劉慶濤，李長冬，胡新麗，王亮清，雍 睿

（中國地質(zhì)大學 工程學院，武漢430074）

近些年來，鋼筋混凝土彈性模量的研究引起了學者們廣泛的重視。鋼筋混凝土復合彈性模量是一個十分重要的參數(shù)，其在計算鋼筋混凝土的變形、裂縫擴展、溫度應力以及估算預應力損失等方面是必不可少的指標。采用傳統(tǒng)的靜力載荷試驗的方法測試鋼筋混凝土材料的彈性模量存在著費事、費時、代表性不強和難以全面檢測等缺點。黃秋紅［1］通過激光筆將梁發(fā)生的撓度放大，建立了撓度及荷載同金屬梁彈性模量之間的計算關(guān)系式，從而間接測量了梁的彈性模量值。楊成學［2］等提出了利用現(xiàn)場無損檢測的方法測試混凝土結(jié)構(gòu)和材料的彈性模量的方法。何曉婷［3］等發(fā)明了一種確定帶裂鋼筋混凝土梁彈性模量及抗彎剛度的方法，涉及帶裂紋工作的鋼筋混凝土梁的受拉楊氏彈性模量和受壓楊氏彈性模量的測量方法，以及抗彎剛度的確定方法。吳玉章等［4］推出了一種微分法的近似解法來預估復合材料有效彈性模量的方法。

在數(shù)值模擬方面，肖映雄等［5］在最小二乘意義下提出了一種計算復合材料等效彈性性能的有限元方法。近十幾年來，均勻化方法作為計算復合材料宏觀等效材料性質(zhì)的一種有效方法頗受人們青睞。B.Hassani和 E.Hinton［6－8］等對漸近均勻化理論在彈性問題中的應用進行了詳細的總結(jié)和討論。袁紅等［9］將均勻化理論應用于金屬基復合材料的彈性本構(gòu)數(shù)值模擬，通過對不同尺度增強相金屬基復合材料等效模量的數(shù)值模擬，考察了均勻化方法適用情況。閆曉鵬等［10］基于均勻化理論及有限元方法，對混凝土的等效彈性模量進行了研究，結(jié)論與試驗結(jié)果比較接近。

國內(nèi)外對于鋼筋混凝土復合彈性模量的計算方法研究較少。筆者通過力學理論分析，并結(jié)合數(shù)值模擬反演分析，提出了一種鋼筋混凝土復合彈性模量的求解方法，可為工程實踐提供一定的借鑒與參考。

1 彈性模量對受彎構(gòu)件撓曲變形的影響

選取材料力學懸臂梁受均布荷載的經(jīng)典模型（見圖1），其中梁的抗彎剛度為EI，全梁受集度為p的均布荷載作用，采用材料力學相關(guān)理論建立彈性模量與撓度之間的關(guān)系。

圖1 懸臂梁受力示意圖

梁軸線彎曲成曲線后，在x軸方向也是有線位移的。由于工程中常用的受彎構(gòu)件的撓度均遠小于跨長，因此，受彎構(gòu)件變形后的軸線是一平坦的曲線。橫截面形心沿x軸方向的線位移與撓度相比屬于高階微量，可略去不計，因此，在設定坐標系后，梁變形后的軸線可表達為：

w ＝f（x）.

式中：x為梁在變形前軸線上任一點的橫坐標；w為該點的撓度。梁變形后的軸線稱為撓曲線，由于是在彈性范圍內(nèi)的撓曲線，故也稱為彈性曲線，其表達式則稱為撓曲線（或彈性曲線）方程。

為求得梁的撓曲線方程，利用曲率k與彎矩M間的物理關(guān)系［11］：

根據(jù)幾何特征，平面曲線的曲率可表達為：

由于M與w 的正負號相反，將式（2）代入（1）中，可以得到［11］：

由于梁的撓曲線為一平坦的曲線，因此，w′2與1相比十分微小，可略去不計，故上式可近似地表述為

若為等截面直梁，其彎曲剛度EI為一常量，上式可改寫為：

當l＝x時撓度最大，即

由公式（4）可知，彈性模量和受彎構(gòu)件的撓度成反比，即彈性模量越小，受彎構(gòu)件的撓度越大。要確定一種材料的彈性模量，最關(guān)鍵的是要確定荷載與撓度的比值p／wB.

2 懸臂梁復合彈性模量數(shù)值率定試驗

懸臂梁受荷及截面尺寸如圖2和圖3所示，混凝土材料性能如表1所示。

圖2 載荷及懸臂梁尺寸

圖3 鋼筋混凝土懸臂梁截面尺寸

表1 混凝土材料性能參數(shù)

當懸臂梁為素混凝土，p＝3.6N／mm時，采用ANSYS有限元數(shù)值模擬得到懸臂梁彎曲變形如圖4所示。

圖4 集度荷載為3.6N／mm時懸臂梁彎曲變形圖

由圖4可知，懸臂梁wB＝0.275 204mm，將wB代入公式（4）得

Ec＝2.043 94×104MPa.

