主 講：沈新權

浙江省數(shù)學特級教師，嘉興市數(shù)學會副會長.

推薦名言

一切自然科學，都是研究函數(shù).

——H. H. 魯金 （蘇聯(lián)數(shù)學家，現(xiàn)代實變函數(shù)論的開創(chuàng)者之一）

三角函數(shù)內容豐富，主要包括定義，圖象與性質（單調性、奇偶性、周期性、對稱性），三角恒等變換，正余弦定理等．自主招生考試對三角函數(shù)的考查要求相對較高，除了高考要求的基本知識點與公式之外，還會考查一些拓展公式和結論. 現(xiàn)列舉如下：

萬能公式：sinα=■，cosα=■，tanα=■.

和差化積公式：sinα+sinβ=2sin■cos■，sinα-sinβ=2cos■·sin■，cosα+cosβ=2cos■cos■，cosα-cosβ=-2sin■sin■.

積化和差公式：sinαcosβ=■［sin（α+β）+sin（α-β）］，cosαsinβ=■［sin（α+β）-sin（α-β）］，sinαsinβ=-■［cos（α+β）-cos（α-β）］，cosαcosβ=■［cos（α+β）+cos（α-β）］．

三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin3α，cos3α=4cos3α-3cosα，sin■-αsinαsin■+α＝■sin3α，cos■-αcosαcos■+α＝■cos3α，tan■-αtanαtan■+α＝tan3α．

兩個有用的三角不等式：若α是銳角，則sinα+cosα>1，sinα<α

三角形中的一些基本恒等式：在△ABC中，cos（B+C）＝-cosA；若△ABC不是直角三角形，則tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC．

在自主招生考試中，三角函數(shù)問題主要有三類：研究三角函數(shù)的圖象與性質、三角恒等變換、三角形中的三角函數(shù)問題．

一、 研究三角函數(shù)的圖象與性質

例1 （2007年上海交通大學自主招生考試第12題） 設函數(shù)f（x）＝sinx+cosx，試討論f（x）的性質（有界性、奇偶性、單調性和周期性），求出其極值，并作出其在［0，2π］內的圖象．

解析：三角函數(shù)的重要特點之一是周期性. 一般而言，在討論三角函數(shù)的性質時，我們常常先把含有正弦、余弦等不同三角函數(shù)的式子轉化為關于一個角的一種三角函數(shù)式，求出函數(shù)的周期．只要討論該函數(shù)在一個周期內的性質，就能判斷函數(shù)在整個定義域上的性質． 但例１中的函數(shù)解析式比較簡單，我們可以先求出函數(shù)的周期，再對函數(shù)解析式進行轉化．

由f（-x）=f（x）得：f（x）是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱.又由f■-x=f（x）可知，函數(shù)圖象關于x=■對稱. 我們還發(fā)現(xiàn)， f■+x=f（x），∴ f（x）的最小正周期為T＝■．由此，我們可以討論函數(shù)f（x）=sinx+cosx在一個周期0，■內的單調性和最值，再推出一般性結論．

當x∈0，■時， f（x）=sinx+cosx=■sinx+■. 當x∈0，■時， f（x）單調遞增；當x∈■，■時， f（x）單調遞減. ∴ 對 f（x）=sinx+cosx而言，當x∈■，■+■（k∈Z）時，函數(shù)f（x）單調遞增；當x∈■+■，■+■（k∈Z）時， f（x）單調遞減．當x=■（k∈Z）時， f（x）min=1；當x=■+■（k∈Z）時，f（x）max=■． 函數(shù)f（x）在［0，2π］內的圖象如圖1所示．

當然，在解答例1時，我們也可以先畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象討論函數(shù)性質——這也是解決三角函數(shù)問題的一種有效方法．

二、 三角恒等變換

例2 （2010年清華大學自主招生考試第1題） 求sin410°+sin450°+sin470°的值．

解析：解答例2時，不僅要熟練掌握三角函數(shù)的相關公式，還要熟悉三角函數(shù)恒等變換的處理方法，如降冪、和差化積、積化和差等．我們先用降冪公式把所求解析式中的四次方轉化為二次方，再進行化簡：sin410°+sin450°+sin470°＝■2+■2+ ■2=■［3-2（cos20°+cos100°+cos140°）+（cos220°+cos2100°+cos2140°）］．

