摘 要:通過有限元方法探討單向受載帶孔無限大板件孔邊應(yīng)力集中的問題:逐步增大模型垂直于載荷方向的尺寸模擬無限大板;在此基礎(chǔ)上探討孔邊應(yīng)力集中系數(shù)與孔的幾何特征的關(guān)系，即變圓孔為橢圓，垂直于受載方向孔半軸不變，載荷方向孔半軸變化，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)隨曲率半徑增大而減小;減小圓孔半徑，最大應(yīng)力集中系數(shù)隨之減小，并減小到彈性力學(xué)理論值3以下。上述結(jié)果說明連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論有其自身的局限性，應(yīng)力梯度在應(yīng)力場變化很大的情況下對微元體平衡分析的影響不可忽視。

關(guān)鍵詞:帶孔板件 應(yīng)力集中系數(shù) 幾何特征 應(yīng)力梯度

中圖分類號:V215.9文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2012)07(b)-0017-02

1 問題的提出

帶孔板件是工程中常用結(jié)構(gòu)件，在航空工業(yè)中也廣為應(yīng)用。帶孔板件孔邊存在小范圍的高應(yīng)力區(qū)。根據(jù)板件寬度和孔徑的相對比例，孔邊最大應(yīng)力水平可為板件遠(yuǎn)場(即遠(yuǎn)離孔邊的區(qū)域)應(yīng)力的幾倍甚至十幾倍;板件寬度和孔徑之比越小，孔邊最大應(yīng)力越大。這個現(xiàn)象被稱為“應(yīng)力集中”，通常定義孔邊最大應(yīng)力與板件遠(yuǎn)場應(yīng)力之比為應(yīng)力集中系數(shù)，以此來標(biāo)示應(yīng)力集中的程度。由于孔邊的高應(yīng)力水平，帶孔板件在承受較小載荷的情況下，孔邊應(yīng)力集中區(qū)域很可能已經(jīng)產(chǎn)生塑性變形，帶孔板件的破壞，包括靜載下的破壞和疲勞破壞，通常是從帶孔板件孔邊應(yīng)力集中區(qū)域萌生的。因此，孔邊的應(yīng)力集中在很大程度上影響了構(gòu)件的承載能力，進(jìn)而損害了結(jié)構(gòu)(件)的可靠性，是工程設(shè)計中需要重視的關(guān)鍵問題之一。

板件幾何中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向為坐標(biāo)x方向，垂直方向為y方向?？仔募礊樽鴺?biāo)原點(diǎn)。根據(jù)彈性力學(xué)理論，帶孔無限大板受y方向的均布應(yīng)力，孔邊的應(yīng)力集中系數(shù)的基爾斯解答[1]為:

(1)

(2)

由上式可見，孔邊最大應(yīng)力集中系數(shù)Kx，max=3，特別應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出的是，該應(yīng)力集中系數(shù)不隨孔徑的變化而變化。在彈性力學(xué)的理論框架內(nèi)，這是學(xué)習(xí)彈性力學(xué)時應(yīng)建立的基本概念。

但是，我們可以做這樣的設(shè)想:對于無限大板，隨著孔的縮小，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)始終保持不變;當(dāng)孔不斷縮小，乃至于無限縮小，即孔徑無限小，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)還保持不變嗎？很顯然，當(dāng)孔徑無限小乃至等于零時，即沒有孔的情況，板蛻變成完好的連續(xù)介質(zhì)板，所謂的孔邊應(yīng)力集中現(xiàn)象也隨之消失！

是不是在孔縮小的過程中，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)始終不變，無論孔徑趨于多么小，而當(dāng)孔徑為零的時候，應(yīng)力集中系數(shù)也突然變?yōu)榱?？毫無疑問，這樣的物理過程——即孔不斷縮小及孔邊應(yīng)力集中系數(shù)的相關(guān)變化的過程——并不符合邏輯。

2 有限元分析

基于上面的討論，作者利用有限元計算，對帶孔無限大板孔邊應(yīng)力集中系數(shù)是否隨孔徑變化而變化這個問題，進(jìn)行初步探討。

對于如圖1所示帶孔板件，作者應(yīng)用通用有限元軟件ANSYS10.0建立如圖2所示的有限元模型:板件的高度為b=200(mm)，寬度為a=2X0，取值如表1所列，厚度為c=2mm;E=690GPa，μ=0.3;選擇單元為Solid8node82。在板件的上邊施加y方向載荷密度為1MPa的均布載荷，根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性，為計算方便，這里只取板件的1/4模型，在模型底邊(原板件x軸)施加y向位移約束，左側(cè)邊(原板件y軸)施加x向位移約束。

