劉志峰 張敬東 成煥波

合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

0 引言

動(dòng)載荷是指隨時(shí)間急劇發(fā)生變化或是構(gòu)件內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生不可忽略的加速度的載荷。單純采用力學(xué)算法計(jì)算動(dòng)載荷的關(guān)鍵點(diǎn)在于沖擊動(dòng)載荷因子的確定，而且只能求解彈性變形的動(dòng)載荷因子，產(chǎn)生塑性變形時(shí)的動(dòng)載荷因子只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法確定，最終的計(jì)算結(jié)果與該動(dòng)載荷因子成正比，該方法不但計(jì)算復(fù)雜而且結(jié)果缺乏準(zhǔn)確性［1］。ABAQUS的Explicit求解器主要用于高速碰撞、復(fù)雜接觸以及材料的失效和退化仿真分析。ABAQUS／Explicit Dynamic分析方法專(zhuān)門(mén)用于對(duì)高速動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，如在進(jìn)行爆炸分析時(shí)，載荷在瞬間增大而且持續(xù)時(shí)間非常短，精確地捕捉結(jié)構(gòu)響應(yīng)的應(yīng)力波是極其重要的，而應(yīng)力波與系統(tǒng)的最高階固有頻率和最小時(shí)間增量步有直接的關(guān)系。為了提高產(chǎn)品的性能，近年來(lái)有不少企業(yè)和研究機(jī)構(gòu)專(zhuān)門(mén)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行跌落碰撞研究，這方面的研究主要有：手機(jī)外殼耐沖擊性能研究［2］，運(yùn)用跌落分析對(duì)電視機(jī)等產(chǎn)品包裝材料進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)［3－4］，使用 LS－DYNA 顯式動(dòng)力學(xué)有限元方法對(duì)便攜式工具的跌落性能進(jìn)行研究［5］，優(yōu)化約束條件提高構(gòu)件的抗跌落性能研究［6］等。而對(duì)于帶有質(zhì)量集中的線路板等電子元器件基本沒(méi)有人從事研究。本文對(duì)ABAQUS／Explicit dynamic算法的理論進(jìn)行研究，得出材料的剛度、密度等屬性與計(jì)算精確度和運(yùn)算時(shí)間等各個(gè)變量之間的關(guān)系；將PCB板上的電子元件簡(jiǎn)化為三個(gè)集中質(zhì)量塊，建立PCB板跌落的有限元模型，并采用惠斯通電橋測(cè)量應(yīng)變法驗(yàn)證有限元模型的準(zhǔn)確性；在試驗(yàn)與模擬的基礎(chǔ)上研究PCB板的跌落性能。

1 顯式動(dòng)力學(xué)理論分析

1.1 求解算法

ABAQUS／Explicit在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中采用中心差分算法求解平衡方程，運(yùn)用動(dòng)態(tài)方程在每個(gè)微小的增量步內(nèi)計(jì)算下一個(gè)增量步的動(dòng)態(tài)狀況。

式中，M 為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；C為阻尼矩陣；F（t）為合力，F(xiàn)（t）＝P－I。

對(duì)于單個(gè)節(jié)點(diǎn)，阻尼矩陣和剛度矩陣為零，所以單個(gè)節(jié)點(diǎn)平衡方程轉(zhuǎn)化為

根據(jù)式（1）可計(jì)算出節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的加速度

由于顯式求解器針對(duì)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)采用極小的增量步，且質(zhì)量矩陣全部為對(duì)角矩陣而無(wú)需求解方程組，節(jié)點(diǎn)的加速度完全由質(zhì)量矩陣和施加在節(jié)點(diǎn)上的外力決定，雖然增量步非常小，但是作用時(shí)間極短，因此求解過(guò)程十分節(jié)省資源。

運(yùn)用中心差分法對(duì)加速度積分得出節(jié)點(diǎn)的速度方程：

式中，Δt為時(shí)間增量步值。

再次運(yùn)用中心差分法對(duì)速度積分求解出位移方程：

由式（2）～式（4）可知，模型節(jié)點(diǎn)的位移、速度和加速度只與時(shí)間增量步值有關(guān)，因此ABAQUS／Explicit采用極小的時(shí)間增量步值和很多的增量步完成中心差分的運(yùn)算。

