主 講：許志鋒

中學(xué)高級(jí)教師，臺(tái)州市“教學(xué)能手”，擁有20余年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，參加過“國(guó)家級(jí)骨干教師”培訓(xùn)并被授予合格證書.

推薦名言

邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)明的工具．

——龐加萊 （法國(guó)數(shù)學(xué)家，提出了世界七大難題之一“龐加萊猜想”）

在高中階段，同學(xué)們僅學(xué)過對(duì)一元函數(shù)求導(dǎo)．可在某些函數(shù)問題中，我們卻不得不面對(duì)兩個(gè)獨(dú)立的自變量．怎樣將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)呢·我們將以2011年南京市的一道高考模擬題為例，深入探討這一話題．

例 已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx （a∈R）．

（1） 若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為3x-y-3=0，求a；

（2） 求證： f（x）≥0恒成立的充要條件是a=1；

（3） 若a<0，且對(duì)于任意的x1，x2∈（0，1］，都有f（x1）-f（x2）≤4■-■，求ａ的取值范圍．

問題（1）解答

f′（x）＝1-■． ∵ 曲線y= f（x）在x=1處的切線方程為3x-y-3=0， ∴ f′（1）=3． 解得a=-2.

問題（2）證明

若a=1，則f（x）=x-1-lnx （x>0），f′（x）=1-■． 當(dāng)0

反之，觀察可得f（1）＝0，若f（x）＝x-1-alnx≥0恒成立，則x=1作為定義域（0，+∞）內(nèi)的一點(diǎn)（非端點(diǎn)），應(yīng)當(dāng)是f（x）的極小值點(diǎn)， ∴ f′（1）=1-■=0，解得a=1．

∴ f（x）≥0恒成立的充要條件是a=1.

問題（3）解析

首先，我們要設(shè)法去掉絕對(duì)值． 不等式f（x1）-f（x2）≤4■-■兩邊都有x1，x2，設(shè)0

要去掉f（x1）-f（x2）的絕對(duì)值，就要考慮f（x）的單調(diào)性. ∵ f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）， ∴當(dāng)a<0時(shí)， f′（x）=1-■>0， f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增， ∴ f（x1）-f（x2）＝f（x2）-f（x1）．

這樣一來，問題（3）就等價(jià)于“若a<0，且對(duì)于任意的0

如果將f（x）＝x-1-alnx代入①式，①式就成了一個(gè)含有x1，x2兩個(gè)變量且同時(shí)含有對(duì)數(shù)式與分式的不等式． 麻煩來了，二元怎樣歸一元·

讓我們換個(gè)角度處理①式. 將同一變量的表達(dá)式置于等號(hào)同側(cè)，可得f（x2）+■≤f（x1）+■ （②）． 將②式的左右兩邊看做函數(shù)F（x）＝ f（x）+■的自變量x分別取x1和x2時(shí)的值. 在0

設(shè)F（x）＝f（x）+■，則F′（x）=1-■-■=■． 問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“在區(qū)間（0，1］上，g（x）=x2-ax-4≤0恒成立，求a的取值范圍”． 我們注意到，g（x）的圖象開口向上，且g（0）=-4<0，只要使g（1）≤0，就可使g（x）≤0在（0，1］上恒成立．由g（1）≤0解得a≥-3． 所以a的取值范圍是［-3，0）．

點(diǎn) 評(píng)

分析例題的解答過程，顯然，從①式到②式的細(xì)微變化是解題成功的關(guān)鍵．因?yàn)棰谑阶笥覂蛇呄嗤慕Y(jié)構(gòu)形式會(huì)促使我們聯(lián)想到構(gòu)造一元函數(shù)F（x）＝f（x）+■，并將關(guān)于x1，x2的二元函數(shù)看做關(guān)于ｘ的一元函數(shù)的兩個(gè)取值．這種方法有點(diǎn)類似于數(shù)列問題中構(gòu)造新數(shù)列求解原數(shù)列的方法．比如，“在數(shù)列｛ａｎ｝中，已知ａ1＝1，ｎａｎ+1-（ｎ+1）ａｎ＝ｎ（ｎ+1），求｛ａｎ｝的通項(xiàng)公式”，解答的關(guān)鍵是對(duì)等式兩邊同除以ｎ（ｎ+1），得■-■＝1，然后將■，■看做等差數(shù)列｛ｂｎ｝中相鄰的兩項(xiàng)，并通過｛ｂｎ｝的通項(xiàng)公式解得｛ａｎ｝的通項(xiàng)公式ａｎ＝ｎ2．

【練一練】

已知函數(shù)f（x）=（ａ+1）ｌｎｘ+ａx2+1.

（1） 討論f（x）的單調(diào)性；

（2） 若ａ＜-1，且對(duì)任意的ｘ1，ｘ2∈（0，+∞）， f（x1）-f（x2）≥4x1-x2，求ａ的取值范圍．

【參考答案】

簡(jiǎn)解：（1） f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）， f′（x）＝■+2ａｘ=■．

若a≥0，則■＞0，2ａｘ≥0，∴ f′（x）＞0， f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.若ａ≤-1，同理可得f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減. 若-1＜ａ＜0，令f′（x）＝0，解得ｘ＝±■，則f′（x）＝■在（0，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn)ｘ＝■，當(dāng)ｘ∈0，■時(shí)，f′（x）＞0， f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)ｘ∈■，+∞時(shí)， f′（x）＜0， f（x）單調(diào)遞減．

（2） 當(dāng)a<-1時(shí)，由（1）可知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減． 設(shè)0

-■=■=■-2，又■≥0， ∴ ａ∈（-∞，-2］．