田龍偉，王良龍，張洪彥

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039)

在過去十幾年中，人們對Liénard方程的周期解和概周期的存在性和唯一性進(jìn)行了深入的研究［1-5］.隨著科學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用，對反周期解性質(zhì)的研究逐漸引起人們的關(guān)注［6-12］.在文獻(xiàn)［7］中，作者利用 Leray-Schauder度理論研究了一類Liénard 方程x″+f(t，x'(t))+g(t，x(t-τ(t)))=P(t)的反周期解的存在性和唯一性.在此基礎(chǔ)上利用Leray-Schauder度理論討論具有分布時(shí)滯的Liénard方程:

的反周期解的存在性和唯一性，推廣了文獻(xiàn)［7］中的結(jié)果.

1 準(zhǔn)備知識

引理1［13］設(shè)Ω是線性賦范空間X中的有界開集，是上的全連續(xù)場，如果 deg{，Ω，p}≠0，p∈Xf(?Ω)，則方程(x)=p在Ω內(nèi)至少存在一個(gè)解.

引理 2［14］設(shè) x∈C2(R，R)，且?t∈R，x(t+T)=x(t)x(t)dt=0，則

引理3 若方程(1)滿足(H2)且滿足下列條件之一:

(H3) 存在常數(shù)L3，使得

(H4) 存在常數(shù)m，使得

設(shè)z(t)=x1(t)-x2(t)，從式(4)知道，

因?yàn)閦(t)=x1(t)-x2(t)是定義在R上的反周期函數(shù)，則

由引理3，有

假設(shè)(H3)或(H4)成立，有下列兩種情況:

情況1 如果(H3)成立，對方程(5)兩邊乘以-z(t)且從0到T積分，有

由式(2)(7)及Schwarz不等式，有

因?yàn)閦(t)，z'(t)都是反周期連續(xù)函數(shù)，由條件(H3)和式(8)，得z(t)≡z'(t)≡0，?t∈R.因此x1(t)≡x2(t)，?t∈R.從而方程(1)至多有一個(gè)反周期解.

情況2 如果(H4)成立，對方程(5)兩邊乘以z'(t)且從0到T積分，有

由式(3)(9)和(H4)，得到 z(t)≡z'(t)≡0，?t∈R.因此 x1(t)≡x2(t)，?t∈R.從而方程(1)至多有一個(gè)反周期解.

2 主要結(jié)論及證明

定理1 設(shè)(H1)成立，如果(H3)和(H4)其中之一成立，則方程(1)有唯一的反周期解.

證明 構(gòu)造方程(1)的輔助方程

由引理3知，方程(1)至多有一個(gè)反周期解，因此要證明定理1，只要證明方程(1)至少有一個(gè)反周期解.下面

利用引理1來證明方程(1)至少有一個(gè)反周期解.

首先設(shè)x∈是輔助方程(10)的反周期解，類似(7)的證明過程，有

對(H3)和(H4)，考慮如下兩種情況:

情況1 如果(H3)成立，對方程(10)兩邊乘以-x(t)且從0到T積分，有

由(H3)知，存在一個(gè)常數(shù)D1使得

設(shè)t1∈［0，T］，使得=maxt∈［0，T］，則x'(t1)=0.存在常數(shù)D2滿足式(14):

情況2 如果(H4)成立，對方程(10)兩邊乘以x'(t)且從0到T積分，有

因此存在常數(shù)D3，使得

成立.

同樣對方程(10)兩邊乘以x″(t)且從0到T積分，有

由引理3知，存在一個(gè)常數(shù)D4，使得

因此對式(13)(14)(16)和(17)，存在常數(shù)M1＞max{D1+D2，D3+D4}，使得 max{}＜M，設(shè)

注意到

定義同倫連續(xù)場:Hμ(x):×［0，1］→，Hμ(x)=x-Fμ(x)，由 Ω 的定義知Hμ(?Ω)≠0，λ∈［0，1］，因此，由 Leray-Schauder度的緊同論不變性知 deg{x-F1x，Ω，0}=deg{x，Ω，0}≠0.

由引理1知，方程x-F1x=0在Ω內(nèi)至少有一個(gè)解，即算子F1在上有唯一反周期解.從而方程(1)有唯一的反周期解.

3 實(shí)例

有唯一π反周期解.

容易驗(yàn)證方程(21)滿足(H3)(H4)，因此方程(21)存在唯一反周期解.

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