其中， cos20°+cos100°+cos140°＝2cos■cos■+cos140°=2cos60°cos（-40°）-cos40°＝cos（-40°）-cos40°＝0；

cos220°+cos2100°+cos2140°＝■+■+

■＝■［3+（cos40°+cos200°+cos280°）］．

又cos40°+cos200°+cos280°＝2cos■cos■+cos280°=2cos120°cos（-80°）+cos280°＝-cos（-80°）+cos（-80°）＝0， ∴ cos220°+cos2100°+cos2140°=■.

∴ sin410°+sin450°+sin470°=■［3-2×0+■］＝■.

例2的結論可以推廣成：sin4α+sin4α+■+sin4α+■＝■． 利用例2的求證方法，我們還可以證得sinα+sinα+■+sinα+■＝0， sin2α+sin2α+■+sin2α+■＝■． 有興趣的同學可以一試

三、 三角形中的三角函數(shù)問題

例3 （2011年“華約”自主招生考試第11題） A，B，C為△ABC的內角，且△ABC不是直角三角形．

1） 求證：tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；

（2） 若■tanC－１＝■，且sin2A，sin2B，sin2C的倒數(shù)成等差數(shù)列，求cos■的值．

解析：要解決例3，既要熟悉三角恒等變換的處理方法，又要充分利用三角形內角和為180°這一條件．

（1） ∵ A+B+C=π， ∴ tan（A+B）＝tan（π-C）=-tanC （①）． 又tan（A+B）=■，代入①式可得tanA＋tanB＋tanＣ＝tanA·tanB·tanＣ．

（2） 將（1）的結論代入■tanC－１＝■，得（■tanC－１）tanA＝tanA·tanB·tanＣ-tanA，解得tanＢ＝■. ∵ B∈（0，π）， ∴ B＝■．又■+■=■， 即■=■=■＝■，將A+C＝■代入，得：3cos（A-C）＝1+2cos（2A-2C）＝cos2（A-C）-1，解得cos（A-C）＝1或cos（A-C）＝

-■. ∵ A+C＝■π， ∴ ■∈-■，■，cos■∈■，1.由半角公式求得 cos■=1或cos■= ■．

例4 （2011年“北約”自主招生考試第4題） △ABC的三邊滿足a+b≥2c，求證：C≤60°．

解析：正余弦定理是解決三角形邊角關系問題的媒介. 運用正余弦定理時，一般有兩種方法：一是把邊的關系轉化為角的關系，使之成為三角函數(shù)問題；二是把角的關系轉化為邊的關系，使之成為代數(shù)問題．

解法一（化邊為角）：由a+b≥2c及正弦定理得：sinA+sinB≥2sinC，和差化積得2sin■·cos■=2cos■cos■≥2sinC=2·2sin■·cos■. ∵ C∈（0，π）， ∴ cos■>0，∴ cos■≥2sin■，而cos■≤1，∴ sin■≤■.由0＜■＜■可得C≤60°．

解法二（化角為邊）：由a+b≥2c及余弦定理，可得cosC=■≥■=■-■≥■-■＝■. ∵ C∈（0，π）， ∴ C≤60°．

KEY to Killing One Owl Species to Save Another:

They mean shooting the barred owls.

KEY to It’s Your Choice That Makes It:

（1） C

（2） Because he/she wants to make his/her argument more persuasive.

看到這里，相信同學們對自主招生考試中三角函數(shù)知識的考查方式大致有數(shù)了． 其實三角函數(shù)題的難度并不大，但它涉及了大量的公式，需要同學們熟練掌握、靈活轉化．正所謂“熟能生巧”，同學們在平時還需要適當?shù)木毩暎?/p>

【下期預告】

向量與復數(shù)的知識在自主招生考試中也有所涉及．在下期內容中，我們將介紹復數(shù)的三角形式等一些補充知識，并講講如何用向量和復數(shù)解決相關的數(shù)學問題．