2.1 網(wǎng)格劃分

在有限元方法中，網(wǎng)格劃分對計算結(jié)果影響較大，一個符合結(jié)構(gòu)幾何和載荷特征的網(wǎng)格劃分，不僅可以保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，還可以大大節(jié)省計算量。對于本文研究的帶孔板，由于孔邊存在應(yīng)力集中，網(wǎng)格的合理劃分是極為重要的。本文有限元模型的網(wǎng)格如圖2所示，在孔邊極為細(xì)密，在遠(yuǎn)離孔的區(qū)域逐步變稀疏，但為了保證得到收斂解，通過對計算結(jié)果的研究，我們選擇了一個較密的網(wǎng)格，后面的模型計算，也采用了類似的方式，不再復(fù)述。

2.2 無限大板模擬

有限元模擬不可能建立無限大的模型，對于孔邊應(yīng)力集中問題，板件在載荷方向的尺度并不影響本文的討論，故為模擬無限大板，在選定孔徑為10(mm)不變的前提下，把板的寬度由30(mm)逐漸增大到100(mm)(參看表1)，有限元模型計算得到的應(yīng)力集中系數(shù)也列在表1中。

由表1可見，隨著板寬逐漸增大，孔邊最大應(yīng)力集中系數(shù)逐漸減小趨于3，這個結(jié)果很好的吻合了彈性力學(xué)理論的認(rèn)識?？梢哉J(rèn)為X0≥100mm時最大應(yīng)力集中系數(shù)趨于不變，有限元模型板可以認(rèn)為是無窮大。

2.3 孔形狀曲線的曲率對孔邊應(yīng)力集中系數(shù)的影響

孔邊應(yīng)力集中的程度受兩個因素的影響:板的有效承載面積(對有限寬度板而言，有效承載面積等于板寬減去孔徑后的面積)和孔形狀曲線曲率。前者也受孔徑大小影響，從本質(zhì)上講，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)是由孔徑?jīng)Q定的。

顯然，對于無限大板，板的有效承載面積與孔徑無關(guān)，那么，孔徑是否對孔邊應(yīng)力集中系數(shù)有影響呢？(前面我們提到，從彈性力學(xué)分析的結(jié)論是帶孔無限大板孔邊應(yīng)力集中系數(shù)與孔徑無關(guān)。)這里想強(qiáng)調(diào)的是，孔的形狀對孔邊應(yīng)力集中的影響。

下面用X0=100(mm)的模型板模擬無限大板，固定孔x軸半徑為Xa=10(mm)，改變y軸半徑Y(jié)b，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)Kx，max的計算結(jié)果如表2所示:

由表2可見，當(dāng)Yb/Xa≤1時，即孔與x軸交點(diǎn)處，孔形狀曲線的曲率半徑減小，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)明顯大于圓孔的情況，可以想見，當(dāng)Yb無限縮短時，孔蛻化為裂紋，裂紋尖端將出現(xiàn)應(yīng)力奇異性;另一方面，當(dāng)Yb/Xa≥1時，即孔與x軸交點(diǎn)處，孔形狀曲線的曲率半徑增大，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)明顯小于圓孔的情況，可以想見，當(dāng)Yb無限增大時，孔蛻化為“矩形”(即在孔與x軸交點(diǎn)處，孔形狀曲線的曲率半徑為無限大)，孔邊應(yīng)力水平雖然還會略高于遠(yuǎn)場應(yīng)力，但性質(zhì)不同，“應(yīng)力集中”這個概念已不適用。

上述結(jié)果證明，孔的形狀對應(yīng)力集中的影響是十分顯著的，對于無限大板也應(yīng)如此(因為上述結(jié)果基于近似的無限大板模型)。

當(dāng)孔徑減小時，也就是孔與x軸交點(diǎn)處形狀曲線的曲率半徑減小，根據(jù)表2展現(xiàn)的規(guī)律，對于無限大板，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)應(yīng)增大;值得注意的是，在本文“一問題的提出”一節(jié)中提及，從孔徑減小乃至無限減小而趨于零這一過程中，對于無限大板而言，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)應(yīng)該隨之減小，而不是增大。

這看起來是一個矛盾，但是本小節(jié)的有限元研究是在固定孔在x軸方向的半徑這個前提下進(jìn)行的;而在第一節(jié)中所說的孔徑減小，不僅意味著孔形狀的改變，同時也意味著板承載面積的增加(雖然理論上，對于無限大板，孔徑改變不影響板的承載面積)。

本文的目的在于討論孔徑大小對帶孔無限大板孔邊應(yīng)力集中系數(shù)的影響，本節(jié)的研究證明，孔形狀的改變勢必將改變孔邊應(yīng)力集中的程度，而孔徑的改變正是孔形狀改變的一種形式，從而呼應(yīng)了本文第一節(jié)提出的觀點(diǎn)。至于孔徑和板有效承載面積對孔邊應(yīng)力集中的影響規(guī)律及綜合效應(yīng)，超出了本文工作的范疇。

