張 拓 高曉光 樊 昊

西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安 710129

隨著航天技術(shù)尤其是載人航天技術(shù)的發(fā)展，空間交會對接技術(shù)也得到了迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用。要使飛船成為天地間的有效運輸工具，以及進行大型航天器的在軌裝配和長期軌道運行，就必須解決交會對接技術(shù)[1]。而航天器在何種條件下進行交會變軌機動成為完成交會任務(wù)的關(guān)鍵所在，這就需要我們對交會變軌的時機和條件進行合理的判斷和決策。

目前，有關(guān)非開普勒軌道上的空間動力學(xué)研究與控制已經(jīng)成為空天領(lǐng)域的研究重點和熱點。從軌道動力學(xué)和軌道控制的角度，航天器的運行軌道可以分為開普勒軌道(KO)和非開普勒軌道(NKO)兩大類[2]。非開普勒軌道是由于作用在航天器上的外力產(chǎn)生的。如果在衛(wèi)星機動變軌問題中采用非開普勒軌道,則可以通過在衛(wèi)星上持續(xù)作用推力實現(xiàn)[3-4]。衛(wèi)星在非開普勒軌道上的運動特征不同于開普勒軌道上的，由于作用在衛(wèi)星上的攝動力與發(fā)動機推力在時刻變化，傳統(tǒng)的開普勒軌道根數(shù)求解方法在非開普勒軌道上就不再適用了，因此尋求一種求解非開普軌道上的動力學(xué)參數(shù)的方法就顯得尤為重要。

在本文衛(wèi)星的變軌決策問題中，通過目標衛(wèi)星和追蹤衛(wèi)星之間的相對位置、標稱飛行時間和真近點角等參量的變化，在Hill坐標系中利用比例導(dǎo)引的方法求解衛(wèi)星進行機動變軌時所需的速度增量，然后再根據(jù)Lagrange插值算法[5]，解出衛(wèi)星在任意特征點上變軌機動所需要的速度增量。從而獲取追蹤衛(wèi)星完成交會機動變軌所消耗的燃料量(速度增量與燃料消耗量的比沖)，再將此燃料消耗量與追蹤衛(wèi)星所攜帶的燃料量相比較判斷此時追蹤衛(wèi)星是否進行軌道機動，完成交會機動變軌決策。

1 建立交會變軌決策模型

為了對非開普勒軌道上交會變軌問題進行分析和實現(xiàn)具體仿真，首先要建立衛(wèi)星的非開普勒軌道交會模型。通過模型進行仿真來研究非開普勒軌道上交會變軌決策的方法。

1.1 Hill微分方程

一般情況下，研究一個航天器(稱為追蹤航天器)相對于另一個距離較近的航天器(稱為目標航天器)的相對運動時采用Hill坐標系。

首先給出Hill坐標系的定義。本文研究衛(wèi)星的變軌決策問題時所采用的坐標系為Hill坐標系。

圖1 Hill坐標系示意圖

Hill坐標系(即目標航天器軌道坐標系)Oxyz的原點O位于目標航天器的質(zhì)心，Oxz平面為目標航天器的軌道面，z軸與目標航天器的地心矢徑重合，指向地心;x軸沿軌道周向，指向運動方向;y軸沿軌道面負法線方向，如圖1所示。該坐標系的單位矢量為i,j,k。

設(shè)追蹤衛(wèi)星機動加速度f在Hill坐標系的x軸、y軸與z軸上的分量分別為ax,ay與az，則以Hill坐標系表示的相對運動方程式具有下列形式：

(1)

上式稱為Hill微分方程。其中x，y，z分別為距離矢量在Hill坐標系的x軸、y軸與z軸方向上的分量；μ為地球引力常數(shù)；r1,r2分別為目標衛(wèi)星與追蹤衛(wèi)星的軌道半徑；θ為平近點角。

假設(shè)目標衛(wèi)星的軌道為圓軌道，且目標衛(wèi)星只受地心引力作用，追蹤衛(wèi)星受地心引力與發(fā)動機推力共同作用，兩衛(wèi)星的相對距離與這兩衛(wèi)星到地心的距離相比很小，從而忽略公式(1)中非線性項，而保留其線性項，式(1)化簡為

(2)

該式稱為Clohessy-Wiltshire方程，簡稱為C-W方程。其中ax,ay與az分別為追蹤衛(wèi)星的機動加速度在Hill坐標系的x軸、y軸與z軸上的分量；x，y，z分別為距離矢量在Hill坐標系的x軸、y軸與z軸方向上的分量；n為平均運動。這里采用C-W方程描述兩近距衛(wèi)星的相對運動。

