邱 天 爽， 尤 國 紅， 沙 嵐， 趙 小 平， 高 陽

（大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

時(shí)延估計(jì)是無源時(shí)差定位系統(tǒng)中的關(guān)鍵技術(shù)，時(shí)差定位因其隱蔽性高、定位速度快等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于軍事和民用領(lǐng)域中，如雷達(dá)、電子戰(zhàn)及基于位置的服務(wù)等.近幾十年來，時(shí)延估計(jì)的方法不斷得到發(fā)展和創(chuàng)新，從時(shí)域經(jīng)典的相關(guān)類方法[1、2]到頻域的相位譜法[3、4]，從LMS自適應(yīng)法到ETDE及各種衍生的自適應(yīng)類算法[5、6]，從傳統(tǒng)的二階累積量法到高階及分?jǐn)?shù)低階累積量法等[7、8].

然而眾多的時(shí)延估計(jì)方法中，專門針對(duì)射頻窄帶信號(hào)的有效方法卻不多.影響射頻窄帶信號(hào)時(shí)延估計(jì)精度的主要因素包括：（1）兩臺(tái)獨(dú)立接收機(jī)的本振頻率無法保證一致，導(dǎo)致兩路接收信號(hào)之間的中頻偏差總是存在的，而目前的時(shí)延估計(jì)方法很少考慮中頻偏差對(duì)估計(jì)精度的影響；（2）一般來說，射頻窄帶信號(hào)具有采樣頻率較高、絕對(duì)帶寬較小的特點(diǎn)，因而相對(duì)帶寬（絕對(duì)帶寬與采樣頻率之比）就較小，如采用相位等頻域內(nèi)的方法估計(jì)時(shí)延，可利用的有效點(diǎn)數(shù)較少，信息量較小，時(shí)延估計(jì)的精度難以得到保證；（3）窄帶信號(hào)的相關(guān)函數(shù)所占頻帶較寬，受噪聲影響較大，從而產(chǎn)生較大的時(shí)延估計(jì)誤差.

本文針對(duì)影響射頻窄帶信號(hào)時(shí)延估計(jì)精度的3個(gè)主要因素，采用平方倍頻法估計(jì)出兩路信號(hào)的中頻，相減得到中頻偏差，然后采用頻差補(bǔ)償方法消除中頻偏差對(duì)后續(xù)時(shí)延估計(jì)精度的影響；利用線性調(diào)頻Z變換（CZT）代替離散傅里葉變換（DFT）求取兩路接收信號(hào)的互功率譜密度，在有限帶寬內(nèi)增加時(shí)延估計(jì)的有效點(diǎn)數(shù)；同時(shí)考慮到相位譜時(shí)延估計(jì)法的特點(diǎn)，即兩路信號(hào)的相位譜變化規(guī)律呈線性，建立簡單的Kalman濾波模型對(duì)相位譜進(jìn)行線性擬合，改善信噪比，從而提高時(shí)延估計(jì)的精度.

1 方法介紹

1.1 問題描述

假設(shè)某一射頻窄帶源信號(hào)被兩個(gè)獨(dú)立的接收機(jī)接收，由于接收機(jī)之間存在一定的空間距離，接收到的兩路信號(hào)之間存在一定的時(shí)差，設(shè)兩路接收信號(hào)的雙基元離散模型為

式中：x（n）和y（n）為接收到的信號(hào)；s（n）為射頻窄帶源信號(hào)；v1（n）和v2（n）為與源信號(hào)互不相關(guān)的加性獨(dú)立高斯白噪聲；D為x（n）與y（n）間的時(shí)間延遲.令s（n）＝a（n）ej（ωcn＋φ（n）），其中a（n）為s（n）的包絡(luò)，ωc為載頻，φ（n）為s（n）的相位.重寫式（1）為

考慮到射頻信號(hào)中心頻率的分布特點(diǎn)，這里需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行中頻變換處理.令ω0為接收機(jī)的本振頻率，Δω為兩接收機(jī)的本振頻率差，則經(jīng)中頻變換后可得

觀察式（3）可得

其中ej（ω0－ωc）D為一常數(shù)，記作α.于是當(dāng)頻差存在時(shí)兩接收信號(hào)模型可以簡化為

其中w1（n）和w2（n）仍為加性獨(dú)立高斯白噪聲，且與源信號(hào)互不相關(guān).

