于華楠 郭樹(shù)旭

(吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 長(zhǎng)春 130012)

1 引言

超寬帶技術(shù)具有高數(shù)據(jù)傳輸率、低功耗、低成本、較強(qiáng)的抗多徑效應(yīng)等特點(diǎn)。但是接收高帶寬信號(hào)所需要的高速率 A/D轉(zhuǎn)換會(huì)導(dǎo)致通信設(shè)備復(fù)雜程度的增加或者采樣分辨率的下降，這是超寬帶通信需要突破的瓶頸之一[1]。文獻(xiàn)[2]提出的壓縮感知理論，對(duì)可壓縮的信號(hào)以遠(yuǎn)低于奈奎斯特速率的方式進(jìn)行采樣，仍能夠精確地恢復(fù)出原始信號(hào)。利用UWB信道的稀疏特性，壓縮感知理論能夠有效地降低UWB通信系統(tǒng)的采樣速率[3]。文獻(xiàn)[4]將壓縮感知理論引入到UWB通信中，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于概率模型的GLRT檢測(cè)器。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于壓縮感知的UWB信道隨機(jī)觀測(cè)估計(jì)算法，并將信道估計(jì)結(jié)果應(yīng)用于UWB信號(hào)檢測(cè)中，在較低的采樣速率下取得了更好的誤碼率性能。隨著對(duì)壓縮感知理論的深入研究，文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)一種新穎的UWB通信系統(tǒng)，適用于符號(hào)間干擾更嚴(yán)重的信道環(huán)境。但上述文獻(xiàn)中并沒(méi)有深入討論UWB信道的稀疏特性，以及建立在這個(gè)特性基礎(chǔ)上的壓縮感知理論的各個(gè)要素的研究。

本文在壓縮感知理論框架下討論超寬帶系統(tǒng)的信道估計(jì)問(wèn)題。通過(guò)分析UWB信道的稀疏特性和信道結(jié)構(gòu)特征，設(shè)計(jì)過(guò)完備字典庫(kù)和觀測(cè)矩陣，結(jié)合準(zhǔn)-托普林茲矩陣結(jié)構(gòu)把觀測(cè)矩陣描述成濾波器的形式，提出了一種濾波矩陣估計(jì)算法。該算法在考慮信道噪聲的環(huán)境下，具有較高的估計(jì)精度，而且對(duì)加性高斯噪聲具有更好的抑制作用。此外，該算法分別采用正交匹配跟蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)，基追蹤降噪(Basis Pursuit De-Noising, BPDN)和丹茨格選擇器(Dantzig Selector,DS)3種稀疏重建算法恢復(fù)原始信號(hào)。一方面驗(yàn)證了該算法在實(shí)踐中的靈活性，另一方面本文對(duì)比分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了UWB信道估計(jì)中CS重建算法的選擇建議。

2 壓縮感知理論

在壓縮感知理論框架下，考慮一般的信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題。假設(shè)具有某個(gè)稀疏域，且可壓縮的信號(hào)x是一個(gè)N維向量，能夠在一組正交基的基礎(chǔ)上稀疏表達(dá)，即變換系數(shù)是稀疏的，則信號(hào)x可由N個(gè)基向量描述成線性組合的形式。

在壓縮感知理論中，對(duì)信號(hào)x的采樣過(guò)程可以描述為一個(gè)線性投影。即信號(hào)x經(jīng)過(guò)線性變換后，輸出的觀測(cè)信號(hào)y包含M個(gè)元素，其中每個(gè)元素是x的一個(gè)檢測(cè)量。

其中F稱(chēng)為觀測(cè)矩陣且M?N。由于觀測(cè)數(shù)量M遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度N，所以直接重構(gòu)的線性方程式(2)是欠定的。壓縮感知理論給出當(dāng)觀測(cè)矩陣F符合等容受限(Restricted Isometry Property, RIP)時(shí)[7]，利用重建算法就能夠以很大的概率從觀測(cè)信號(hào)y中恢復(fù)出原始信號(hào)x，而不必知道未知信號(hào)u中非零元素的一系列位置。

