蔡 洋，王金平

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江 寧波 315211)

X射線計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù)(X-ray CT)，作為一種重要的醫(yī)學(xué)診斷手段和新型的無(wú)損檢測(cè)技術(shù)， 由于其獨(dú)特的成像優(yōu)勢(shì)，在醫(yī)學(xué)和工業(yè)領(lǐng)域發(fā)揮著越來(lái)越大的作用，已成為醫(yī)學(xué)和工業(yè)界診斷檢測(cè)的主流技術(shù)之一。Radon 正逆變換對(duì)公式是 CT 重建最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)理論， 不論是從醫(yī)學(xué)診斷、圖象處理和信號(hào)分析諸領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用還是從數(shù)學(xué)理論研究等方面,這一領(lǐng)域取得了豐富的成果,特別如Natterer F,Davison M,Bortfeld T和 Oelfke U等[1-7]。具體地，他們利用算子的奇異值分解理論，得到了Radon變換的反演公式，值域性質(zhì)。近年來(lái)，針對(duì)不同的系統(tǒng)幾何配置，研究者已提出多種重建算法[8- 9]。從重建方式而言， 可以把這些算法分為基于逆求解公式(Inverse formula)的解析法如Novikov R和基于統(tǒng)計(jì)模型的迭代法兩類[10-12]。解析算法主要通過(guò)對(duì)成像模型進(jìn)行分析，獲得其相應(yīng)的數(shù)學(xué)求逆公式來(lái)實(shí)現(xiàn)，具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、運(yùn)算速度快的優(yōu)點(diǎn)。單光子計(jì)算機(jī)斷層成像(SPECT)是核醫(yī)學(xué)的一種非侵入的診斷技術(shù)，投影數(shù)據(jù)用數(shù)學(xué)表達(dá)式刻畫(huà)就是著名的衰減Radon變換。

相應(yīng)地，圖像重建就是求其逆變換，F(xiàn)BP-型反演公式分別由 Novikov R和 Natterer F得到。 廣義Radon變換是Radon變換的推廣和多種情形的表示，衰減Radon變換是其一種情形之一(見(jiàn)文[13-14])。 作為一個(gè)線性算子，廣義Radon變換是通過(guò)某種特殊的測(cè)度，以在超平面上的積分的形式作用于n維歐幾里得空間上的函數(shù)上。在此文中，我們記ω為單位球面Sn-1上的一個(gè)點(diǎn)， 即ω∈Sn-1，再有s∈R1，廣義Radon變換定義為

(1)

此處 Φ(x,ω) 為(1-2)μ,這里 <,>表示Rn上的點(diǎn)積。當(dāng)μ=0 時(shí)，(1)式即為Radon變換。

下面引入標(biāo)準(zhǔn)的奇異值分解方法：

假設(shè)R是從希爾伯特空間H到K的連續(xù)線性算子，并且RR*:K→K有一個(gè)完全的特征函數(shù)系gi,i=1,2,…,與之相聯(lián)系的特征值系為λi,i=1,2,…,且λi>0。 若令

,i=1,2,…

(2)

Hgi

(3)

這里 <,>H表示H上的內(nèi)積。同樣對(duì)于給定的g∈K,‖Rf1-g‖的最小范數(shù)解f1可由下式得到

(4)

Φ(x,ω)=(1-2)μ,H=L2(Ωn,Wn),

1 輔助結(jié)論及相關(guān)引理

H→L2(Sn-1×[-1,1],(1-s2)μ-n/2)=K

(5)

是連續(xù)線性算子。

證明因?yàn)?/p>

故得到

進(jìn)一步有

≤C1‖f‖Wn‖g‖≤+∞

于是可得結(jié)論，證畢。

·Bω(gW1)(x)

(6)

其中Bω是滿足下式的背投影算子

(Bωg)(x)=g()(1-2)μ

(7)

我們有以下算子

∶L2(Ωn,Wn)→L2([-1,1],W1),

這里IWn表示點(diǎn)乘Wn，“*”表示算子的共軛。易證IWn與IW1是希爾伯特空間上的同構(gòu)算子，因此從上面這些算子可以得出

·Bω·IW1

ω

(8)

其中Gω(s)=G(ω,s)，s∈[-1,1],ω∈Sn-1,x∈Ωn。則RΦ是從H到K的連續(xù)線性算子。

證明對(duì)于?f∈L2(Ωn,Wn)，那么

即說(shuō)明RΦ是H→K的有界線性算子，由于H和K均為希爾伯特空間，從而RΦ是H→K的線性連續(xù)算子。而根據(jù)共軛算子的定義(8)式很容易得到。

通過(guò)坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)我們可僅需考慮ξ=(1,0,…,0),ω=(cosθ,sinθ,0,…,0)時(shí)的情況，由(6)，(7)式得到

因此

(ξ,s)=

這里利用了

參看文[1]。

引理5 對(duì)m=0,1,…，令Vm是引理1中所述K的子空間，且Vm中元素有形式G(ω)Tm(s),這里G(ω)∈L2(Sn-1) 則有

(i){Vm}構(gòu)成了K的正交子空間系；

(iii)

對(duì)于(ii)，(iii)，令G(ω)Tm(s)∈Vm，則

后一等號(hào)由引理4得到。

2 主要結(jié)論及定理

證明由[1]知，F(xiàn)unk-Hecke定理可表述如下：

對(duì)于[-1,1]上的連續(xù)函數(shù)F(t)，成立

<ξ,ω>)Yl(ξ)dξ=

由Funk-Hecke定理及引理5中的結(jié)論有

λlmTm(s)Yl(ω)

證畢。

其中

Plm(r)=rlqml(r2)=

qml(r)是關(guān)于r的最高階為m-l的多項(xiàng)式。

證明直接計(jì)算得

利用Funk-Hecke定理得到原積分為

我們記

和

則下式成立：

進(jìn)一步作代換u=r2，得到

,

為了方便，記

glmk(ω,s)=Tm(s)Ylk(ω),

這里Nn-1(l)為n維球面調(diào)和函數(shù)空間中階為l的球面函數(shù)的個(gè)數(shù)。從而根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的奇異值分解法，對(duì)于?f∈L2(Ωn,Wn),有

這樣就可以根據(jù)要求采用截?cái)喾椒ǖ玫綄?duì)圖像函數(shù)的一種逼近和近似重建。

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