematica/features/，本文就選用Mathematica 8這個軟件來介紹怎樣用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)作業(yè)。

三、用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)作業(yè)實(shí)踐

1.解析幾何作業(yè)

圖1

例2，求作二次曲線6xy+8y2—12x—26y十11＝0的圖形。（參見教材[1]第124頁例題一）

解：我們只要輸入一條指令就可得到所要求作的圖形，它是一條雙曲線，見圖2。

圖2

注意：首先這是一個隱函數(shù)作圖；其次根據(jù)圖形分布情況，我們可以非常方便地調(diào)整圖形顯示范圍，實(shí)現(xiàn)最佳作圖效果。

圖3

例3：畫出曲面3x2-2y2-z2=6的簡圖：（參見教材[1]第85頁第13題的8）小題）

解：輸入一條命令即可，見圖3，圖形是雙頁雙曲面。

例4：求二次曲面S：2xy+2yz+2xz+9=0的標(biāo)準(zhǔn)方程（參見教材[2]第218頁例一）

解：首先，把曲面S所對應(yīng)的系數(shù)矩陣賦值給w；再用函數(shù)Eigensystem[]獲得w的特征值和特征向量；然后用函數(shù)Orthogonalixe[]由特征向量組得正交基q；最后驗(yàn)算q.w.qT是一對角矩陣，得該曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程為：9x2+2y2-z2=1。具體做法見圖4。

圖4

2.高等代數(shù)作業(yè)

例5：設(shè)A=（aij）sn，B=(bjk)nm，證明：秩（AB）≧秩（A）+秩（B）-n。參見教材[7]第209頁第10題）

圖5

證明：只對s=5，n=8，m=6的情形證明，首先，用Table[]函數(shù)任意構(gòu)造一個s×n矩陣和一個n×m矩陣并分別賦值給a，b；然后用MatrixRank[]函數(shù)構(gòu)建要證明的不等式；最后根據(jù)計(jì)算結(jié)果為真，可見命題對s=5，n=8，m=6的情形是正確的。具體做法見圖5。

例6：證明：

（參見教材[6]第41備注2）

證明：將等式左邊行列式的值賦給c，將等式右邊表達(dá)式的值賦給d，化簡c-d得零。具體做法見圖6。

圖6

解：首先將矩陣賦值給m；然后用約當(dāng)分解命令JordanDecomposi-tion[m]得到矩陣s和j，具體做法見圖7。

圖7

圖8

例8：解線性方程組（參見教材[7]第152頁第1題1）小題）

解：將方程組作為Solve[]函數(shù)的參數(shù)輸入，即可得到通解為x1=-t/2，x2=-1-t/2，x3=0，x4=-1-t/2，x5=t。具體做法見圖8。

例9：求A-1，

（參見教材[7]第205頁第20題6）小題）

解：把矩陣A賦值給a，用Inver-se[a]指令求得

并賦值給b，驗(yàn)證a.b=b.a=I。具體做法見圖9。

圖9

3.數(shù)學(xué)分析作業(yè)

解：在函數(shù)Integrate[]中輸入被積函數(shù)和積分變量，即得原函數(shù)。具體做法見圖10。

圖10

例11：計(jì)算定積分

（參見教材[9]第81頁例9）

解：只要輸入一條命令就得到這個定積分的值為2-6/?2。具體做法見圖11。

圖11

（參見教材[9]第19頁例18）

圖12

解：只要輸入一條命令就得到這個極限的值為12。具體做法見圖12。

例13：證明：

解：只要輸入一條命令就得到左邊這個極限的值為2π。具體做法見圖13。

圖13

注意：原題是“假設(shè)f(x)在[-1，1]上連續(xù)，證明：

（參見教材[5]第211頁第6題）例14：設(shè)

（參見教材[9]第15頁例12）

圖14

解：只要輸入一條命令就可。具體做法見圖14。

例15.求極限

（參見教材[9]第18頁例17）

解：只要輸入一條命令就可。具體做法見圖15。

圖15

例16：所謂基本不等式是說：n個非負(fù)數(shù)的幾何平均值不大于算術(shù)平均值。即設(shè)x1，x2，…，xn是n個非負(fù)數(shù)，則有

其中等式僅在x1=x2=…=xn時成立。試對n=10驗(yàn)證基本不等式（見教材8第120頁13和第121頁15題）

證明：我們通過求表達(dá)式x1+x2+…+xn在限制條件x1≥0，x2≥0，…，xn≥0，x1x2…xn=1下的最小值來證明：基本不等式的等價形式：x1+x2+…+xn＞=n其中x1≥0，x2≥0，…，xn≥0，x1x2…xn=1。具體做法見圖16。