1.2 變軌決策

對于變軌決策問題，歸結(jié)到工程實際中主要考慮能量的消耗。假設(shè)追蹤衛(wèi)星有一個燃料攜帶量，這個燃料攜帶量必然導(dǎo)致追蹤衛(wèi)星本身有一個可以接受的所需速度增量Δv的區(qū)間。如果追蹤衛(wèi)星變軌所需燃料超過了這個區(qū)間，那么變軌接近動作將無法完成，導(dǎo)致衛(wèi)星變軌任務(wù)無法完成。這里追蹤衛(wèi)星采用非開普勒軌道進行軌道轉(zhuǎn)移，它將時刻受到發(fā)動機推力作用。由于空間非開普勒軌道所表現(xiàn)出來的行為在數(shù)學(xué)上具有動力學(xué)性質(zhì),因此從科學(xué)角度來深入探討其內(nèi)在的動力學(xué)機制將成為可能的趨勢[6]。由于衛(wèi)星在非開普勒軌道下運行時，時刻受到自身發(fā)動機推力的作用，這時軌道根數(shù)就失去解析解，求解衛(wèi)星變軌所需速度增量Δv的工作將無法完成。

在以上分析和假設(shè)的條件下，可以采用一定精度的比例導(dǎo)引律計算變軌加速度，利用擬合邊界條件的方法進行變軌決策。首先確定所需速度增量Δv與哪些特征條件有關(guān)。接著，再選取一些典型的特征條件，在這些特征條件的基礎(chǔ)上通過數(shù)字仿真模擬交會的過程并求得所需速度增量Δv。變換不同的條件多次求解Δv，獲得滿足邊界條件的大量仿真數(shù)據(jù)，畫出衛(wèi)星變軌的決策曲面。在實際決策過程中，根據(jù)當(dāng)前邊界條件擬合出邊界條件函數(shù)，由當(dāng)前滿足變軌機動的條件結(jié)合變軌決策曲面進行綜合分析。

1.3 計算變軌速度增量

在計算變軌速度增量之前，假設(shè)忽略作用在這2個衛(wèi)星上的大氣阻力攝動之差，目標衛(wèi)星不做機動動作，追蹤衛(wèi)星主動接近目標衛(wèi)星，并忽略軌道攝動，而且目標衛(wèi)星的軌道是固定的圓軌道。

由于追蹤衛(wèi)星在變軌過程中持續(xù)受到自身發(fā)動機產(chǎn)生的不規(guī)則推力的影響，則追蹤衛(wèi)星的變軌機動是非開普勒軌道機動。追蹤衛(wèi)星要在非開普勒軌道的條件下完成交會變軌任務(wù)，必須要計算軌道控制量。若追蹤衛(wèi)星按照計算出的控制量改變當(dāng)前運動狀態(tài)，則其會按照一定的軌跡接近目標衛(wèi)星。在一般情況下，設(shè)計一定的導(dǎo)引律作為追蹤衛(wèi)星接近目標衛(wèi)星的交會變軌參數(shù)的計算方法。導(dǎo)引律的優(yōu)劣決定了機動的精度以及機動的代價的高低。為了方便起見，這里參考已有的研究成果[7]，選擇比例導(dǎo)引律作為追蹤衛(wèi)星接近目標衛(wèi)星的導(dǎo)引規(guī)律。

在變軌決策仿真中采用如下矢量形式的比例導(dǎo)引率。某時刻追蹤衛(wèi)星位于Sm點，目標衛(wèi)星位于ST點。設(shè)追蹤衛(wèi)星速度為vm，目標衛(wèi)星速度為vT，追蹤衛(wèi)星的位置矢量Rm，目標衛(wèi)星位置矢量RT,如圖2所示。

圖2 Hill坐標系下比例導(dǎo)引示意圖

視線的絕對張角為η，追蹤衛(wèi)星方位角為θm，目標衛(wèi)星方位角為θT和進入角q及觀測角φ之間存在下列關(guān)系：

q=η-θT

(3)

φ=η-θm

(4)

導(dǎo)引律為

(5)

追蹤衛(wèi)星和目標衛(wèi)星在Hill坐標系下的相對速度為：

vr=vm-vT

(6)

追蹤衛(wèi)星和目標衛(wèi)星在Hill坐標系下的相對距離為：

Rr=Rm-RT=R·r0

(7)

