圖形的變換是“課程標準”中新增加的內容，在各地的中考中頻繁出現，尤其是近幾年，圖形變換常與平面直角坐標系中的坐標相結合，讓很多學生感到無從下手.這類題背景新穎、形式多變，從注重考查學生的數形結合，到直接運用變換操作的計算題，發(fā)展到基于變換操作的綜合探究題，甚至是壓軸題.考查的著眼點日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯.這對于識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力、數形結合能力和分析、綜合解決實際問題的能力都提出了比以往更高的要求. 其實，我們只要把握平面直角坐標系中點的坐標變換的本質特征，借助數形結合及相關的變換的數學思想及方法，便能發(fā)現許多意想不到的解題思路與方法，做到胸有成竹，有的放矢.

一、平面直角坐標系內點的變換本質特征及規(guī)律

對于平面直角坐標系內點（x，y）的平移只能是沿x軸方向左右平移或沿y軸方向上下平移.

1. 點的平移規(guī)律：

★當點P（x，y）沿x軸方向左右平移到A時，只能給x帶來變化，即A；其中右移h為正，左移h為負；

★當點P（x，y）沿y軸方向上下平移到B時，只能給y帶來變化，即B（x，y+k）；其中上移k為正，下移k為負.

點的對稱規(guī)律：

★當點P（x，y）關于x軸對稱到點A時，只能給y帶來變化，變?yōu)閥的相反數，即A（x，-y）；

★當點P（x，y）關于y軸對稱到點B時，只能給x帶來變化，變?yōu)閤的相反數，即B（-x，y）；

★當點P （x，y）關于原點中心對稱到點C時，能給x、y都帶來變化，都變?yōu)閤、y的相反數，即C （-x，-y）.

以上變換規(guī)律不但適用于點的變換，而且對于一次函數、反比例函數及二次函數圖像的變換均成立與適用.

2.函數圖像的平移規(guī)律：

★ 當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）沿x軸方向左右平移時，只能給自變量x帶來變化，即y=k（x-h）+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=a（x-h）2+b（x-h）+c（a≠0）；其中右移h為正，左移h為負；

★ 當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）沿y軸方向上下平移時，只能給函數y帶來變化，即y=kx+b+m（k≠0）、y=+m（k≠0）、y=ax2+bx+c+m（a≠0），其中上移m為正，下移m為負.

函數圖像的對稱規(guī)律：

★當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關于x軸對稱時，函數y變?yōu)閥的相反數，即y=-kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2-bx-c（a≠0）；

★當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關于y軸對稱時，自變量變?yōu)閤的相反數，即y=-kx+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=ax2-bx+c（a≠0）；

★當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關于原點中心對稱到點C時，能給x、y都帶來變化，都變?yōu)閤、y的相反數，即y=kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2+bx-c（a≠0）.

二、平面直角坐標系內點、函數圖像的變換技巧與拓展應用

例1：閱讀下面的材料：

在平面幾何中，我們學過兩條直線平行的定義.下面就兩個一次函數的圖像所確定的兩條直線，給出它們平行的定義：設一次函數y=k1x+b1（k1≠0）的圖像為直線l1，一次函數y=k2x+b2（k2≠0）的圖像為直線l2，若k1=k2，且b1≠ b2，我們就稱直線l1與直線l2互相平行.

解答下面的問題：

（1）求過點P（1，4）且與已知直線y=-2x-1平行的直線l的函數表達式，并畫出直線l的圖像；

（2）設直線l分別與y軸、x軸交于點A、B，如果直線m：y=kx+t（t＞0）與直線l平行且交x軸于點C，求出△ABC的面積S關于t的函數表達式.

思路點撥：在（1）中，要求出與已知直線y=-2x-1平行的直線l的函數表達式，關鍵在于弄清直線的平移情況.因已知直線平移后經過點P（1，4），不防設一個點M（1，a），通過代入求出a的值，進而確定出平移的方向和單位長；在（2）中，因直線m：y=kx+t（t＞0）與直線l平行，可知k=-2，進而用有關t的代數式表示出C點的坐標，此時要分類討論點C的位置，要分兩種情況借助面積公式求解出有關面積S關于t的函數表達式.

解析：（1）點M（1，a）是已知直線y=-2x-1上的一點，將x=1代入已知直線得a=-2×1-1=-3，則M（1，-3）平移到P（1，4），是沿y軸向上平移7個單位，即y=-2x-1+7，化簡得直線l的函數解析式為y=-2x+6；

（2） ∵直線l分別與y軸、x軸交于點A、B，∴點A、B的坐標分別為（0，6）、（3，0）.

∵l∥m，∴直線m為y=-2x+t.∴C點的坐標為（，0）.

∵ t＞0，∴＞0 .

∴C點在x軸的正半軸上.

當C點在B點的左側時，S=×（3-）×6=9-；

當C點在B點的右側時，S=×（-3）×6=-9 .

∴△ABC的面積S關于t的函數表達式為：

S=9-（0＜t＜6），-9（t＞6）.

評注：平移法則是：當函數的圖像向上或向下平移時，原函數的函數值y變?yōu)閥+k，其中上移k為正數，下移k為負數，而自變量不變.