綜上所述，基于壓縮感知理論的采集和處理信號(hào)過(guò)程可以總結(jié)如下：首先根據(jù)信號(hào)的特征設(shè)計(jì)過(guò)完備字典D，使x能夠在D中稀疏表示；然后，設(shè)計(jì)一個(gè)M×N維的觀測(cè)矩陣F，利用式(2)得到觀測(cè)信號(hào)y；最后，根據(jù)設(shè)計(jì)好的過(guò)完備字典D和觀測(cè)矩陣F，并選擇合適的重建算法，在接收端即可從觀測(cè)信號(hào)y中恢復(fù)原始信號(hào)x，實(shí)現(xiàn)超寬帶通信中的信道估計(jì)。

3 基于壓縮感知的UWB信道估計(jì)算法

目前，壓縮感知理論被廣泛應(yīng)用于UWB信道估計(jì)中，是基于UWB信號(hào)本身可以在某個(gè)預(yù)先設(shè)計(jì)的字典D下稀疏表示，而且當(dāng)尋找到一個(gè)與D不相關(guān)的觀測(cè)矩陣后，可以在重建算法的基礎(chǔ)上恢復(fù)原始信號(hào)。本文著重討論觀測(cè)矩陣的優(yōu)化選擇問(wèn)題。隨機(jī)觀測(cè)估計(jì)算法能夠基于壓縮感知理論框架實(shí)現(xiàn)UWB信道估計(jì)，本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)思路，提出濾波矩陣估計(jì)算法。

3.1 隨機(jī)觀測(cè)估計(jì)算法

本文采用IEEE 802.15.4a信道模型，UWB信道可以表示為

式中L是信道的多徑個(gè)數(shù)，al和tl分別是第l路信號(hào)的衰減和時(shí)延。在發(fā)送端，選擇具有單位能量的一階高斯脈沖信號(hào)p(t)作為發(fā)送短脈沖。若不考慮噪聲影響，經(jīng)過(guò)UWB信道接收端得到的信號(hào)為

其中*代表信號(hào)的卷積。

在UWB信號(hào)的相關(guān)檢測(cè)中，接收端使用g(t)的估計(jì)值g?(t)作為相關(guān)檢測(cè)的模板信號(hào)。信道估計(jì)最直接的方式是對(duì)g(t)采樣，將采樣結(jié)果作為估計(jì)值。但在超寬帶系統(tǒng)中，g(t)為寬帶信號(hào)，直接采樣要求模數(shù)轉(zhuǎn)換器(A/D)以很高的速率工作，通常要求采樣速率達(dá)到10 GHz以上，目前的工藝條件基本無(wú)法實(shí)現(xiàn)。隨著壓縮感知理論成為信號(hào)處理的研究熱點(diǎn)，隨機(jī)觀測(cè)估計(jì)算法可以作為一種更為優(yōu)越的解決方法。

隨機(jī)觀測(cè)估計(jì)算法在接收端用隨機(jī)觀測(cè)矩陣F1進(jìn)行觀測(cè)得到觀測(cè)值y1。

設(shè)計(jì)滿(mǎn)足RIP原則的Φ1，通?？蛇x擇多尺度Gabor方程、小波和正弦波方程以及隨機(jī)方程等。而對(duì)于過(guò)完備字典D最簡(jiǎn)單的辦法是選擇單位矩陣。但在超寬帶通信條件下g(t)在單位矩陣上的稀疏程度不是最優(yōu)的，需要更合適的過(guò)完備字典完成稀疏表達(dá)?？紤]到UWB信道本身的稀疏性，即沖激響應(yīng)h(t)是稀疏的，由h(t)與高斯脈沖卷積后得到的g(t)，可以視為p(t)的不同時(shí)延信號(hào)加權(quán)相加得到的。于是在設(shè)計(jì)過(guò)完備字典的過(guò)程中，將脈沖信號(hào)p(t)的不同時(shí)延信號(hào)作為過(guò)完備字典D中的原子，這樣g(t)將在D上很好地稀疏表示[5]。確定觀測(cè)矩陣和過(guò)完備字典后，只需進(jìn)行M維的低速率A/D轉(zhuǎn)換，在獲得觀測(cè)信號(hào)y1的情況下，通過(guò)CS重建算法就可以得到相干檢測(cè)的模板信號(hào)。

