李建東

（太原理工大學 數(shù)學學院，太原030024）

隨著石油、化工、電力及航空航天等領域的發(fā)展，高溫材料持久壽命預測技術在高溫構件設計和延壽評估中的重要作用日益顯現(xiàn)。它既有助于高溫構件檢修時間間隔的準確制定，又能最大限度地提高資源利用率，具有重要的經濟和社會意義。

目前，壽命預測技術的發(fā)展已經歷了四個階段：最早采用的是線性外推［1］，側重研究蠕變過程的斷裂機理；第二階段是蠕變損傷法［2］，側重研究材料組織變化；第三階段是參數(shù)外推［3－4］，如 Larson-Miller參 數(shù)、Manson-Haferd 參 數(shù)、Orr-Sherby-Dorn 參數(shù)、Manson-Succop參數(shù)等，其中 Larson-Miller參數(shù)在工程上應用最為廣泛；第四階段是外推中的解析法，是第三階段的進一步豐富和發(fā)展，如θ法壽命評估［5－6］。從統(tǒng)計角度出發(fā)，第三階段的參數(shù)外推中Time-Temperature-Parameter（TTP）方法在實際中應用較多。壽命預測技術在TTP參數(shù)的基礎上，也得到相應的研究和發(fā)展。傳統(tǒng)上利用TTP參數(shù)對蠕變數(shù)據(jù)進行壓縮，建立對數(shù)應力與TTP參數(shù)的主曲線，擬合方法多采用多項式擬合［6］；但趙杰等［7］研究表明，多項式擬合在已有數(shù)據(jù)帶內能得到很好的預測效果，但預測條件超出已有的數(shù)據(jù)帶時，由于多項式曲線的變化而導致推算結果有較大的誤差。在此基礎上，李東明［8］提出一種主曲線（單指數(shù)形式），在一定程度上避免了因外推而產生的較大偏差。傳統(tǒng)方法中無論TTP參數(shù)的建立，還是主曲線的擬合，都是建立在一定假設的基礎上，均有一定的局限性。

伴隨計算機運算能力的增強，非參數(shù)統(tǒng)計在近一、二十年得到快速的發(fā)展，像非參數(shù)回歸、小波分析等非參數(shù)統(tǒng)計方法應運而生。非參數(shù)回歸可以在對總體不進行任何假設情況下，對總體進行回歸推斷，所建模型具有較強的穩(wěn)健性。然而至今對5Cr－0.5Mo耐熱鋼進行的非參數(shù)統(tǒng)計分析的研究還不多。

本文利用所收集的日本材料金屬研究所在1992年發(fā)布的238個5Cr-0.5Mo耐熱鋼的蠕變數(shù)據(jù)［9］（σ，tr，T）（σ為應力，tr為蠕變斷裂壽命，T 為溫度），對5Cr-0.5Mo耐熱鋼壽命預測中占有重要地位的主曲線進行非參數(shù)統(tǒng)計分析。利用局部線性回歸方法，提出新的主曲線形式，并得到5Cr-0.5Mo耐熱鋼雙指數(shù)形式主曲線具體表達式。

1 主曲線非參數(shù)統(tǒng)計方法的處理分析

參數(shù)外推法首先用TTP參數(shù)（本文選用李東明［8］推薦的Larson-Miller參數(shù)）對蠕變數(shù)據(jù)壓縮，然后得到應力對數(shù)與P參數(shù)的散點圖?？墒沁M行主曲線擬合時，傳統(tǒng)上不管是用多項式擬合，復合形式擬合還是其他已知函數(shù)形式擬合，都具有一定假設。而非參數(shù)統(tǒng)計方法不需要任何假設就可以對數(shù)據(jù)進行擬合。在非參數(shù)回歸方法中有局部線性回歸、核回歸、局部多項式回歸，其中局部線性回歸在不增加方差的條件下減少設計偏倚和邊界偏倚，避免了邊界點擬合精度不高的不足，而且有完善的理論基礎，故本文利用局部線性回歸對5Cr-0.5Mo耐熱鋼主曲線進行處理。

2 結果和討論

趙杰［7］的研究表明主曲線多項式擬合存在不足。李東明［8］提出了單指數(shù)形式主曲線并得出較好的預測結果。因此本文所得主曲線的擬合效果僅與單指數(shù)主曲線的擬合結果比較。

2.1 主曲線的擬合

選用李東明［8］推薦的Larson-Miller參數(shù)P＝10－3T（lgtr＋17），利用R統(tǒng)計軟件編程，選用使廣義交叉驗證（GCV）最小的條件下的帶寬h，并利用局部線性回歸得出新的主曲線。

主曲線形式（雙指數(shù)）：

回歸系數(shù)：

而利用李東明［8］提出的主曲線形式擬合得出的結果如下。

主曲線形式（單指數(shù)）為

lgσ＝a＋b·P＋c·exp（d·P）；

回歸系數(shù)為

a＝3.128 68，b＝0，c＝－0.067 109，

d＝0.167 175，R2＝0.979 42.

