提問(wèn)：我遇到一個(gè)分段函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題：已知函數(shù)f（x）＝ax，x<1；2x+1，x≥1.a為實(shí)數(shù)， f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

我的解法是：當(dāng)x≥1時(shí)， f（x）＝2x+1單調(diào)遞增；當(dāng)x<1時(shí)，令f（x）=ax單調(diào)遞增，解得a>0． 這種解法對(duì)嗎？

回答：這種解法顯然有問(wèn)題．由題意可知，f（x）在［1，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時(shí)，f（x）在（-∞，1）上也單調(diào)遞增．但這只能說(shuō)明f（x）在（-∞，1）和［1，+∞）上分別單調(diào)遞增，并不意味著f（x）在（-∞，+∞）上也單調(diào)遞增． 我們給實(shí)數(shù)a賦予兩個(gè)特殊值，再來(lái)理解這個(gè)問(wèn)題．

當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x，x<1；2x+1，x≥1.如圖1所示，左邊圖象的最高點(diǎn)（1，1）比右邊圖象的最低點(diǎn)（1，3）低，即在（-∞，+∞）上任取x1＜x2， f（x1）< f（x2）恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．

當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)f（x）=4x，x<1；2x+1，x≥1.如圖2所示，左邊圖象的最高點(diǎn)（1，4）比右邊圖象的最低點(diǎn)（1，3）高．如果在x=1的兩側(cè)取x1=0.9，x2=1.1，則f（x1）＝3.6， f（x2）＝3.2． x1＜x2，但f（x1）＞f（x2），因此f（x）在整個(gè)定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和［1，+∞），而不是（-∞，+∞）．

由此我們可以得出結(jié)論：要證明某一分段函數(shù)在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增，則該函數(shù)必須在每個(gè)分段區(qū)間上單調(diào)遞增，且每個(gè)分段區(qū)間上圖象的最低點(diǎn)應(yīng)高于左邊相鄰分段區(qū)間上圖象的最高點(diǎn)或與之重合，每個(gè)分段區(qū)間上圖象的最高點(diǎn)應(yīng)低于右邊相鄰分段區(qū)間上圖象的最低點(diǎn)或與之重合．

再回到上面這個(gè)問(wèn)題，要使f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞），需滿足a>0，f（1）＝3≥a.解得0

答疑人：奉化市第二中學(xué) 殷姬飛 釋疑郵箱：tzcdm@qq．com