但是這一結(jié)果是在忽略噪聲對(duì)傳輸導(dǎo)頻符號(hào)影響的前提下得到的。在實(shí)際的UWB信道中，噪聲不可避免，于是考慮噪聲影響的UWB接收信號(hào)可以表示為

式中n(t)是 UWB信道的加性高斯白噪聲，符合

將式(6)寫(xiě)成離散形式，并用隨機(jī)觀測(cè)矩陣1F進(jìn)行觀測(cè)，得到的觀測(cè)值為

可以看出，觀測(cè)過(guò)程同時(shí)對(duì)信號(hào)和噪聲起作用，即對(duì)信道噪聲進(jìn)行了N維到M維的映射，由于M＜＜N，所以隨機(jī)觀測(cè)在降低采樣速率的同時(shí)也放大了噪聲。

3.2 濾波矩陣估計(jì)算法

為了避免觀測(cè)矩陣對(duì)噪聲的放大，本文在壓縮感知理論框架的基礎(chǔ)上提出了一種UWB信道濾波矩陣估計(jì)算法。該算法在發(fā)送端增加一個(gè)FIR濾波模塊代替接收端的觀測(cè)矩陣，由于線性變換的環(huán)節(jié)位于發(fā)射機(jī)部分，即在信道隨機(jī)噪聲參與之前已完成信號(hào)從N維到M維的映射，從而實(shí)現(xiàn)更高精度的信道估計(jì)。

假設(shè)FIR濾波器的沖激響應(yīng)為m(t)，則UWB接收信號(hào)可以表示為

針對(duì)超寬帶信道的實(shí)際特性，其信道沖激響應(yīng)h(t)是稀疏的。于是在本文提出的算法中，h(t)被當(dāng)作信道估計(jì)的目標(biāo)，直接采用單位矩陣作過(guò)完備字典即實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的稀疏表達(dá)。

對(duì)c(t)和h(t)做低速率的M維A/D轉(zhuǎn)換，有

其中矩陣F2符合準(zhǔn)-托普林茲矩陣結(jié)構(gòu)，即F2的每一行由L個(gè)非零元素組成，每一行都是由上一行移位q得到的。文獻(xiàn)[8]證明了準(zhǔn)-托普赫茲矩陣是符合RIP原則的，可以作為觀測(cè)矩陣的一種選擇方案。

由式(10)和式(11)，設(shè)計(jì)符合壓縮感知理論框架的觀測(cè)矩陣F2，它是對(duì)連續(xù)信號(hào)p(t) *m(t)進(jìn)行抽樣處理后的離散信號(hào)形式。由于信道本身的充分稀疏性，過(guò)完備字典的選擇可以直接采用單位矩陣的形式。濾波矩陣估計(jì)算法是基于壓縮感知理論的，通過(guò)低速率的M維A/D轉(zhuǎn)換得到觀測(cè)值y2，即可利用重建算法得到信道沖激響應(yīng)的估計(jì)值。對(duì)比式(7)和式(11)可以看出，本文提出的信道估計(jì)算法沒(méi)有對(duì)噪聲進(jìn)行N維到M維的映射，也就避免了對(duì)噪聲的放大，所以受噪聲環(huán)境的影響較小。同時(shí)，本文提出的算法在發(fā)送端對(duì)p(t)進(jìn)行濾波。濾波后的信號(hào)經(jīng)過(guò)UWB信道傳輸，在接收端直接進(jìn)行M維的低速率A/D轉(zhuǎn)換，降低了接收機(jī)的復(fù)雜程度。采用本文提出的算法進(jìn)行信道估計(jì)，得到的結(jié)果是信道的沖激響應(yīng)，并不是最終的發(fā)送信號(hào)，需要利用式(4)進(jìn)行卷積運(yùn)算，得到相關(guān)檢測(cè)中使用的模板信號(hào)。

3.3 重建算法

當(dāng)M?N時(shí)，式(2)描述的線性變換是一個(gè)欠定方程，而尋找欠定方程的最稀疏解是NP難問(wèn)題。文獻(xiàn)[2]證明這一問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題的求解。將式(2)中引入信道的加性高斯白噪聲的干擾，

