張寧 郭淑妹 郭杰

摘 要:矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)中的一個(gè)非常重要的內(nèi)容,本文主要針對(duì)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)線性代數(shù)教學(xué)中逆矩陣的定義引入方法進(jìn)行了探討,采用啟發(fā)式教學(xué),讓學(xué)生自主探索并發(fā)現(xiàn)逆矩陣的定義,有利于學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確掌握。

關(guān)鍵詞:矩陣逆矩陣倒數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào):O151 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1674-098X(2012)06(b)-0218-01

“線性代數(shù)”課程是高等院校工科學(xué)生數(shù)學(xué)教育中的一門(mén)重要的公共基礎(chǔ)課,其不僅向?qū)W生傳授了為學(xué)習(xí)大多數(shù)后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程所必要的知識(shí)基礎(chǔ),而且在大學(xué)生素質(zhì)教育中的重要性也日益顯示,因此各高等院校都把教好和學(xué)好線性代數(shù)課程作為一項(xiàng)重要教學(xué)工作。

繼高等數(shù)學(xué)之后,線性代數(shù)是與工程應(yīng)用的結(jié)合較密切工程數(shù)學(xué)中的一個(gè)內(nèi)容,隨著經(jīng)濟(jì)建設(shè)的發(fā)展和社會(huì)需求的增加,對(duì)線性代數(shù)知識(shí)的需求也日益增加,目前已成為一門(mén)獨(dú)立的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程,線性代數(shù)的知識(shí)已成為在現(xiàn)代科學(xué)的各學(xué)科研究發(fā)展中最活躍的和被廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)。線性空間、線性變換、矩陣?yán)碚摰葍?nèi)容已滲透到許多學(xué)科和領(lǐng)域。矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)主要研究對(duì)象,矩陣方法是處理許多問(wèn)題的重要工具,而逆矩陣又是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)非常重要的概念,學(xué)生必須要熟練掌握逆矩陣的定義和求逆方法。

線性代數(shù)這門(mén)課內(nèi)容抽象,邏輯性較強(qiáng),而且缺乏直觀性,學(xué)生容易感覺(jué)枯燥,缺乏學(xué)習(xí)積極性,因此要求教師針對(duì)不同內(nèi)容采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和手段,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)性。俗話說(shuō)萬(wàn)事開(kāi)頭難,講課也是一樣,一節(jié)別開(kāi)生面的課的引入能否吸引學(xué)生是學(xué)生學(xué)好這節(jié)課的關(guān)鍵。本文針對(duì)逆矩陣定義的兩種引入進(jìn)行了比較探討。

1 利用線性變換引入定義

首先給出一個(gè)線性變換

,

其中,,。

以的伴隨矩陣左乘上式,并利用,可得

,

當(dāng)時(shí),得到線性變換的逆變換,令,則,因此有:

,故;

,故,

所以,由此引入逆矩陣的概念。

逆矩陣定義:對(duì)于階矩陣,如果存在矩陣,使得,則說(shuō)是可逆的,并稱(chēng)矩陣是的逆矩陣。

這里需要說(shuō)明兩點(diǎn):

1)可逆矩陣必是方陣;

2)行列式不等于零是矩陣可逆的充分條件(可證明此條件也是必要的,是矩陣可逆的一個(gè)判定方法)。

這種引入方法是比較傳統(tǒng)的,具有精確的理論依據(jù)和嚴(yán)密的推理過(guò)程,并且在引入逆矩陣定義的同時(shí),還給出了求一個(gè)可逆矩陣逆矩陣的方法——伴隨矩陣法,但是這種引入方式比較抽象,缺乏直觀性,學(xué)生容易感覺(jué)枯燥,失去學(xué)習(xí)興趣,達(dá)不到好的教學(xué)效果。

2 利用倒數(shù)定義類(lèi)比引入定義

矩陣與復(fù)數(shù)相仿,有加、減、乘三種運(yùn)算。矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？這就是本節(jié)課要討論的問(wèn)題。