材料的實際彈性模量值由表1可知：

Ec＝2.113 4×104MPa，

基于數(shù)值模擬計算得到的材料彈性模量與實際值相比稍微偏小，誤差僅為3.3%，且計算偏于安全，對于實際工程應用而言，在誤差允許范圍之內(nèi)。數(shù)值率定試驗結(jié)果表明，利用數(shù)值模擬方法來反演材料的彈性模量是可行的。

3 鋼筋混凝土復合彈性模量的算法

當懸臂梁材料為鋼筋混凝土時，混凝土材料性能同上，另配有4根受拉主筋，鋼筋的彈性模量為2.1×105MPa，泊松比為0.3，不考慮腹筋，全梁受集度為p的均布荷載作用。懸臂梁受荷及截面尺寸分別如圖2和圖3所示。

采用分離式建模方式，對混凝土和鋼筋分別選用不同類型的單元進行模擬，混凝土材料選用SOLID65三維實體單元，鋼筋材料選用LINK8三維桿件單元。假定材料之間具有足夠的黏結(jié)度，不會產(chǎn)生相對滑移，這樣鋼筋與混凝土單元就能夠通過共用一個節(jié)點來保證它們之間的位移協(xié)調(diào)和力的傳遞。

本構(gòu)模型采用Sansz公式：

式中：k3、A、D 均為常數(shù)，k3＝1，A＝1.738 8，D＝0.5；ε0為初始應變，ε0＝0.002；fc為混凝土軸心受壓強度，fc＝24.5；ε為應變；σ為應力。

利用數(shù)值模擬，可以得到不同荷載作用下鋼筋混凝土懸臂梁撓度值見表2所示。圖5所示為鋼筋混凝土懸臂梁受集度荷載p＝3.6N／mm時y方向的位移云圖，最大撓度wB＝0.203 95mm。不同荷載作用下荷載－撓度關(guān)系曲線如圖6所示，由圖可以發(fā)現(xiàn)二者呈現(xiàn)較好的線性關(guān)系。根據(jù)線性方程擬合方法，可以建立p與wB的關(guān)系方程為：

將式（5）代入公式（4）計算可得鋼筋混凝土復合彈性模量

表2 不同荷載數(shù)值模擬得到的梁的撓度值

鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中鋼筋混凝土和素混凝土的彈性模量差異較大，這是因為鋼筋混凝土復合體的彈性模量與配筋率有一定關(guān)系。一般情況下，配筋率越高，鋼筋混凝土的彈性模量也越大。而素混凝土的彈性模量主要與混凝土的強度等級有關(guān)，不同強度等級混凝土的彈性模量不同，從C20到C60混凝土的彈性模量在2.0×104～3.5×104MPa之間。

圖5 集度荷載為3.6N／mm時懸臂梁y方向位移云圖

圖6 不同荷載－撓度擬合曲線

4 結(jié)論

1）基于ANSYS分離式建模方法，分別用SOLID65單元和LINK8單元來模擬混凝土和鋼筋，可以較好地實現(xiàn)鋼筋混凝土懸臂梁材料的模擬計算。

2）基于數(shù)值模擬計算得到的材料的彈性模量與實際值相比稍微偏小，誤差僅為3.3%，在實際工程應用誤差允許范圍之內(nèi)，表明利用數(shù)值模擬方法來反演材料的彈性模量是可行的。

3）基于材料力學理論，建立了荷載、撓度關(guān)系方程，并提出了利用ANSYS軟件反演鋼筋混凝土懸臂梁復合彈性模量的方法。

4）本文提出的方法克服了采用傳統(tǒng)靜力載荷試驗方法測試混凝土材料的彈性模量存在著費事、費時、代表性不強和難以全面檢測等缺點，可為相關(guān)工程提供一定的借鑒與參考。

［1］ 黃秋紅.撓度法測量金屬懸臂梁彈性模量［J］.工程技術(shù)，2011，28：67.

［2］ 楊成學，楊文禮，楊露.現(xiàn)場測試混凝土彈性模量的方法研究［J］.四川理工學院學報（自然科學版）2010，23（5）：504-507.

［3］ 何曉婷，孫俊貽，朱海橋，等.一種確定帶裂鋼筋混凝土梁彈性模量及抗彎剛度的方法［P］.中國專利：CN101923024A，2010-12-22.

［4］ 吳云章，兌關(guān)鎖，朱玉萍.有效彈性模量微分法的一種近似解法［J］.固體力學學報，2011，32（3）：282-286.

［5］ 肖映雄，張平，舒適，等.一種計算復合材料等效彈性性能的有限元方法［J］.固體力學學報2006，27（1）：77-82.

［6］ Hassani B，Hinton E.A review of homogenization and topology optimizationⅠ-homogenization theory for media with periodic structure［J］.Computers and Structures，1998，69（6）：707-717.

［7］ Hassani B，Hinton E.A review of homogenization and topology optimizationⅡ-analytical and numerical solution of homogenization equations［J］.Computers and Structures，1998，69（6）：719-738.

［8］ Hassani B，Hinton E.A review of homogenization and topology optimizationⅢ-topology optimization using optimality criteria［J］.Computers and Structures，1998，69（6）：739-756.

［9］ 袁紅，錢江，王秀喜，等.金屬基納米復合材料等效彈性模量的均勻化方法數(shù)值模擬［J］.力學季刊，2003，24（4）：567-571.

［10］ 閆曉鵬，牛衛(wèi)晶，王志華，等.基于均勻化理論的混凝土等效彈性模量的數(shù)值模擬［J］.太原理工大學學報，2011，42（2）：212-214.

［11］ 孫訓方.材料力學［M］.北京：高等教育出版社，2001.