則目標線相對于追蹤衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動角速度在Hill坐標系下的投影為

(8)

由質(zhì)點圓周運動定律可知：質(zhì)點作圓周運動所需的法向加速度大小等于其轉(zhuǎn)動角速度矢量與其速度的矢量之積。由此根據(jù)比例導(dǎo)引律得到此時所需加速度矢量a為

×vm)

(9)

其中：K為比例導(dǎo)引系數(shù)，本文中在仿真時將K取值為4。

由此，根據(jù)上述比例導(dǎo)引律求取在非開普勒軌道中，追蹤衛(wèi)星完成軌道交會變軌機動過程中所需的加速度矢量，進一步可以積分求解出追蹤衛(wèi)星變軌所需的速度增量。

對于非開普勒軌道情況下的變軌決策，采用擬合邊界函數(shù)的方法。由于處于非開普勒軌道上的衛(wèi)星受力狀況時刻在變化，而且衛(wèi)星在非開普勒軌道上運行不符合開普勒三大定律，也不能使用二體問題的基本方程求解，這時變軌所需要的參數(shù)就無法求取其解析解。隨機選取特征點，利用上面所述的比例導(dǎo)引方法計算追蹤衛(wèi)星在這些特征點上的變軌所需的速度增量，然后采用拉格朗日線性插值算法可以求取任意特征點上的速度增量，從而完成變軌決策判斷。

這里簡述一下Lagrange插值算法。計算各個特征標稱飛行時間的速度增量，構(gòu)造滿足插值條件Ln(tk)=vk，k=0,1,…,n的插值多項式。Lagrange插值算法多項式可以表示為：

(10)

當(dāng)n=1時，有

(11)

當(dāng)n=2時有

(12)

這里僅需用到2階Lagrange插值算法，故不再詳細闡述。通過以上拉格朗日插值算法，可以擬合出任意特征點變軌所需的速度增量，進而求取邊界條件數(shù)據(jù)。

2 仿真結(jié)果

假設(shè)追蹤衛(wèi)星有一個燃料攜帶量，這個燃料攜帶量必然導(dǎo)致追蹤衛(wèi)星有一個可以接受的所需速度增量Δv的區(qū)間。在這里為了說明問題，選取特征條件為標稱飛行時間?和追蹤衛(wèi)星與目標衛(wèi)星的相對距離d，分別改變?和d的取值進行交會變軌數(shù)據(jù)仿真，計算速度增量Δv。仿真的初始條件如表1所示。

表1 目標衛(wèi)星和追蹤衛(wèi)星的初始軌道根數(shù)

利用Lagrange插值算法計算邊界條件函數(shù)方法求取相對距離d為5～30km，標稱飛行時間?在0～2π之間的速度增量為Δv。為了方便起見，將相對距離和標稱飛行時間取整，這樣計算起來比較方便。每1km之間?取1～5rad，共5個特征點并得到4組數(shù)據(jù)，如表2～5所示。

表2 d=30km時Δv隨?的變化關(guān)系表

表3 d=20km時Δv隨?的變化關(guān)系表

表4 d=10km時Δv隨?的變化關(guān)系表

表5 d=5km時Δv隨?的變化關(guān)系表

根據(jù)仿真的初始條件，追蹤衛(wèi)星在Hill坐標系下的坐標初始化為(-30000.0m,110.0m,200.0m)，目標衛(wèi)星的坐標在Hill坐標系下為(0, 0, 0)。由仿真數(shù)據(jù)畫出追蹤衛(wèi)星在Hill坐標系下的運行軌跡，如圖3所示。

圖3 追蹤衛(wèi)星在Hill坐標系下的運行軌跡

根據(jù)Lagrange插值算法擬合出?隨d變化的曲線，如圖4所示。

圖4 Δv隨?和d取值變化曲線

圖4中標稱飛行時間?單位量綱為s，所需速度增量的單位量綱為m/s。

3 總結(jié)與分析

在實際問題中知道追蹤衛(wèi)星變軌所需的速度增量Δv是機動時刻追蹤衛(wèi)星與目標衛(wèi)星之間相對距離d與標稱飛行時間?的函數(shù)，可以寫成下列表達式：

Δv=f(d,?)