這里

R2為擬合主曲線的決定系數(shù)，它體現(xiàn)擬合得到的主曲線符合原數(shù)據(jù)點分布趨勢的程度，其中yi為lgσ，主曲線越能更合理地表征數(shù)據(jù)點的分布趨勢。

由5Cr-0.5Mo耐熱鋼全部蠕變斷裂數(shù)據(jù)擬合后的雙指數(shù)形式與單指數(shù)形式主曲線分別如圖1和圖2所示。

由擬合兩種主曲線方程的決定系數(shù)R2的值可定量地確定局部線性回歸得到的雙指數(shù)主曲線比單指數(shù)主曲線有較高的擬合度，說明本文的雙指數(shù)主曲線方程能更好地表征數(shù)據(jù)點的分布趨勢。這一點通過圖1與圖2的比較也可以看出，雙指數(shù)主曲線無論是在數(shù)據(jù)帶邊界或中間都更好地穿過數(shù)據(jù)帶的中部，也符合經驗下主曲線隨著參數(shù)P的增大越向下彎曲的趨勢，即擬合得更好。

圖1 雙指數(shù)主曲線

圖2 單指數(shù)主曲線

2.2 雙指數(shù)主曲線的推斷精度檢驗

實際數(shù)據(jù)是最能檢驗模型合理性的武器。高溫材料的蠕變斷裂數(shù)據(jù)的獲取少則幾年，多則幾十年，需要花費大量的人力，物力和財力，得之不易。為了能用實際數(shù)據(jù)來檢驗模型所得的主曲線的穩(wěn)健性及其外推精度，本文將5Cr-0.5Mo耐熱鋼的238個蠕變數(shù)據(jù)以蠕變斷裂時間半年（約4 300h）為界，分成短時蠕變斷裂（117個）數(shù)據(jù)與長時蠕變斷裂數(shù)據(jù)（121個）兩組。利用本文的方法用117個短時蠕變數(shù)據(jù)來獲得主曲線，用121個長時蠕變數(shù)據(jù)來檢驗由117個短時數(shù)據(jù)擬合所得的雙指數(shù)主曲線的穩(wěn)健性及其推斷情況。

由局部線性回歸對短時數(shù)據(jù)擬合得到的雙指數(shù)主曲線如圖3所示。

圖3 由斷裂時間小于4 300h的數(shù)據(jù)擬合的雙指數(shù)主曲線

由圖3可以看出，由短時蠕變斷裂數(shù)據(jù)所得雙指數(shù)主曲線能很好地穿過長時蠕變斷裂數(shù)據(jù)和全部數(shù)據(jù)帶的中部，這說明利用本文方法可以僅利用5Cr-0.5Mo耐熱鋼短時數(shù)據(jù)建立主曲線，得出lgσ與P的關系，建立σ，tr，T三者之間的關系，從而確定在較低溫度T或較低應力σ下的較長蠕變斷裂時間tr，實現(xiàn)了蠕變斷裂壽命tr外推和預測。本文也在圖4中同時描繪出由5Cr-0.5Mo耐熱鋼的短時數(shù)據(jù)所擬合的主曲線及其全部數(shù)據(jù)點所擬合主曲線，發(fā)現(xiàn)二者幾乎重合，這表明對于該耐熱鋼壽命的預測可以僅通過在高溫或高壓下得到的短時數(shù)據(jù)就可以對低溫或者低壓下的長時蠕變斷裂壽命tr進行推斷，不需要過多的長時蠕變斷裂數(shù)據(jù)，從而節(jié)省了耐熱鋼壽命預測中因獲得大量長時數(shù)據(jù)而造成的成本。檢驗結果顯示，利用本文方法所得5Cr－0.5Mo耐熱鋼的主曲線具有較好穩(wěn)健性和統(tǒng)計推斷特性，從而本文方法和結論為該材料由短時蠕變斷裂數(shù)據(jù)推斷長時數(shù)據(jù)提供了有力依據(jù)，為該材料下一步的壽命預測和可靠性分析提供了理論平臺。

圖4 由短時數(shù)據(jù)和全部數(shù)據(jù)擬合的雙指數(shù)主曲線

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