信號(hào)重建的過(guò)程即在式(12)中利用觀測(cè)值y恢復(fù)出信號(hào)x。常用的稀疏重建策略主要有l(wèi)1范數(shù)收縮和貪婪算法等，本文主要分析l1范數(shù)收縮中的BPDN[9]算法和DS[10]算法以及貪婪算法中的OMP[11]算法。

BPDN算法由BP算法發(fā)展而來(lái)，嚴(yán)格的說(shuō)，BP是一種最優(yōu)化策略，任何能夠用來(lái)解決線性規(guī)劃問(wèn)題的算法都可以用來(lái)實(shí)現(xiàn) BP最優(yōu)化策略，如著名的單純型法和內(nèi)點(diǎn)法。BPDN算法用來(lái)解決如下的二次規(guī)劃問(wèn)題，

也可以寫(xiě)成

另一類(lèi)基于l1范數(shù)收縮的方法是DS算法，該算法求解以下優(yōu)化問(wèn)題：

對(duì)比式(14)和式(15)，DS算法與BPDN算法類(lèi)似。區(qū)別在于BPDN算法利用l2范數(shù)懲罰殘差，而DS算法通過(guò)使殘差與所有原子的相關(guān)性最小來(lái)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化。與l1范數(shù)收縮策略不同，OMP屬于貪婪算法。OMP算法原理簡(jiǎn)單、易于理解，且算法復(fù)雜度較低，是一種廣泛應(yīng)用的稀疏分解算法。OMP算法的一個(gè)重要的屬性就是不會(huì)對(duì)一個(gè)原子選擇兩次，所以當(dāng)進(jìn)行k次迭代后，估計(jì)結(jié)果滿(mǎn)足即滿(mǎn)足迭代的終止條件。

通常以O(shè)racle估計(jì)器的均方誤差作為檢測(cè)其他估計(jì)器性能的指標(biāo)。除了已知觀測(cè)信號(hào)y, Oracle估計(jì)器還要基于x中非零元素的位置，而這在實(shí)際中是不可能得到的信息。理論上，文獻(xiàn)[12]證明BPDN, DS和OMP都能夠得到Clgm倍Oracle估計(jì)器的均方誤差，其中C是一個(gè)常數(shù)。本文將通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步分析在基于壓縮感知的UWB信道估計(jì)問(wèn)題中3種估計(jì)器的性能。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證濾波矩陣估計(jì)算法的估計(jì)性能以及信號(hào)檢測(cè)過(guò)程中的重建效果，本文通過(guò)下面3組實(shí)驗(yàn)對(duì)信道環(huán)境及信道估計(jì)算法進(jìn)行仿真。

實(shí)驗(yàn)1仿真UWB信道環(huán)境。在居民小區(qū)環(huán)境和視距傳輸模式下，采用IEEE 802.15.4a信道模型。圖1是UWB信道在一階高斯脈沖作用下的響應(yīng)，也就是相干檢測(cè)中用到的目標(biāo)模板信號(hào)。在本文的算法中，把它作為信道估計(jì)的待重建信號(hào)。

圖1 UWB信道一階高斯脈沖響應(yīng)

實(shí)驗(yàn)2采用OMP算法作為CS的重建算法，進(jìn)行UWB信號(hào)相干檢測(cè)實(shí)驗(yàn)。取N= 1 000,M=360,K= 1 80,Np= 2 5,Ns= 1 0，本組實(shí)驗(yàn)中發(fā)送1000個(gè)信息比特，且考慮信息比特在UWB信道中傳輸中受到加性高斯白噪聲的影響。仿真結(jié)果如圖2所示，其中圖2(a)為假設(shè)傳輸導(dǎo)頻符號(hào)不受噪聲影響時(shí)的仿真結(jié)果，圖2(b)為傳輸導(dǎo)頻符號(hào)受加性高斯白噪聲影響時(shí)的仿真結(jié)果。