(13)

采用非開普勒軌道機動時，根據(jù)非開普勒軌道衛(wèi)星運行的特點，知道函數(shù)沒有解析解，只能通過數(shù)字仿真求解，通過大量數(shù)字仿真求取邊界條件，并根據(jù)以上數(shù)字仿真求出的大量數(shù)據(jù)，畫出追蹤衛(wèi)星變軌所需的速度增量Δv與追蹤衛(wèi)星與目標衛(wèi)星之間相對距離d、追蹤衛(wèi)星標稱飛行時間?之間的三維曲面圖，即可以擬合出1個邊界決策曲面如圖5所示。

圖5 Δv隨d與?的函數(shù)變化決策曲面

圖5為根據(jù)數(shù)字仿真的特征點擬合出的函數(shù)式(13)的曲面。從該決策曲面可以看出：

1)在一定相對距離下，所需速度增量隨著標稱轉(zhuǎn)移時間的減小迅速增大；

2)在一定標稱轉(zhuǎn)移時間內(nèi)，所需速度增量隨相對距離的增大而增大；

3)圖中包絡(luò)線上及其以下的空間代表可以進行交會變軌機動的區(qū)域，如果在實際的交會變軌決策中計算出所需的速度增量位于包絡(luò)線以上的某位置時，則此時不能做出變軌機動；如果計算出的速度增量位于包絡(luò)面上及其以下某個位置時，則此時可以進行交會變軌機動。

4 結(jié)束語

通過對非開普勒軌道上追蹤衛(wèi)星的交會變軌決策問題的研究，提出了在非開普勒軌道的條件下衛(wèi)星交會變軌決策問題的近似求解方法。利用變軌決策的邊界條件畫出變軌決策曲面來解決非開普軌道機動變軌決策問題。但由于在分析求解追蹤衛(wèi)星變軌所需的速度增量時，只考慮了兩衛(wèi)星之間距離及標稱飛行時間等因素，使得決策曲面的精度不是很高，文中的變軌決策模型還有待在以后的工作中進一步優(yōu)化。

參 考 文 獻

[1] 朱仁璋.航天器交會對接技術(shù)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2007.

[2] 孫承啟.航天器開普勒軌道與非開普勒軌道的定義、分類及控制[J].空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2009，35(4):1-5.(SUN Cheng-qi.Spacecraft Keplerian Orbits and Non-Keplerian Orbits Definition,Classification and Control[J].Aerospace Control and Application,2009,35(4):1-5.)

[3] 李俊峰, 龔勝平.非開普勒軌道動力學(xué)與控制[J].宇航學(xué)報，2009，30(1):47-53.(LI Jun-feng,GONG Sheng-ping.Dynamics and Control of the Non-Keplerian Orbits[J].Journal of Astronautics,2009,30(1):47-53.)

[4] Baxter B E.Keplerian Representation of a Non-Keplerianorbit[J].Journal of Guidance and Control, 1980, 3(2) :151-153.

[5] 王夢麗，王飛雪.衛(wèi)星位置和速度的Lagrange插值算法分析[J].航空計算技術(shù)，2008，38(4):14-17.(WANG Meng-li,WANG Fei-xue.Lagrange Insert value Algorithm’s Analysis of Statllite’s Position and Velocity[J].Aeronautical Computing Technique,2008,38(4):14-17.)

[6] 佘志坤，劉鐵鋼，鄭志明.空間非開普勒軌道分析與控制中的數(shù)學(xué)問題[J].宇航學(xué)報，2009，30(1):54-58.(SHE Zhi-kun,LIU Tie-gang,ZHENG Zhi-ming.Mathematical Problems in the Analysis and Control of Spatial Non-Keplerian Orbits[J].Journal of Astronautics,2009,30(1):54-58.)

[7] 吳文海，曲建嶺，王存仁，羅德林.飛行器比例導(dǎo)引綜述[J].飛行力學(xué)，2004，22(2):1-5.(WU Wen-hai,QU Jian-ling,WANG Cun-ren,LUO De-lin.An Overview of the Proportional Navigation[J].Flight Dynamics,2004,22(2):1-5.)

[8] Guelman M.The Closed form Solution of Pure Proportional Navigation[J].IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems,1976,12(7):526-532.

[9] Guelman M.The Closed Form Solution of Ture Proportional Navigation[J].IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems,1976,12(1):472-482.

[10] 陳磊,白顯宗,馬志昊.空間目標遠距離相對運動的非開普勒特性研究[J].宇航學(xué)報，2009，30(1):59-66.(CHEN Lei，BAI Xian-zong,MA Zhi-hao.Research on Non-Kepler Characteristic of Long-Distance Relative Motion Between Space Objects[J].Journal of Astronautics,2009,30(1):59-66.)