當(dāng)頻差不存在即Δω＝0時(shí)，信號(hào)x（n）與y（n）的互相關(guān)函數(shù)為Rxy（m）＝Rss（m－D）.由離散傅里葉變換可得x（n）與y（n）的互功率譜密度函數(shù)為

其中Gss（ω）為源信號(hào)s（n）的自功率譜密度函數(shù)，為實(shí)數(shù).顯然，時(shí)間延遲D體現(xiàn)在Gxy（ω）的相位函數(shù)上：

通過求解xy（ω）的斜率，即可得到時(shí)延估計(jì)值.

相位譜時(shí)延估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)從式（7）可以看出，即兩路信號(hào)的相位譜變化規(guī)律呈線性，如果將相位值看作一個(gè)隨機(jī)過程的狀態(tài)，那么如果已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，就可以利用Kalman濾波器對(duì)信號(hào)的相位譜進(jìn)行線性擬合，改善信噪比，提高時(shí)延估計(jì)的精度.

但是，當(dāng)頻差Δω≠0時(shí)，觀察式（3）可知已無法從相位函數(shù)中提取原始信號(hào)之間的時(shí)延信息D，這正是相位譜時(shí)延估計(jì)法的局限性之一；對(duì)于射頻窄帶信號(hào)來說，采用相位譜時(shí)延估計(jì)法的另一個(gè)局限性在于利用頻域進(jìn)行時(shí)延估計(jì)的有效點(diǎn)數(shù)受信號(hào)帶寬的制約.

針對(duì)以上兩點(diǎn)局限性，本文采用頻差補(bǔ)償?shù)姆椒▉斫鉀Q中頻偏差問題，采用CZT變換增加頻域內(nèi)進(jìn)行時(shí)延估計(jì)的有效點(diǎn)數(shù).

1.2 頻差補(bǔ)償?shù)姆椒?/h3>

由式（5）可知，通過對(duì)兩路信號(hào)中頻偏差的準(zhǔn)確估計(jì)可提高對(duì)單路信號(hào)的頻差補(bǔ)償：

問題的關(guān)鍵就是如何估計(jì)兩路信號(hào)的中頻偏差Δω.一種方法是通過Hilbert變換[9]提取信號(hào)的包絡(luò)進(jìn)行時(shí)延估計(jì)，可以避免中頻偏差的影響.但信號(hào)經(jīng)過Hilbert變換后轉(zhuǎn)變?yōu)榛鶐盘?hào)，此時(shí)信號(hào)帶寬減小為原來的1/2，則可利用的時(shí)延估計(jì)有效點(diǎn)數(shù)也隨之減半，這樣對(duì)時(shí)延估計(jì)精度的影響是很大的.本文采用一種更直接的方法，即利用平方倍頻法首先估計(jì)出兩路信號(hào)的中頻后相減，然后按照式（8）直接對(duì)單路信號(hào)進(jìn)行頻差補(bǔ)償.

平方倍頻法原理如圖1所示，以其中一路接收信號(hào)x（n）為例，為了方便推導(dǎo)，將式（3）中的x（n）寫成實(shí)信號(hào)的形式，即

式中：x（n）為AM抑制載波信號(hào)，由于接收信號(hào)x（n）不含載波分量，a（n）中也沒有直流分量存在，這樣就不能將中頻ω0直接過濾掉.x（n）經(jīng)過平方器后輸出為

其中p（n）表示為平方器的輸出噪聲.盡管a（n）中不存在直流分量，但經(jīng)平方運(yùn)算后a2（n）中卻包含了直流分量，且式（10）中等式右端含有2ω0頻率分量，可利用帶通濾波器直接將其濾出，再通過二分頻處理得到所需中頻ω0.將估計(jì)出的兩路信號(hào)中頻做差，就可以得到中頻偏差Δω.

圖1 平方倍頻法原理Fig.1 Principle of frequency doubling method

1.3 基于CZT的頻域細(xì)化法

采用相位譜法對(duì)射頻窄帶源信號(hào)進(jìn)行時(shí)延估計(jì)時(shí)，由于頻域帶寬的限制，可用于時(shí)延估計(jì)的有效點(diǎn)數(shù)較少，所含信息量有限.為了增加有效點(diǎn)數(shù)，本文采用CZT代替式（6）中的DFT，即

由于CZT不受頻率分辨率的限制，能計(jì)算單位圓上任意一段曲線的Z變換，并且也可以依據(jù)特定需要確定均勻采樣的間隔，更適合對(duì)特定窄帶頻譜進(jìn)行細(xì)化與分析，具體原理介紹如下.