圖16

四、小結(jié)

用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)作業(yè)有如下的特點(diǎn)：

1.作業(yè)中的對象必須是具體的。因此，像“假設(shè)f(x)在[-1，1]上連續(xù)”這樣的抽象函數(shù)f(x)，計(jì)算機(jī)是不能處理的，計(jì)算機(jī)只能處理給定的具體函數(shù)。盡管如此，由于我們在實(shí)際工作中所遇到的數(shù)學(xué)問題是都是具體的，所以掌握用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)作業(yè)這門技術(shù)，對于我們來說依然是十分重要的。

2.用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)作業(yè)的過程一般是人機(jī)交互的會話過程，并不需要我們編寫程序。我們所要做的只是根據(jù)作業(yè)題目的內(nèi)容向計(jì)算機(jī)發(fā)出一條條要求計(jì)算機(jī)執(zhí)行計(jì)算的指令。也就是說，在用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)作業(yè)的過程中，我們必須要做兩件事情：一件是列出做一個具體題目的計(jì)算步驟；另一件是根據(jù)這些計(jì)算步驟依次向計(jì)算機(jī)發(fā)出一條條計(jì)算指令，叫計(jì)算機(jī)去完成每一步具體的計(jì)算任務(wù)，直到問題得到解決。

3.計(jì)算指令一般是以調(diào)用函數(shù)的形式出現(xiàn)的，并且某條計(jì)算指令就是該具體計(jì)算的英文名稱或者是其縮寫。例如，“行列式”的英文名稱是Determinant，要計(jì)算行列式A，就輸入指令Det[A]。不熟悉計(jì)算指令的初學(xué)者，建議選用Mathemati-ca 8，它有完整的中文幫助。在虛擬全書中，直接輸入需要的計(jì)算名稱就可以查找到需要的計(jì)算指令。例如，通過輸入“特征值”，可以找到計(jì)算“特征值”的指令。

4.雖然計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力非常強(qiáng)，但它也不是百分之百的計(jì)算都做得出來，而且有的計(jì)算結(jié)果也會不正確。這一點(diǎn)我們一定要有充分的認(rèn)識。例如，Mathematica 8不能求出下列級數(shù)的極限，見圖17。

圖17

但是，Maple 15卻可以求出這些極限。見圖18。

又如，

但是Mathematica 8卻會出錯，見圖19，

可見，不僅不同的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，其計(jì)算能力有所不同，而且其計(jì)算質(zhì)量也不差別。上面結(jié)果表明Maple 15比Mathematica 8求極限能力要強(qiáng)些，出錯也要少些。

圖18

5.由于篇幅所限，以上筆者僅介紹了用計(jì)算機(jī)做解析幾何、高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析三門數(shù)學(xué)課程的作業(yè)，大家千萬不要誤會，以為用計(jì)算機(jī)只能夠做這三門數(shù)學(xué)課程的作業(yè)。實(shí)際上我們用計(jì)算機(jī)幾乎可以做從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的全部作業(yè)。不過由于數(shù)學(xué)具有抽象性的特點(diǎn)，而抽象對象計(jì)算機(jī)又不能處理，因此，對數(shù)學(xué)作業(yè)中大量包含有抽象對象的習(xí)題是不能用計(jì)算機(jī)來做的。例如，我們不能用計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)分析中的“微分中值定理”。針對這種情況的廣泛性，筆者建議大家采用具體的對象代替抽象的對象，再用計(jì)算機(jī)來處理，以驗(yàn)證這些數(shù)學(xué)結(jié)論。就像上面的例5、例13和例16那樣。

[1]吳光磊,田疇.解析幾何簡明教程[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]宋衛(wèi)東.解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]張韻華.符號計(jì)算系統(tǒng)Mathematica教程[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[4]張韻華,王新茂.符號計(jì)算系統(tǒng)Maple教程[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2007.

[5]吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京:人民教育出版社,1979.

[6]朱德祥.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,1988.

[7]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1989.

[8]徐利治,王興華.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講[M].北京:高等教育出版社,1983.

[9]鄭步南.數(shù)學(xué)分析典型題選講[M].桂林:廣西師范大學(xué)出版社,2003.

葉藝林（1961—），男，江西樂平人，景德鎮(zhèn)高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)與信息工程系教授，從事教學(xué)工作，主編有教材《文獻(xiàn)信息檢索教程》，發(fā)表論文20余篇，研究方向：數(shù)學(xué)應(yīng)用。