2.4 孔徑變化對孔邊應(yīng)力集中系數(shù)影響的有限元研究

基于前述有限元模型，當(dāng)孔徑減小時，板模型同樣可以認(rèn)為是無限大，有限元計算的孔邊應(yīng)力集中系數(shù)的結(jié)果如圖3所示:雖然應(yīng)力集中系數(shù)變化很小，但與孔徑的關(guān)系近似成正比(線性相關(guān)系數(shù)為0.9987)，這個規(guī)律十分明確。對于孔徑為2的情況，作者增大板的寬向尺寸，計算出的應(yīng)力集中系數(shù)無變化，再次證明，模型板可以認(rèn)為是無限大。這一結(jié)果從某種程度上印證了作者在“一問題的提出”一節(jié)中的分析。對該問題的進(jìn)一步分析見下文“3、矛盾淺析”。

3 矛盾淺析

通過上面的研究，我們有理由相信，彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)存在缺陷，或者說，彈性力學(xué)存在特定的適用范圍。對于一般性問題，特別是應(yīng)力場變化不十分急劇的，毫無疑問，彈性力學(xué)是被實踐所證實的。但對于存在較大應(yīng)力梯度的問題，如本文所舉的孔邊應(yīng)力集中的問題，需要慎重對待彈性力學(xué)的分析結(jié)果。

傳統(tǒng)的彈性力學(xué)基于介質(zhì)連續(xù)性假設(shè)，如圖4-a所示，微元體面上應(yīng)力分布是均勻的，且式(3)成立，即剪應(yīng)力互等:

(3)

對于應(yīng)力梯度較大的應(yīng)力場，微元體面上應(yīng)力分布就不能再認(rèn)為是均勻的了，微元體將出現(xiàn)轉(zhuǎn)動趨向，除了受力平衡外，還需建立微元體的轉(zhuǎn)動平衡，如圖4-b所示，微元體左右正應(yīng)力存在不相等的應(yīng)力梯度，若式(3)依然成立，那么對微元體形心取矩，有微元體無法平衡，也就是說，傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)理論不適用于尺寸效應(yīng)問題。

(4)

目前，尺寸效應(yīng)是固體力學(xué)的前緣領(lǐng)域，國內(nèi)外一些學(xué)者對這個問題進(jìn)行了卓有成效的研究，如由Toylar位錯模型出發(fā)基于細(xì)觀機(jī)制的應(yīng)變梯度理論MSG理論、黃克智等在MSG理論基礎(chǔ)上發(fā)展的低階應(yīng)變梯度理論CMSG等，這里就不再詳述了。

最后再談?wù)?.4節(jié)中有限元計算的無限大板孔邊應(yīng)力集中系數(shù)小于3的情況。有限元是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)建立的數(shù)值計算方法，有限元的計算結(jié)果應(yīng)和彈性力學(xué)的理論分析相一致，也就是說，有限元模型計算帶孔無限大板孔邊應(yīng)力集中系數(shù)的結(jié)果不應(yīng)小于3。但在板的尺寸很大而孔徑相對很小時，為了得到收斂的數(shù)值解，有限元模型的網(wǎng)格在孔周邊區(qū)域劃分的很細(xì)密，在一定程度上反映了應(yīng)力集中區(qū)域的應(yīng)力梯度(雖然微元體的轉(zhuǎn)動平衡仍未考慮)，因此，有限元計算的應(yīng)力集中系數(shù)隨孔徑減小不斷減小且小于3，貼近了實際情況。

4 結(jié)語

彈性力學(xué)分析告訴我們，對于帶孔無限大板，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)和孔徑大小無關(guān)，這是我們首先應(yīng)該明確的。但是彈性力學(xué)是基于連續(xù)性理論，并不適用于需要考慮非均勻性的應(yīng)力梯度(也常被成為“應(yīng)變梯度”)的問題?？v觀整個自然科學(xué)領(lǐng)域，任何一種理論都有其適用范圍;對問題的研究更不能僅僅局限于書本的理論知識，勇于質(zhì)疑，積極思考，才能在課堂學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，不斷深入不斷有所收獲。

參考文獻(xiàn)

[1]徐芝綸編著.彈性力學(xué)簡明教程.第三版.高等教育出版社，2002.

[2]Taylor G.I.Plastic strain in metal.J.Inst.Matals.1938，62:307-324.

[3]Nix W D and Gao H. Indentation size effects in crystalline materials: A law for strain gradient plasticity.Journal of the Mechanics and Physics of Solids 1998，46:411-425.

[4]黃克智，黃永剛編著.固體本構(gòu)關(guān)系[M].清華大學(xué)出版社，1999.

[5]Huang Y，Qu S，Hwang K C，Li M and Gao H.A conventional theory of mechanism based strain gradient plasticity.International Journal of Plasticity 2004，20:753-782.