1.2 穩(wěn)定時(shí)間極限Δtstable

ABAQUS／Explicit的算法表明，時(shí)間增量步Δt的大小直接關(guān)系到計(jì)算的準(zhǔn)確性，如果該時(shí)間大于穩(wěn)定時(shí)間極限Δtstable，則會(huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定和求解時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，因此在分析之前必須盡可能精確地估算出穩(wěn)定時(shí)間極限。穩(wěn)定時(shí)間極限由系統(tǒng)最高階頻率決定，在無(wú)阻尼狀態(tài)下，有

在有阻尼狀態(tài)下有

式中，ζ為最高階頻率的臨界阻尼系數(shù)；ωmax為系統(tǒng)最高階頻率。

要確定系統(tǒng)的最高階頻率必須對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性攝動(dòng)分析提取多階模態(tài)值，過(guò)程較為復(fù)雜。但是系統(tǒng)的最高階頻率與每個(gè)單元的最高階頻率緊密相關(guān)，并且單元的最高階頻率略高于整體的最高階頻率。為此采用更為簡(jiǎn)便的方法估算穩(wěn)定時(shí)間極限，即計(jì)算每個(gè)單元的最高階頻率對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定時(shí)間極限：

式中，Le為單元在各個(gè)尺寸方向上的最小值；Cd為模型材料的波速（這里只適用于彈塑性材料和線彈性材料，超彈性完全不可壓縮材料的波速趨近于無(wú)窮大）。

由式（8）可以看出，穩(wěn)定時(shí)間極限與單元的最小尺寸成正比，與材料的波速成反比。因而網(wǎng)格越細(xì)，所需的穩(wěn)定時(shí)間極限越短，這同時(shí)也會(huì)使總體分析時(shí)間延長(zhǎng)。

材料波速的計(jì)算公式為

式中，E為材料的彈性模量；ρ為材料的密度。

由此可見(jiàn)，材料剛度越大，波速越大，穩(wěn)定時(shí)間極限越小；而材料的密度越大，波速越小，穩(wěn)定時(shí)間極限越大。增大穩(wěn)定時(shí)間極限有利于分析的順利進(jìn)行和數(shù)值穩(wěn)定，同時(shí)也使計(jì)算的準(zhǔn)確性下降，因而在實(shí)際運(yùn)算中可以先估計(jì)出穩(wěn)定時(shí)間極限，用較大的時(shí)間增量步先進(jìn)行分析計(jì)算，在運(yùn)算出結(jié)果之后再細(xì)化網(wǎng)格進(jìn)行精確運(yùn)算。

1.3 能量平衡

能量平衡作為后處理的一部分，是評(píng)估分析精確性的重要組成部分，通過(guò)對(duì)比各種能量的比值可以判斷分析結(jié)果的精確度。

總的能量平衡方程為

式中，EI為內(nèi)能；EV為黏性耗散能；EFD為摩擦耗散能；EKE為動(dòng)能；EW為外力做功；EPW為接觸罰函數(shù)做功；ECW為約束罰函數(shù)做功；EMW為質(zhì)量縮放功；Etotal為總能量。

總能量Etotal為常值的100%，在分析過(guò)程中允許的最大誤差為1%。驗(yàn)證能量平衡主要是計(jì)算偽應(yīng)變能占總內(nèi)能的比例，即

式中，EE為可恢復(fù)彈性應(yīng)變能；EP為非彈性（如塑性）耗散能；ECD為蠕變或者黏彈性耗散能；EA為偽應(yīng)變能。

EA主要是由沙漏因素和殼單元與梁?jiǎn)卧臋M向剪應(yīng)變儲(chǔ)存的能量，按照ABAQUS／Explicit能量評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)，偽應(yīng)變能占總內(nèi)能的比例不得高于5%。

2 PCB板跌落分析

2.1 PCB板有限元模型的建立

2.1.1 基本假設(shè)

PCB電子元件線路板采用可壓縮聚苯乙烯泡沫包裝，將PCB板上其他電子元件的質(zhì)量簡(jiǎn)化為三個(gè)質(zhì)量塊，在距離地面1m高處自由下落，與剛性地面發(fā)生碰撞，基本模型如圖1所示。本文研究PCB板采用該包裝材料是否能承受沖擊載荷的作用而不導(dǎo)致材料的斷裂失效的問(wèn)題，為此提出以下幾點(diǎn)假設(shè)：

