【摘要】在投資證券市場的決策中，收益與風(fēng)險的權(quán)衡是投資決策的核心問題。本文借助excel強大的線性規(guī)劃及函數(shù)功能建立證券投資模型，進行有效集的繪制及最優(yōu)組合求解。包括風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)組合，以及收益或風(fēng)險固定的有條件下的最優(yōu)資產(chǎn)組合求解。并在最后對模型進行評價。

【關(guān)鍵詞】最優(yōu)資產(chǎn)組合規(guī)劃求解模型有效集

一、引言

1952年馬克維茨（Markowits）提出“資產(chǎn)組合選擇”的理論，第一次闡述了概念明確，可操作性強的選擇投資組合的理論。1964年威廉·夏普（Sharpe）則在其基礎(chǔ)上提出了資本資產(chǎn)定價模型(CAPM)，指出無風(fēng)險資產(chǎn)收益率與有效率風(fēng)險資產(chǎn)組合收益率之間的連線代表了各種風(fēng)險偏好的投資者組合。

而在實際操作中，利用excel的函數(shù)運算及規(guī)劃求解功能即可完成資產(chǎn)組合最優(yōu)解的求解，并在不同的收益、風(fēng)險限定條件下確定資產(chǎn)的最優(yōu)投資決策。

二、最優(yōu)資產(chǎn)組合求解

首先從市場上選取不同行業(yè)領(lǐng)域的股票共十只，截取這十只股票在2011年3月至2012年三月的日收盤價數(shù)據(jù)，利用excel平均值求值公式AVERAGE計算出其各自的日平均收益率。以上證綜指作為市場指標(biāo)并計算出市場日平均收益率。利用VAR公式求得各個資產(chǎn)的方差及與上證綜指的協(xié)方差，由公式β=■求得各只資產(chǎn)的β系數(shù)。β系數(shù)是衡量資產(chǎn)對市場風(fēng)險貢獻率的指標(biāo)，其值越大說明該資產(chǎn)的風(fēng)險水平越高。觀察各只β系數(shù)，選取β值水平不同的股票三只，記為股票1、2、3。如可選擇β<0.5的一只，0.5<β<1的一只，β>1的一只。

（一）求解可行區(qū)域

以0.05為單位跨度賦予三只股票權(quán)重ω1、ω2、ω3，由公式E(r)=■■■ω■r■求得在不同權(quán)重賦予下資產(chǎn)組合的收益率。利用公式σ■■=■■ω■ω■σ■求得不同權(quán)重組合的方差，具體步驟如下：

σ■■=(ω1ω2,…ωn)·σ■σ■…σ■σ■σ■…σ■……σ■σ■…σ■·ω■ω■…ω■

首先利用矩陣原理及excel的MMULT公式計算出前兩個矩陣的乘積矩陣，然后用公式SUMPRODUCT求得資產(chǎn)組合風(fēng)險的方差，即各個資產(chǎn)的加權(quán)平均值。繼而求得標(biāo)準(zhǔn)差。利用作圖功能，即可畫出資產(chǎn)組合的可行區(qū)域，如圖1所示：

圖1 三只股票的投資可行區(qū)域

（二）與無風(fēng)險資產(chǎn)的組合

當(dāng)在資產(chǎn)組合中加入無風(fēng)險資產(chǎn)時，向可行區(qū)域做切線來求得最優(yōu)組合，即在以無風(fēng)險利率為截距的切線上的點。如圖所示：線段AB為風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)的比例分配，風(fēng)險和收益呈線性關(guān)系，由投資者投資喜好來選擇。一般決策區(qū)域在線段AB間，如果投資者風(fēng)險承受能力較強也可選擇直線上B點以上的點，此時的含義為借入無風(fēng)險資產(chǎn)來進行股票的投資。

這條線即為資本市場線：rp=rf+■■σ■。直線以外的任意點都不能使風(fēng)險收益得到最優(yōu)配置。

圖2 與無風(fēng)險資產(chǎn)組合的資本市場線

三、限制條件下的規(guī)劃求解

當(dāng)投資者對風(fēng)險或收益有特定需求時，可利用excel的規(guī)劃求解功能進行投資比例分配。

此時這三個約束條件為：

1.σ■■=■■■■■■ω■ω■σ■

2.■■■ω■=1

3.E(r)=■■■ω■ri

當(dāng)收益水平E(r)為固定值時，最優(yōu)解為風(fēng)險水平σp的值最小時。

故其目標(biāo)函數(shù)為：minσ■■=■■■■■■ωiωjσij。

利用excel的規(guī)劃求解功能進行資產(chǎn)組合規(guī)劃。首先設(shè)置約束條件的格式，如圖3所示，假設(shè)固定收益要求為0.005時，先賦ω1、ω2、ω3值為0。約束條件一的單元格設(shè)置公式：E2=B2+B3+B4，約束條件二為組合收益率，即F2=ω1r1+ω2r2+ω3r3。

利用公式MMULT(α,β)求得矩陣[x,y,z]，α為權(quán)重ω1、ω2、ω3的區(qū)域，β為各資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣。目標(biāo)函數(shù)即為ω1+x+ω2y+ω3z，可利用公式SUMPRODUCT。最后利用平方根公式設(shè)置公式：H2=SQRT(G2)。

圖3 excel操作示意圖

接下來如圖4所示，設(shè)置單元格格式為目標(biāo)函數(shù)單元格，接著選擇最小值，可變單元格即為需要規(guī)劃求解的各個資產(chǎn)權(quán)重的單元格。

圖4 規(guī)劃求解操作示意圖

約束1：設(shè)置E2區(qū)域的值等于1，即各項資產(chǎn)的權(quán)重總和為1。約束條件2：設(shè)置F2等于資產(chǎn)組合收益率，即E(r)。點擊“求解”即完成了有確定的期望收益時使得投資風(fēng)險最小的規(guī)劃。

同理，在風(fēng)險值固定時，最優(yōu)解應(yīng)使得資產(chǎn)組合的預(yù)期收益值最大，目標(biāo)函數(shù)為：max E(r)=■■■ω■r■，求解過程同上。

四、評價

證券市場是瞬息萬變，在進行模型構(gòu)建時常常采用采用歷史數(shù)據(jù)來代替預(yù)期收益率，因此也會存在一些偏差，故在進行投資決策中還需結(jié)合多方面因素進行考慮。但基于excel的最優(yōu)資產(chǎn)組合求解模型具有很強的可操作性，對資產(chǎn)組合的優(yōu)化決策具有一定的實際意義。

參考文獻

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[3]瑪麗·杰克遜，邁克·斯湯頓.基于Excel和VBA高級金融建模[M].北京:中國人民大學(xué)出版社，2009.

作者簡介：殷海娜（1991-），漢族，河南濮陽人，就讀于北京交通大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，研究方向：金融學(xué)。