潘 秋 惠， 宋 悅 銘， 俞 思 韻， 王 挺， 賀 明 峰

（1.大連理工大學 創(chuàng)新實驗學院，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 數(shù)學科學學院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

只要一個群體中有兩個或以上的人，那么財富就存在分配問題.人類社會中有關財富分配的問題涉及一個地區(qū)的政治、經(jīng)濟、文化等多個方面，成為國家與社會公眾普遍關注的問題.當前財富分配問題的研究也較為廣泛.

Dragulescu等從物理學的觀點出發(fā)，在分配因子固定的情況下，建立了基于Monte Carlo規(guī)則的動能財富交換模型[1].Patriarca等也在分配因子固定的情況下，通過保守因子概念，對參與者進行分類，分別對同類和異類現(xiàn)象給出了具體的規(guī)則，建立了基于動能交換機制的財富交換模型[2].

另一類關于分配因子的確定是采用隨機的方式，Chakraborti等在動能交換機制的基礎上，在分配因子隨機的情況下，分析了保守因子對參與者最終所得財富的影響[3].Chatterjee等在總人數(shù)、總財富量固定的條件下，利用隨機分配因子，對每對進行財富交換的參與者加入保守因子，并在每次交易完成后隨機改變保守因子大小，研究保守因子對財富分配的影響[4].Gupta提出了一般的交換機制，在分配因子隨機的情況下，建立了從兩人參與到多人參與，再到帶保守因子的財富交換模型[5].Ding等討論了多人參與時，個別人具有優(yōu)先性條件下的財富分布問題[6].Chatterjee等在分配因子隨機分布的前提下，討論了保守因子關于不同的函數(shù)，在不同的機制下，對財富分配的影響[7].

Cherkashin等提出了一種基于博弈的整體財富分配模型[8]，該模型中每位參與者先將個人財富按個人策略押到事件A上，A發(fā)生的概率為q，若A發(fā)生，則將押在A上的財富按給定方式重新分配，若A未發(fā)生，將其余財富重新分配.本文將基于博弈的整體財富分配方式應用到兩人博弈時的財富分配，從而確定相應的分配因子，以此為基礎討論不含保守因子[1]及含保守因子[3]時的財富分配問題.

1 模 型

設有N個人，在t時刻，任選兩人i、j.首先進行博弈游戲[8]，二人按各自的策略分別將自己擁有的財富量ωi（t－1）和ωj（t－1）按一定比例押在a、b兩種結果上，記Si、Sj為個體i、j的策略，即i個體押a的比例為Si，押b的比例為1－Si，j個體押a、b的比例分別為Sj和1－Sj.該賭局最終發(fā)生的結果為a的概率是q，發(fā)生的結果為b的概率是1－q.稱q為客觀影響因子，其一定程度上反映了外在環(huán)境對系統(tǒng)的影響作用.二人在博弈結束后根據(jù)結果重新進行財富分配.

若最終結果為a，則

同理，若最終結果為b，則

在此模型基礎上，又建立了引入保守因子λ的財富交換模型，即二人在博弈中，并未拿出全部財產，而是按比例保留部分財產[3].

同理可得到i、j個體t時刻的財富值

2 結果與分析

2.1 不含保守因子的財富分配

在不含保守因子時，分別取q＝0.2、0.5、0.7.迭代停止時，相應的財富分布結果見圖1（R為相應財富值人數(shù)占總人數(shù)的比例）.

圖1 t＝2 000時財富量的分布Fig.1 Wealth distribution at t＝2 000

從圖1可見，q＝0.2、0.5、0.7三種情況下，財富量的分布趨勢非常相近，表現(xiàn)為占有財富量多的人數(shù)很少，說明在現(xiàn)在的交易規(guī)則中，大部分人擁有很少的財富，很少的人擁有多數(shù)財富，呈兩極化狀態(tài)，這與文獻[1]的結論相似.說明就總體財富分布而言，基于博弈的財富交換沒有導致新的財富分布規(guī)律.這也是這種財富分布規(guī)律普遍性的一個體現(xiàn).

為了討論博弈對個體財富的影響，下面考察給定q值時，具有不同策略Si的個體的財富分布情況，見圖2.

如圖2（b）顯示，當q＝0.5，個體策略Si趨于0.5時，對應的群體在交易中可獲得更多的財富，個體策略Si距離0.5較遠的群體在交易中失去較多的財富；同樣，圖2（a）、（c）中峰值分別位于Si＝0.2和Si＝0.7附近.即財富相對集中于具有與q相趨近的策略的人群中.

綜合圖1和2可知，當q取不同值時，盡管整體財富的分布趨勢基本相同，但群體中擁有財富量多少的人員構成卻是不同的，這是博弈作用的體現(xiàn).