圖1 基本模型

（1）電子元件在碰撞過(guò)程中無(wú)論承受多大的力或者加速度，均不會(huì)與PCB板發(fā)生分離。

（2）PCB板在跌落瞬間產(chǎn)生的加速度和沖擊力不會(huì)致使板材發(fā)生斷裂，在材料定義中也不涉及斷裂強(qiáng)度。

（3）盡管跌落時(shí)PCB板對(duì)包裝材料產(chǎn)生很大的沖擊力，但并不致使板材進(jìn)入包裝材料內(nèi)部而使得包裝材料破損。

2.1.2 材料定義

（1）剛性板定義為離散剛體，即在PCB板跌落碰撞作用過(guò)程中不發(fā)生變形。

（2）包裝材料為可壓縮聚苯乙烯泡沫，其彈性模量為3MPa，泊松比為0，密度為100kg／m3，單軸壓縮數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 聚苯乙烯單軸壓縮數(shù)據(jù)

（3）PCB板厚度為4mm，密度為500kg／m3，彈性模量為45GPa，泊松比為0.3。

（4）集中質(zhì)量塊m＝0.5g。

2.1.3 網(wǎng)格劃分

首先采用粗網(wǎng)格模型，PCB板網(wǎng)格尺寸為10mm×15mm，單元類(lèi)型為S4R；剛性板由于已經(jīng)定義為離散剛體，所以求解精度與網(wǎng)格密度無(wú)關(guān)，為縮小計(jì)算量只劃分為一個(gè)單元，單元類(lèi)型為R3D4；包裝材料網(wǎng)格尺寸為6.3mm×5mm×3mm，最小單元尺寸為2mm×4mm×6.3mm，單元類(lèi)型全部為顯式線性六面體完全積分單元C3D8R，總體網(wǎng)格數(shù)為1618。粗網(wǎng)格模型如圖2所示，PCB板的應(yīng)力分布云圖見(jiàn)圖3。

圖2 粗網(wǎng)格模型

圖3 粗網(wǎng)格應(yīng)力云圖

2.1.4 穩(wěn)定時(shí)間極限

根據(jù)上述材料屬性和網(wǎng)格模型，分別計(jì)算不同材料的波速以及由此波速?zèng)Q定的穩(wěn)定時(shí)間極限。

（1）PCB板穩(wěn)定時(shí)間極限

（2）包裝材料穩(wěn)定時(shí)間極限

2.2 有限元模型驗(yàn)證

碰撞分析涉及材料非線性和幾何非線性因素，且材料非線性影響較為顯著。有限元模型的準(zhǔn)確性直接關(guān)系到后續(xù)分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，所以必須通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所建立的有限元模型準(zhǔn)確性。但對(duì)于本文所涉及的跌落碰撞過(guò)程，很難采用實(shí)驗(yàn)檢測(cè)跌落過(guò)程中的力學(xué)參數(shù)，因此通過(guò)靜力學(xué)實(shí)驗(yàn)測(cè)試該有限元模型的準(zhǔn)確性。以下實(shí)驗(yàn)采用應(yīng)變片測(cè)量該包裝材料受壓情況下的應(yīng)變情況。

2.2.1 測(cè)量方法

利用惠斯通電橋測(cè)量電阻應(yīng)變片的阻值變化來(lái)測(cè)量應(yīng)變，將電阻應(yīng)變片粘貼在圖4所示的待測(cè)區(qū)域，對(duì)包裝材料的正上部施加500Pa的均布載荷，測(cè)量包裝材料的4個(gè)內(nèi)角定點(diǎn)和下部中點(diǎn)的應(yīng)變值，并用有限元模擬相同工況，比較模擬值與測(cè)量值的差異。