設(shè)序列x（n）的長度為N，其CZT定義[10]如下：

本文所研究的射頻窄帶信號(hào)的帶寬一般在10kHz以下，以采樣頻率為50MHz、長度為106的射頻窄帶信號(hào)為例，該信號(hào)在頻域內(nèi)可用來計(jì)算時(shí)延估計(jì)的有效點(diǎn)數(shù)為

式中：B表示信號(hào)帶寬，fs表示采樣頻率，N表示信號(hào)長度.顯然僅利用這200個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行基本的最小二乘相位譜時(shí)延估計(jì)很難達(dá)到較高的精度.

考慮單位圓上的CZT，此時(shí)A0＝W0＝1，在[2π（fc－B/2），2π（fc＋B/2）]弧度范圍內(nèi)對(duì)頻譜進(jìn)行2倍細(xì)化，即M＝2N，其中fc為載頻，則可用來計(jì)算時(shí)延估計(jì)的有效點(diǎn)數(shù)為

顯然NCZT＝2NDFT，即可用來計(jì)算時(shí)延估計(jì)的有效點(diǎn)數(shù)增加了1倍.

1.4 Kalman濾波器的設(shè)計(jì)

在使用相位譜法進(jìn)行時(shí)延估計(jì)時(shí)，時(shí)延估計(jì)的精度受噪聲的影響是不容忽視的，因此減小噪聲的影響是非常必要的.Kalman濾波法是一種最優(yōu)自回歸數(shù)據(jù)處理方法，具有良好的抗噪聲性能以及快速收斂特性[11、12].同時(shí)，采用相位譜時(shí)延估計(jì)法易于建立簡單的Kalman模型來對(duì)信號(hào)的相位譜進(jìn)行線性擬合，模型的狀態(tài)方程和觀測方程如下：

式中：xk為k時(shí)刻的狀態(tài)向量，定義如下：

其中φk表示相位，φ′k表示斜率，是對(duì)相位取導(dǎo)數(shù)，即想求得的時(shí)延.A和H分別表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測矩陣，定義如下：

zk為k時(shí)刻的觀測向量；wk－1和vk分別表示過程噪聲和觀測噪聲，兩者相互獨(dú)立且均為零均值高斯白噪聲，即

其中Q和R分別為過程噪聲和觀測噪聲的協(xié)方差.

1.5 本文方法步驟

（1）首先采用平方倍頻法分別估計(jì)出兩路接收信號(hào)的中頻ω01和ω02，相減得到兩路信號(hào)的中頻偏差Δω＝ω02－ω01.

（2）對(duì)單路信號(hào)按照式（8）進(jìn)行頻差補(bǔ)償，消除中頻偏差對(duì)時(shí)延估計(jì)的影響.

（3）用線性調(diào)頻Z變換代替離散傅里葉變換，即利用式（11）求得信號(hào)的互功率譜密度，從而求得相位函數(shù)xy（ω）.

（4）利用本文設(shè)計(jì)的濾波器模型對(duì)相位函數(shù)xy（ω）進(jìn)行線性擬合，求出xk中的斜率φ′k，即求得了所要的時(shí)延信息D.

方法步驟示意圖如圖2所示.

圖2 本文方法示意圖Fig.2 Schematic diagram of this paper′s method

2 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果討論

總體仿真條件如下：設(shè)有用信號(hào)和噪聲均服從均值為0，方差為1的高斯分布，且信號(hào)與噪聲之間互不相關(guān).調(diào)制信號(hào)為載波頻率為10.7 MHz，采樣頻率為50MHz的AM抑制載波，選取數(shù)據(jù)長度為106，設(shè)時(shí)間延遲的真值為2μs.調(diào)制信號(hào)的帶寬由10kHz遞減到2kHz，信噪比由10dB遞減到5dB，中頻偏差由0.5kHz遞增到2.5kHz，每種條件獨(dú)立仿真100次，以100次時(shí)延估計(jì)的均方根誤差作為衡量算法精度的指標(biāo)，定義均方根誤差如下式所示：

仿真實(shí)驗(yàn)中為了加快算法的運(yùn)行速度，在用CZT求取兩路信號(hào)的互功率譜過程中，選取輸入點(diǎn)數(shù)的2倍作為輸出點(diǎn)數(shù)，即M＝2N.為了加快算法迭代速度并得到更準(zhǔn)確的迭代結(jié)果，在Kalman濾波的初值選取上，利用最小二乘法估計(jì)出相位和斜率的值作為狀態(tài)向量的迭代初值，取預(yù)先多次實(shí)驗(yàn)仿真的均值作為觀測噪聲的協(xié)方差值.

