王明飛

數(shù)學(xué)中折紙問(wèn)題，易于學(xué)生動(dòng)手操作，具有很強(qiáng)的直觀感，趣味性強(qiáng)，能培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，是開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)的好素材，這類探究·拓展題在新課改及高考中就經(jīng)常出現(xiàn)，因此，在平時(shí)教學(xué)中就要引起我們足夠的重視，下面就一道折紙問(wèn)題來(lái)探討折紙中有趣的數(shù)學(xué).

準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點(diǎn)F，將紙片折起，使圓周過(guò)點(diǎn)F（如圖1），然后將紙片展開(kāi)，就得到一條折痕l(為了看清楚，可把直線l畫出來(lái)）.這樣繼續(xù)折去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成什么曲線？

折許多條折痕就圍成了如圖2的一個(gè)橢圓，我們知道，橢圓應(yīng)該由點(diǎn)的軌跡來(lái)具體確定，那究竟是什么樣的點(diǎn)構(gòu)成了這個(gè)橢圓？

圖1 圖2如圖3，設(shè)圓心F ′,圓的半徑為2a,F ′F=2c,以F ′F中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn) ′F所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，P為圓上一點(diǎn)，PF的垂直平分線l交PF ′于點(diǎn)M，我們來(lái)探求M的軌跡.

分析 連MF，由垂直平分線的性質(zhì)可知，MP=MF，則MF ′+MF=MF ′+MP=2a>F ′F.

圖3由橢圓的定義可知，M的軌跡是以F、F ′為焦點(diǎn)的橢圓，其中長(zhǎng)軸為2a，焦距為2c,令b2=a2-c2,則橢圓的方程為x2a2+y2b2=1.

現(xiàn)在問(wèn)題是M的軌跡與折痕圍成的橢圓是否是同一個(gè)橢圓？如圖3，設(shè)M ′是直線l上不同于M的任一點(diǎn)，則M ′F ′+M ′F=M ′F ′+M′P>PF ′=2a,所以M ′在橢圓的外部，當(dāng)P取遍⊙F ′上所有的點(diǎn)時(shí)，l所圍成的輪廓就是M點(diǎn)所確定的橢圓，從圖2中可以看出，折痕上的點(diǎn)也在它所圍成的橢圓上或外部，而折痕所在的直線就是l，所以點(diǎn)M的軌跡與折痕圍成的橢圓就是同一個(gè)橢圓.

進(jìn)一步思考，發(fā)現(xiàn)這個(gè)折紙問(wèn)題是個(gè)十分有趣的開(kāi)放性問(wèn)題，它包含了許多的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步探究，還可以得出一些有趣的結(jié)論：

探究1 M是折痕l上到兩點(diǎn)F、F ′距離之和最小的點(diǎn).

探究2 折痕上的M點(diǎn)構(gòu)成了橢圓，而其余的點(diǎn)都在橢圓外，所以折痕所在的直線l就是橢圓的切線.

所以Δ=0，即l與橢圓相切，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，相切顯然成立，所以l是橢圓的切線，M是切點(diǎn).

探究4 由對(duì)稱性可知，∠FMN=∠PMN=∠F ′MM ′,這一點(diǎn)反映在橢圓的光波與聲波的性質(zhì)上，一束光從F點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)橢圓反射后，反射光一定通過(guò)F ′點(diǎn)，聲音傳到橢圓上，經(jīng)過(guò)連續(xù)幾次反射，在很遠(yuǎn)的地方也能聽(tīng)到聲音，北京天壇公園里的回音壁就暗合了聲學(xué)的傳音原理.

探究5 如果已知F、F ′為橢圓的焦點(diǎn)，M是橢圓上一點(diǎn)，如圖3，現(xiàn)將MF折起使F點(diǎn)與F ′M延長(zhǎng)線上的P點(diǎn)重合，則P的軌跡是以F ′為圓心，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為半徑的圓，方程為(x+c)2+y2=4a2,設(shè)折痕l與PF的交點(diǎn)為N，則N的軌跡是以O(shè)為圓心，半長(zhǎng)軸為半徑的圓，方程為x2+y2=a2,同時(shí)折痕l是橢圓的切線.

探究6 若∠F ′PF=θ,則S△MF ′F=b2tanθ.

證明 因?yàn)椤螰 ′PF=θ,所以∠F ′MF=2θ，|F ′F|2=|MF ′|2+|MF |2-2|MF ′||MF|cos2θ4c2=4a2-2|MF ′||MF|(1+cos2θ)|MF ′||MF|=2b21+cos2θ=b2cos2θ

S△MF ′F=12|MF ′||MF|sin2θ=b2tanθ.

通過(guò)對(duì)上述折紙過(guò)程的分析、探究及證明，使學(xué)生對(duì)橢圓的定義、方程及性質(zhì)有更深的理解，起到了學(xué)以致用，理論聯(lián)系實(shí)際的作用.如果將此題中的F點(diǎn)移到圓外，折紙的方法相同，就可以得到一道關(guān)于雙曲線的折紙操作題，有興趣的讀者不妨先操作再做更深入的探究.

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