圖4 模擬應(yīng)變

2.2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

由表2可看出：有限元模擬結(jié)果是，位置1、2的應(yīng)變值與位置3、4的應(yīng)變值相等，這與包裝材料的結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)和載荷對(duì)稱(chēng)完全一致，位置5的應(yīng)變值最大；實(shí)驗(yàn)值和模擬值的相對(duì)誤差均在5%以?xún)?nèi)，也符合ABAQUS顯式動(dòng)力學(xué)提出的誤差范圍。位置1、2的實(shí)驗(yàn)值和位置3、4的實(shí)驗(yàn)值產(chǎn)生誤差的原因有兩點(diǎn)：①惠斯通電橋?yàn)閱伪垭姌?，一次只能測(cè)量一個(gè)部位的應(yīng)變，所以4個(gè)位置的應(yīng)變?cè)诶碚撋想m應(yīng)相等但由于貼片位置的不精確導(dǎo)致應(yīng)變值誤差；②溫度過(guò)低致使溫度補(bǔ)償效應(yīng)減弱，從而使誤差增大。

表2 實(shí)驗(yàn)值與模擬值（應(yīng)變）

2.3 跌落模擬結(jié)果分析

2.3.1 力學(xué)參數(shù)分析

由圖3可知，PCB板首次與剛性地面發(fā)生碰撞時(shí)產(chǎn)生的最大應(yīng)力為226.5kPa，其能量平衡曲線如圖5所示，線路板實(shí)際能承受的最大壓力為36MPa，由于包裝材料具有一定的彈塑性，會(huì)出現(xiàn)二次回彈跌落，從而引起與剛性地面的多次碰撞，材料的非線性致使黏性耗散能消耗了部分動(dòng)能，所以以后的跌落產(chǎn)生的應(yīng)力均小于首次跌落產(chǎn)生的應(yīng)力，因此確定首次跌落碰撞力為跌落過(guò)程中的最大力。據(jù)此分析表明，該包裝材料完全滿足1m高度的跌落安全性能要求。

圖5 粗網(wǎng)格能量平衡圖

2.3.2 加速度分析

電子元件通常通過(guò)焊接或插槽方式固定在PCB板上，其加速度的變化可以準(zhǔn)確反映PCB板跌落碰撞過(guò)程中的實(shí)際情況。將PCB板上的電子元件的質(zhì)量簡(jiǎn)化為三個(gè)質(zhì)量塊，其中頂部和底部集中質(zhì)量塊的加速度曲線如圖6所示。可以看出，碰撞過(guò)程中底部質(zhì)量塊的加速度增加最快，在1.6ms時(shí)達(dá)到極限值544.9m／s2，隨后加速度逐漸減小，在10ms和13ms時(shí)發(fā)生二次和三次跌落碰撞，加速度值為269.5m／s2，隨后質(zhì)量塊的加速度曲線趨于平緩但帶有小幅波動(dòng)；頂部質(zhì)量塊的加速度在2ms時(shí)達(dá)到極限值427.3m／s2，與底部質(zhì)量塊的加速度極限值相比減小了21.5%。頂部質(zhì)量塊受到的沖擊較小的原因在于包裝材料側(cè)板的變形吸收了大量的動(dòng)能，使得頂部質(zhì)量塊受到緩沖作用。在13ms和18ms出現(xiàn)的加速度峰值分別為392m／s2、211.6m／s2，同樣小于底部質(zhì)量塊的加速度峰值，隨后加速度曲線趨于平緩波動(dòng)，這進(jìn)一步說(shuō)明了包裝材料的變形對(duì)能量的吸收作用。

圖6 質(zhì)量塊加速度曲線

2.3.3 能量平衡分析

能量平衡圖（圖5）表明：偽應(yīng)變能EA與內(nèi)能EI的比值η＝EA／EI約為1.5%，滿足前文理論中提到的EA／EI＜5%的能量平衡要求，分析結(jié)果較為準(zhǔn)確。

2.4 對(duì)比驗(yàn)證

為了進(jìn)一步研究網(wǎng)格的密度對(duì)計(jì)算時(shí)間和能量平衡以及計(jì)算精度的影響，對(duì)模型中除剛性板以外的所有部件的網(wǎng)格進(jìn)行加密處理，總計(jì)網(wǎng)格數(shù)量為8120，單元類(lèi)型不變。