本文對(duì)基于Hilbert變換取包絡(luò)的最小二乘相位譜時(shí)延估計(jì)法（HLSP），基于Hilbert變換取包絡(luò)及Kalman濾波的相位譜時(shí)延估計(jì)法（HKP），基 于 Hilbert變 換 取 包 絡(luò)、CZT 及Kalman濾波的相位譜時(shí)延估計(jì)法（HCKP），基于頻差補(bǔ)償?shù)淖钚《讼辔蛔V時(shí)延估計(jì)法（BLSP），基于頻差補(bǔ)償及Kalman濾波的相位譜時(shí)延估計(jì)法（BKP），本文提出的基于頻差補(bǔ)償、CZT及Kalman濾波的相位譜時(shí)延估計(jì)法（BCKP）分別進(jìn)行了獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn).仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較如表1～3所示.

仿真結(jié)果表明：本文方法（BCKP）的時(shí)延估計(jì)精度明顯優(yōu)于其他5種方法，具有顯著的優(yōu)勢.從表1可以看出：BCKP的精度高于HCKP，BKP的精度高于HKP，BLSP的精度高于HLSP，本文算法的均方根誤差最小且穩(wěn)定控制在30ns以內(nèi)，由此可以得出，在克服中頻偏差方面，直接進(jìn)行頻差補(bǔ)償?shù)姆椒ㄒ糜诶肏ilbert取包絡(luò)的方法.從表2可以看出：HCKP的精度高于HKP，BCKP的精度高于BKP，即使在帶寬降到3kHz時(shí)，本文方法的均方根誤差仍小于100ns，由此可以得出，在有限帶寬內(nèi)，利用CZT能更好地抑制窄帶信號(hào)帶寬的影響，提高時(shí)延估計(jì)的精度.從表3可以看出：表中前4種方法的精度明顯高于后兩種，其中本文方法（BCKP）的精度最高，由此可以得出，Kalman濾波器在改善信噪比方面具有良好的抗噪聲性能.仿真分析表明，即使存在中頻偏差，本文所提出的時(shí)延估計(jì)新方法仍能夠得到較高精度.

表1 調(diào)制信號(hào)帶寬10kHz，信噪比10dB，6種方法在不同中頻偏差下的ermsTab.1 ermscorresponding to different intermediate frequency difference of six methods（bandwidth is 10kHz，SNR is 10dB）

表2 信噪比10dB，中頻偏差1kHz，6種方法在不同調(diào)制信號(hào)帶寬下的ermsTab.2 ermscorresponding to different bandwidth of six methods （SNR is 10dB，intermediate frequency difference is 1kHz）

表3 調(diào)制信號(hào)帶寬10kHz，中頻偏差1kHz，6種方法在不同信噪比下的ermsTab.3 ermscorresponding to different SNR of six methods （bandwidth is 10kHz，intermediate frequency difference is 1kHz）

3 結(jié) 論

本文研究了存在中頻偏差下射頻窄帶信號(hào)的時(shí)延估計(jì)問題，提出了一種基于頻差補(bǔ)償?shù)南辔蛔V時(shí)延估計(jì)新方法.該方法利用頻差補(bǔ)償?shù)脑硐擞捎趦膳_(tái)接收機(jī)本振頻率不一致而對(duì)后續(xù)時(shí)延估計(jì)產(chǎn)生的影響；針對(duì)窄帶信號(hào)帶寬較小的問題，利用CZT來增加相位法在有限帶寬內(nèi)可用于估計(jì)時(shí)延的有效點(diǎn)數(shù)；同時(shí)應(yīng)用Kalman濾波器對(duì)相位譜進(jìn)行線性擬合，改善信噪比.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在中頻偏差存在的條件下，本文方法能夠?qū)ι漕l窄帶信號(hào)進(jìn)行較高精度的時(shí)延估計(jì).

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