在數(shù)的運(yùn)算中,除以一個(gè)非零數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù),我們先給出倒數(shù)的定義。

倒數(shù)定義:對(duì)于一個(gè)非零數(shù),如果存在數(shù),使得,則稱(chēng)數(shù)是數(shù)的倒數(shù),記為。如果,。

教師提問(wèn):在矩陣中,與數(shù)具有倒數(shù)的性質(zhì)相仿的矩陣是否存在？類(lèi)似地,對(duì)于矩陣乘法,若,是否也有類(lèi)似的結(jié)果？如果有,成立的條件如何？

事實(shí)上,矩陣的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算類(lèi)似,在矩陣中也有類(lèi)似倒數(shù)的概念,接下來(lái)我們先類(lèi)比給出逆矩陣的定義:

類(lèi)比定義:對(duì)于滿足某條件(問(wèn)題1)的矩陣,如果存在矩陣,使得(問(wèn)題2),則稱(chēng)為的逆矩陣。

在類(lèi)比定義中存在兩個(gè)問(wèn)題需要解決,教師提問(wèn):

問(wèn)題1:在數(shù)中,當(dāng)數(shù)非零時(shí),存在倒數(shù),那么矩陣中,存在逆矩陣的矩陣要滿足什么樣的條件？

問(wèn)題2:在數(shù)中,互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)滿足,可交換相乘且乘積等于1,那么在矩陣中,等式中的矩陣？

我們先來(lái)回答問(wèn)題1,由滿足等式,矩陣可交換相乘,學(xué)生可以發(fā)現(xiàn),只有在、為同階方陣時(shí),等式才成立,可以交換相乘,因此只有當(dāng)矩陣A為方陣時(shí)才有逆矩陣,且其逆矩陣與是同階方陣,到此就解決了問(wèn)題1。

我們?cè)趤?lái)討論問(wèn)題2,由于在數(shù)中互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)乘積等于1——數(shù)中的單位元,類(lèi)比到矩陣中,學(xué)生能夠想到應(yīng)該等于單位矩陣——矩陣中的單位元,于是解決了問(wèn)題2。到此逆矩陣的定義就完整了:

逆矩陣定義:對(duì)于階矩陣,如果存在矩陣,使得,則說(shuō)是可逆的,并稱(chēng)矩陣是的逆矩陣,記為。

如果,且是可逆的,則有如下結(jié)論:

等式兩邊同時(shí)左乘,,即。(注意矩陣乘法一般不滿足交換律,)

這種引入方法利用學(xué)生熟知的倒數(shù)定義類(lèi)比得出逆矩陣定義,通過(guò)設(shè)“問(wèn)題鏈”引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)思考問(wèn)題,自己探索并發(fā)現(xiàn)逆矩陣的定義條件,由淺入深,由已知到未知,在探索過(guò)程中加深了對(duì)定義的理解記憶,有助于牢固掌握基礎(chǔ)概念,并且能使學(xué)生感受到探求未知的樂(lè)趣和成就感,增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。

3 結(jié)語(yǔ)

線性代數(shù)具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和廣泛的實(shí)用性,通過(guò)對(duì)它的學(xué)習(xí),可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)值計(jì)算能力和空間想象能力。因此要求教師對(duì)線性代數(shù)課程的教學(xué)方法進(jìn)行研究,擺脫以“滿堂灌”為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式的束縛,采用多樣的教學(xué)手段,加強(qiáng)教師主導(dǎo)學(xué)生積極參與的師生互動(dòng),使學(xué)生在生動(dòng)活潑的課堂氣氛中吸收并消化知識(shí),達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．線性代數(shù)(第四版)[M]．北京:高等教育出版社,2003．

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003．

[3] 陳維新．線性代數(shù)教學(xué)談[J].高等教育研究,2010,13(4):117～118．