2.2 包含保守因子λ的財富分配

在包含保守因子的模型下，仍取q＝0.2、0.5、0.7，λi＝λ（i＝1，2，…，N）.

取λ＝0.5，此時不同策略的個體的財富分布見圖3.

由圖3可以看出，在λ＝0.5時，取不同q值，財富量隨Si變化的分布與圖2的財富分布趨勢相似.說明保守因子沒有影響策略值越接近q值，財富量越多這個性質.

下面討論保守因子λ對財富分布的影響，取q＝0.5，λ不同時，財富分布如圖4所示.

從圖4可見，財富分布的集散程度與保守因子有關，λ越小，財富的分布相對越集中，同等財富值對應橫軸上的跨度越?。欢敠溯^大時，跨度較大，即財富分布在較多的個體手中.且隨著λ的增加，個體財富的最大值變小.在迭代終止時，對給定的λ，記個體的最大財富量為ωmax（λ），即的變化趨勢見圖5.

圖2 不同策略的個體的財富分布Fig.2 Wealth distribution of agents with different strategies

圖3 λ＝0.5時不同策略的個體的財富分布Fig.3 Wealth distribution of agents with different strategies whileλ＝0.5

圖4 q＝0.5時不同策略的個體的財富分布Fig.4 Wealth distribution of agents with different strategies while q＝0.5

圖5 ωmax（λ）隨λ的變化趨勢Fig.5 ωmax（λ）as the function ofλ

從圖5可見，在迭代終止時，隨著給定λ的不斷增大，ωmax（λ）不斷減小.說明當保守因子增大時，個體財富的最大值變小.即保守程度的增加使參與交易的財富值份額減少，從而財富在個體之間的交易量減少，這有利于財富的平均分布，不利于財富在少數(shù)個體中聚集，這是ωmax（λ）減小的一個原因.

對給定的λ，將個體財富量從大到小累加，記累加值占總財富量20%時的人數(shù)為n（λ），n（λ）隨λ的變化趨勢見圖6.

從圖6可見，隨著λ的不斷增大，n（λ）的值不斷增大.說明當保守因子增大時，擁有很多財富的人數(shù)在減少，表明隨著λ增大財富分配相對更加分散.從n（λ）的增長方式可以看出，當λ從較小值開始增加時，n（λ）的增加是緩慢的，說明此時λ增加對財富聚集程度的減少效果是不明顯的，而λ從較大值開始增加時，n（λ）增加很快，說明此時λ增加，可有效防止財富的過度聚集.

圖6 n（λ）隨λ的變化趨勢Fig.6 n（λ）as the function ofλ

3 結 論

本文在封閉系統(tǒng)財富交換模型基礎上通過引入博弈游戲確定分配因子，分別討論不含保守因子和包含保守因子兩種情形下系統(tǒng)的財富分配.

不含保守因子時，盡管整體財富的分布趨勢基本相同，但群體中擁有財富量多少的人員構成卻是不同的，這是博弈作用的體現(xiàn).

包含保守因子時，財富分布的集散程度與保守因子有關，且保守因子越小，財富的分布相對越集中，隨著保守因子增大財富分配相對更加分散.這主要是由于當保守因子增大時，個人財富的最大值變小.即保守程度的增加使參與交易的財富值份額減少，從而財富在個體之間的交易量減少，這有利于財富的平均分布，不利于財富在少數(shù)個體中聚集.

[1] Dragulescu A， Yakovenkoa V M. Statistical mechanics of money [J].The European Physical Journal B，2000，17（4）：723－729.

[2] Patriarca M，Heinsalu E，Chakraborti A.Basic kinetic wealth－exchange models：common features and open problems[J].The European Physical Journal B，2010，73（1）：145－153.

[3] Chakraborti A， Chakrabarti B K. Statistical mechanics of money：How saving propensity affects its distribution[J].The European Physical Journal B，2000，17（1）：167－170.

[4] Chatterjee A，Chakrabarti B K，Manna S S.Pareto law in a kinetic model of market with random saving propensity[J].Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2004，335（1－2）：155－163.

[5] Gupta A K.Relaxation in the wealth exchange models[J].Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2008，387（27）：6819－6824.

[6] DING Ning， WANG You－gus，XU Jun，etal.Power－law distributions in circulating money：Effect of preferential behavior[J].International Journal of Modern Physics B，2004，18（17－19）：2725－2729.

[7] Chatterjee A，Sen P.Agent dynamics in kinetic models of wealth exchange[J].Physical Review EStatistical，Nonlinear，and Soft Matter Physics，2010，82（5）：056117.

[8] Cherkashin D，F(xiàn)armer J D，Lloyd S.The reality game [J].Journal of Economic Dynamics and Control，2009，33（5）：1091－1105.