根據(jù)前文有關(guān)穩(wěn)定時(shí)間極限的理論，計(jì)算時(shí)將設(shè)定的穩(wěn)定時(shí)間極限做減半處理，所得結(jié)果如圖7、圖8所示。比較圖3、圖7可知，網(wǎng)格細(xì)化后的應(yīng)力云圖更符合實(shí)際情況，應(yīng)力極值為212.5kPa，較粗網(wǎng)格模型增大5.2%，極值所處的位置并沒(méi)有發(fā)生變化。比較圖8、圖5可知，網(wǎng)格細(xì)化后能量比約為1%，細(xì)化網(wǎng)格后的偽應(yīng)變能顯著減小，說(shuō)明細(xì)化網(wǎng)格后所得到的應(yīng)力結(jié)果較粗網(wǎng)格得到的應(yīng)力結(jié)果更準(zhǔn)確。細(xì)網(wǎng)格、粗網(wǎng)格的CPU計(jì)算時(shí)間分別為92.4s、716.3s。綜合分析單元三維最小尺寸、穩(wěn)定時(shí)間極限、網(wǎng)格數(shù)量和運(yùn)行時(shí)間可得表3所示的結(jié)果。

圖8 細(xì)網(wǎng)格能量平衡圖

表3 運(yùn)行時(shí)間、穩(wěn)定時(shí)間極限、單元尺寸以及單元數(shù)量之間的關(guān)系

2.5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證仿真跌落的準(zhǔn)確性，采用加速度傳感器測(cè)量PCB板實(shí)際跌落過(guò)程中的加速度數(shù)值。由圖6可知，PCB板碰撞過(guò)程中質(zhì)量塊振蕩頻率在133～200Hz之間，加速度大小在－490～490m／s2之間，因此選用了ULT2804傳感器，該傳感器具有靜態(tài)頻率好、靈敏度高等特點(diǎn)，特別適用于低頻振動(dòng)加速度的監(jiān)測(cè)，其量程為±980m／s2，頻率為0～800Hz。

分別測(cè)量頂部和底部質(zhì)量塊加速度，以確保測(cè)量點(diǎn)與跌落過(guò)程監(jiān)測(cè)點(diǎn)保持一致。由于碰撞時(shí)間極短且加速度數(shù)值變化劇烈，故傳感器只能監(jiān)測(cè)到PCB板碰撞過(guò)程中的加速度極值，其測(cè)量值和模擬值對(duì)比如表4所示。

表4 測(cè)量值與模擬值對(duì)比（加速度）

表4數(shù)據(jù)表明，測(cè)量值與模擬值存在一定誤差，且測(cè)量值均大于模擬值。引起誤差的原因主要包括兩點(diǎn)：

（1）PCB板跌落碰撞過(guò)程中產(chǎn)生的沖擊載荷急劇變化，傳感器很難在極短的時(shí)間內(nèi)精確捕捉到加速度極值點(diǎn)。

（2）有限元模型與實(shí)際模型存在一定誤差，一部分動(dòng)能儲(chǔ)存為網(wǎng)格變形導(dǎo)致的偽應(yīng)變能，使得模擬值的速度和加速度均小于測(cè)量值。

3 結(jié)論

（1）ABAQUS／Explicit能夠準(zhǔn)確地模擬沖擊載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，頂部和底部質(zhì)量塊的加速度曲線精確反映了跌落碰撞過(guò)程。

（2）進(jìn)行顯式動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，材料剛度、網(wǎng)格單元的尺寸大小影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定時(shí)間極限，而總體網(wǎng)格數(shù)影響計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間。

（3）能量平衡理論是顯式動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果精確性的重要環(huán)節(jié)，本文分析表明：初次分析應(yīng)采用粗網(wǎng)格以加速收斂，通過(guò)驗(yàn)證能量平衡決定是否需要細(xì)化網(wǎng)格，以便實(shí)現(xiàn)在保證精度的同時(shí)縮短計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間。

（4）線路板跌落分析結(jié)果表明，聚苯乙烯包裝材料1m高自由落體跌落碰撞時(shí)產(chǎn)生的最大應(yīng)力為226.5kPa，小于 PCB板的跌落安全極限36MPa，滿足安全性能要求，并且安全系數(shù)較高，可以以此為依據(jù)對(duì)此包裝材料進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，以達(dá)到節(jié)省材料降低包裝成本的目的。

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