例2：如圖，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線y=ax2上．

（1）求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；

（2）平移拋物線y=ax2，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點．

①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式；

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由．

思路點撥：在（1）中，使AQ+QB最短，必須滿足兩點之間線段最短，即作出B關于x軸對稱點P的坐標，進而可知線段AP的距離最短，再求出直線AP與x軸的交點從而得到Q點的坐標；在（2）中，拋物線在平移過程中A、B兩點的位置、數量大小關系并沒有改變，改變的僅是它們的坐標，要使距離仍然最短，只是將點Q向左平移到點C，從而得到拋物線左移的距離，運用平移規(guī)律求解拋物線的解析式，使四邊形A′B′CD的周長最短，要進行分類考慮左移與右移.

解析：（1） 將點A（-4，8）的坐標代入y=ax2，解得，將點B（2，n）的坐標代入，求得點B的坐標為（2，2），則點B關于x軸對稱點P的坐標為（2，-2）．

直線AP的解析式是y=-x+，令y=0，得x=．即所求點Q的坐標是（，0）.

（2）①拋物線上A、B兩點的位置已確定，要使A′C+CB′ 最短，也就是讓點Q沿x軸向左平移到點C，其中CQ=|-2-|=，即將拋物線y=x2向左平移個單位時，A′C+CB′最短.

此時拋物線的函數解析式為y=[x-（-）]2，即y=·（x+）2．

②左右平移拋物線y=x2，因為線段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短.

第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′＞AD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短．

第二種情況：設拋物線向左平移了b個單位，則點A′和點B′的坐標分別為A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）.因為CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B′′（-b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′（-4-b，-8），直線A′′B′′的解析式為y=x+·b+2，要使A′D+DB′′最短，點D應在直線A′′B′′上，將點D（-4，0）代入直線A′′B′′的解析式，解得b=．故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時拋物線的函數解析式為y=[x-（-）]2，即y=（x+）2.

評注：平移法則是：當函數的圖像向左或向右平移時，原函數函數解析式中的自變量x變?yōu)閤-h，其中右移h為正數，左移h為負數，而函數值不變.

例3：如下頁圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．

（1）求P點坐標及a的值；

（2）如圖（1）：

a.若將拋物線C1繞點O順時針旋轉180°，試寫出旋轉后拋物線的解析式；

b.拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式；

（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4. 拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

思路點撥：將點B（1，0）代入C1的解析式能快速地求出a的值；在（2）中，拋物線C1繞點O順時針旋轉180°，則說明變量x、y都變?yōu)橄喾磾?；當點P、M關于點B成中心對稱時，要求出C3的解析式關鍵是求出頂點M點的坐標，而B點坐標為（1，0），利用對稱性及通過添加適當的輔助線、全等知識等可得頂點M（4，5），且拋物線C3開口向下，運用頂點式便可求出C3的解析式；在（3）中，拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4 .其實就是P，N關于點Q成中心對稱，根據對稱性可設字母m表示出N、E、F等各點的坐標，探究以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，要進行適當的分類考慮：三個角都有為直角的可能，再利用相關的勾股定理等確定其中所設字母m的值，進而求出Q點的坐標.

解析：（1）由拋物線C1：y=a（x+2）2-5得頂點P（-2，-5）.

∵點B（1，0）在拋物線C1上，∴0=a（1+2）2-5，解得a= .

（2）a：拋物線C1繞點O順時針旋轉180°，先自變量x變?yōu)閥=（-x+2）2-5，函數值y變?yōu)閥=-（-x+2）2+5；

b：連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G ，∵點P、M關于點B成中心對稱.

∴PM過點B，且PB=MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG=PH=5，BG=BH=3.

∴頂點M的坐標為（4，5）.

拋物線C2由C1關于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到.

∴拋物線C3的表達式為y=-（x-4）2+5.

（3）∵拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉180°得到∴頂點N、P關于點Q成中心對稱， 由（2）得點N的縱坐標為5.

設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，∵旋轉中心Q在x軸上，∴EF=AB=2BH=6，∴FG=3.點F坐標為（m+3，0），H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5）.

根據勾股定理得PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34 .①當∠PNF=90°時，PN2+ NF2=PF2，解得m=，∴Q點坐標為（，0）；②當∠PFN=90°時，PF2+ NF2=PN2，解得m=，∴Q點坐標為（，0）；③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90°.

綜上所得，當Q點坐標為（，0）或（，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形．

評注：解題關鍵是抓住關于x軸對稱、y軸對稱和關于某點中心對稱的坐標的特點，軸對稱是翻折180°，中心對稱是旋轉180°。拋物線關于x軸對稱，實質上就是圖像的形狀不變，開口方向相反，并且拋物線的頂點關于x軸對稱，拋物線在左右平移過程中，實質是拋物線的自變量在變，函數值并沒有改變，拋物線在上下平移過程中，實質是拋物線的函數值上下移動，自變量并沒有改變。圖像繞著某點旋轉180°，實質是圖像繞著某點成中心對稱，關鍵是要搞清兩個對稱點之間橫坐標的關系，縱坐標的關系.解答圖像類的坐標問題，其基本的思想是“數形轉換”，把根據已知條件、圖形性質求出來的幾何量，轉化成點的坐標，或者是由坐標轉化成幾何量時都應注意對點的坐標符號或幾何量的確定.