從圖2中可以看出，在傳輸導(dǎo)頻符號(hào)不受噪聲影響時(shí)，直接采樣估計(jì)得到的就是最優(yōu)的模板信號(hào)估計(jì)結(jié)果，但是直接采樣需要較高的 A/D轉(zhuǎn)換速率。此時(shí)，隨機(jī)觀測(cè)估計(jì)算法和本文提出的算法都能夠精確地估計(jì)出模板信號(hào)，相干檢測(cè)的誤碼率曲線十分接近。而在傳輸導(dǎo)頻符號(hào)受到加性高斯白噪聲影響時(shí)，對(duì)比圖2(a)，圖2(b)，本文提出的濾波矩陣估計(jì)算法進(jìn)行相干檢測(cè)的誤碼率性能受到噪聲的影響最小，直接采樣估計(jì)受到噪聲的影響明顯變差，而隨機(jī)觀測(cè)估計(jì)算法的誤碼率性能最差。當(dāng)信噪比小于0.5 dB時(shí)，3種算法的誤碼率性能接近，當(dāng)大于0.5 dB時(shí)，本文算法具有明顯優(yōu)勢(shì)。根據(jù)前面的理論分析，仿真結(jié)果出現(xiàn)明顯差異的原因在于，隨機(jī)觀測(cè)矩陣在觀測(cè)過(guò)程中放大了噪聲，所以在較低信噪比環(huán)境下，應(yīng)用CS理論估計(jì)信道時(shí)OMP算法重建失敗，沒(méi)有有效地估計(jì)出相干檢測(cè)的模板信號(hào)，導(dǎo)致信號(hào)相干檢測(cè)的誤碼率急劇上升。本文提出的算法避免了對(duì)噪聲的放大過(guò)程，從而得到更好的檢測(cè)結(jié)果。

實(shí)驗(yàn) 3取N= 1 000,M= 3 60,K=50，采用本文提出的估計(jì)算法，圖3給出了OMP, DS和BPDN重建算法在不同信噪比下的UWB信道估計(jì)結(jié)果。下面給出實(shí)驗(yàn)中的主要參數(shù)。OMP算法的最大迭代次數(shù)取 100，且信號(hào)的目標(biāo)冗余能量s=3×1 0?3。在BPDN和DS算法中，取相同的目標(biāo)冗余能量值。對(duì)于BPDN算法，松弛參數(shù)e= 0 .05。在應(yīng)用 DS算法的重建過(guò)程中，原始-對(duì)偶差值為x= 1 0?3，原始-對(duì)偶迭代次數(shù)的最大值選擇50。最后，我們采用均方誤差(MSE) 作為性能指標(biāo)考察3種算法的重建效果，圖3是實(shí)驗(yàn)20次取平均的結(jié)果。

圖2 UWB信道相干檢測(cè)的誤碼率

圖3 3種重建算法的估計(jì)誤差對(duì)比

對(duì)比圖3中的3條曲線， DS算法和BPDN算法的均方誤差很接近，且DS算法略?xún)?yōu)于BPDN算法；OMP算法在高信噪比情況下均方誤差優(yōu)于DS算法和BPDN算法，而在低信噪比情況下性能較差。由于 OMP算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，所以在高信噪比條件下，優(yōu)先選擇OMP算法作為UWB信道估計(jì)的稀疏重建算法是合理的思路；在信噪比較低OMP算法無(wú)法滿(mǎn)足均方誤差要求時(shí)可以考慮 DS算法或者BPDN算法。

5 總結(jié)

基于壓縮感知理論的UWB信道估計(jì)能夠克服UWB通信中直接采樣的高速A/D轉(zhuǎn)換的問(wèn)題，具有廣泛的應(yīng)用前景。本文提出的基于 CS的 UWB信道濾波矩陣估計(jì)算法能夠避免觀測(cè)矩陣對(duì)噪聲的放大，具有更好的誤碼率性能。本文通過(guò)相干檢測(cè)算法驗(yàn)證了這種算法在考慮信道噪聲的情況下重建信號(hào)的能力，然后，本文對(duì)信道估計(jì)中的 3種 CS重建算法進(jìn)行了對(duì)比仿真分析，并給出選擇建議。將本文提出UWB信道估計(jì)算法應(yīng)用于信道估計(jì)及相關(guān)檢測(cè)中，能夠在較低的采樣速率下獲得很好的誤碼率性能，與傳統(tǒng)的信道估計(jì)方法相比，本文提出的濾波矩陣估計(jì)算法只需要較少的能量來(lái)獲得期望的誤差性能，并且能夠適應(yīng)多種信道環(huán)境和帶寬條件。

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