楊昌海

摘要： 微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的合稱(chēng)，產(chǎn)生于17世紀(jì)后半期，基本完成于19世紀(jì)，它不僅是分析學(xué)的基礎(chǔ)部分，而且是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分，在各領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用.本文主要研究微積分在力學(xué)、經(jīng)濟(jì)、幾何方面的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 微積分泰勒公式應(yīng)用

1.（帶皮亞諾型余項(xiàng)的）泰勒公式其應(yīng)用

定理若f（x）在x=0點(diǎn)有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么

f（x）≈f（0）+f′（0）x+x+…+x+R（x）

R（x）=0（x）

這就是函數(shù)f（x）在x=0點(diǎn)附近關(guān)于x的冪函數(shù)展開(kāi)式，也叫泰勒公式，式中R（x）叫做皮亞余項(xiàng).

下面舉例說(shuō)明帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用.

例1.求

解：由于cosx=1-++0（x）

e=1+（-）+（-）+0［（-）］=1-++0（x）

從而cosx-e=-+0（x）

于是===-

2.在微分方程中的應(yīng)用

例2.設(shè)函數(shù)f（u）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f（esiny）滿(mǎn)足+=ez，求f（u）.

分析：設(shè)z=f（u），u=esiny，用一個(gè)中間變量代替兩個(gè)自變量.

解:設(shè)z=f（u），u=esiny，則=f′（u）=f′（u）esiny

=f″（u）esiny+f′（u）esiny，=f′（u）ecosy

=f″（u）ecosy-f′（u）esiny

+=f″（u）esiny+f″（u）ecosy=f″（u）e=ez

即得f″（u）-f（u）=0，這是關(guān)于未知函數(shù)f（u）的二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程.

特征方程：r-1=0，r=-1，r=1，通解為f（u）=ce+ce.

3.積分在幾何中的應(yīng)用

例3.求橢圓+=1所圍成圖形的面積.

解：因?yàn)闄E圓關(guān)于兩坐標(biāo)軸都對(duì)稱(chēng)，所以橢圓面積應(yīng)等于其第一象限面積的四倍.這樣，橢圓面積A=４ydx=4dx=4bdx

用換元法，令x=asint，則dx=acostdt.且x=0時(shí)t=0；x=a時(shí)t=，從而

A=4abcostdt=4abcostdt

=2ab（1+cos2t）dt=2ab=πab

4.在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用最大利潤(rùn)問(wèn)題

例4.某公司投資2000萬(wàn)元，建成一條生產(chǎn)線(xiàn)，投產(chǎn)后，其追加成本和追加收入（分別是成本函數(shù)和收入函數(shù)對(duì)時(shí)間t的變化率，類(lèi)似于邊際函數(shù)概念）分別為G（t）=5+2t（百萬(wàn)元/年）Φ（x）=17-t（百萬(wàn)元/年）.試確定該生產(chǎn)線(xiàn)使用多長(zhǎng)時(shí)間停產(chǎn)可使公司獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

解：容易看出，追加成本G（t）是單調(diào)增函數(shù)而追加收入Φ（x）是單調(diào)減函數(shù)，這說(shuō)明生產(chǎn)費(fèi)用在逐年增加，而生產(chǎn)收入在逐年減少，二者之差即為生產(chǎn)利潤(rùn)隨時(shí)間的變化率：

G（t）-Φ（x）=17-t-5+2t=12-3t

與邊際成本和邊際收入的關(guān)系相同，這里生產(chǎn)利潤(rùn)的最大值在的必要條件也是G（t）=Φ（x）.

解之得t=8，由于生產(chǎn)利潤(rùn)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)=［Φ（x）-G（t）］′=-2t＜0，因此上述t=8是生產(chǎn)利潤(rùn)的最大值點(diǎn).這樣，生產(chǎn)利潤(rùn)的最大值（單位：百萬(wàn)元）為

［Φ（x）-G（t）］dt-20=12-3tdt-12

=38.4-20=18.4百萬(wàn)元

即生產(chǎn)線(xiàn)應(yīng)用在使用8年后停產(chǎn)，此時(shí)公司總利潤(rùn)為1840萬(wàn)元.