石丹

摘要： 本文引入一些例子說(shuō)明數(shù)形結(jié)合在不同問(wèn)題中的滲透。一方面將抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)形的形象、直觀(guān)揭示出來(lái)，達(dá)到“形幫數(shù)”的目的。另一方面運(yùn)用數(shù)的規(guī)律、數(shù)值的計(jì)算，尋找處理形的方法，達(dá)到“數(shù)促形”的目的。

關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)形結(jié)合由數(shù)想形見(jiàn)形思數(shù)

數(shù)與形是現(xiàn)實(shí)世界中客觀(guān)事物的抽象和反映，是數(shù)學(xué)的基石。“數(shù)”屬于數(shù)學(xué)抽象思維范疇，是人的左腦思維的產(chǎn)物；“形”屬于形象思維范疇，是人的右腦思維的產(chǎn)物，數(shù)形結(jié)合使人充分運(yùn)用左、右腦的思維功能，相互依存、彼此激發(fā)，全面、協(xié)調(diào)、深入發(fā)展人的思維能力。

在小學(xué)階段，小學(xué)生的思維正處于從以具體形象思維為主逐步向以抽象邏輯思維為主的過(guò)渡階段。學(xué)生理解和掌握概念、性質(zhì)、求積公式，形成空間觀(guān)念，都是從大量具體的、形象的感性材料開(kāi)始的。利用數(shù)形結(jié)合的思想，可以幫助學(xué)生建立空間觀(guān)念，幫助學(xué)生理解題意，尋找解題方法。數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)方法，是充分利用“形”把一定的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來(lái)，即通過(guò)作線(xiàn)段圖、樹(shù)形圖、長(zhǎng)方形面積圖、集合圖等圖形幫助學(xué)生正確理解數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題簡(jiǎn)明直觀(guān)，同時(shí)也是人們存在大腦中的兩種基本思維形式。在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，邏輯思維是核心，形象思維是先導(dǎo)，但具體的數(shù)學(xué)思維過(guò)程往往是兩者交叉運(yùn)用、濃縮升華的過(guò)程。這就要求我們重視數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生的邏輯思維和形象思維水平得到提高。

所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由數(shù)想形、見(jiàn)形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問(wèn)題的一種思想方法。數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系，不僅使幾何學(xué)獲得了有力的代數(shù)化工具，還使許多代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的課題具有鮮明的直觀(guān)性，進(jìn)一步開(kāi)拓出新的研究方向。數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)：1.通過(guò)數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)理想化抽象的方法，轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖形的結(jié)構(gòu)直觀(guān)地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，解決數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題；2.把關(guān)于幾何圖形的問(wèn)題，用數(shù)量或方程等表示，從它們的結(jié)構(gòu)研究幾何圖形的性質(zhì)與特征。

由此可見(jiàn)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中把抽象的數(shù)學(xué)數(shù)字和形象的教具學(xué)具等相結(jié)合，滲透數(shù)形結(jié)合方法的重要性。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要意義，正如法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange，1736—1813）在《數(shù)學(xué)概要》一書(shū)中所說(shuō)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門(mén)科學(xué)結(jié)成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！北疚膬H從數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)本質(zhì)屬性闡述如下。

一、由數(shù)想形

所謂由數(shù)想形即利用數(shù)的計(jì)算來(lái)揭示幾何形體的特征及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規(guī)律研究解決問(wèn)題，可以化抽象為直觀(guān)，易于顯露出問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)于不同的問(wèn)題，可將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不同的圖形。其中有一個(gè)原則：能把數(shù)量關(guān)系最清晰、最直接地顯示出來(lái)的圖形，是我們最佳的選擇。

例1：講數(shù)字3時(shí)，用3根小棒擺成三角形；講數(shù)字4時(shí)，用4根小棒擺成正方形。這樣處理，既有利于學(xué)生通過(guò)直觀(guān)實(shí)物抽象出數(shù)字3和4，又有利于學(xué)生初步認(rèn)識(shí)這些圖形的某一特征（如三角形有三條邊，正方形有四條邊）。通過(guò)數(shù)形結(jié)合探索規(guī)律可以培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，發(fā)展思維的創(chuàng)造性。出題目時(shí)要注意多層次，以便于區(qū)分學(xué)生的不同思維水平。

例2：（1）照下圖的樣子用小棒連著擺正方形。

□□擺2個(gè)用（）根

□□□擺3個(gè)用（）根

□□□□擺4個(gè)用（）根

（2）連著擺6個(gè)正方形，要用（）根小棒，寫(xiě)出算式。

（3）如果不數(shù)小棒，你能找出一般的計(jì)算公式嗎？

此題有3個(gè)層次，第1小題是通過(guò)直觀(guān)進(jìn)行計(jì)算，第2小題離開(kāi)直觀(guān)進(jìn)行計(jì)算，第3小題脫離具體計(jì)算概括公式。實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生的答案呈現(xiàn)不同的思維水平。例如，有的學(xué)生第2小題就做錯(cuò)了，有的學(xué)生第2題雖然做對(duì)，但不會(huì)在此基礎(chǔ)上概括出一般計(jì)算公式。

例3：一位教師出了這樣一個(gè)題目：“某車(chē)間用一塊長(zhǎng)90分米、寬60分米的鐵皮剪成半徑是10分米的圓形鐵片，該怎樣下料才能使鐵皮的利用率最高？”

結(jié)果多數(shù)學(xué)生列成下式：90×60÷（3.14×102）≈17個(gè)；部分學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖（左下圖）得到答案是12個(gè)；還有一部分學(xué)生通過(guò)操作（如右下圖）得到答案是13個(gè)。通過(guò)討論，學(xué)生認(rèn)識(shí)到最后一種方法利用率高，而第一種計(jì)算方法是脫離了實(shí)際。通過(guò)這樣的問(wèn)題，學(xué)生初步體會(huì)到在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)絕不能生搬硬套所學(xué)的計(jì)算知識(shí)，還要注意對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行具體分析。

二、見(jiàn)形思數(shù)

所謂見(jiàn)形思數(shù)即利用數(shù)的計(jì)算來(lái)揭示幾何形體的特征及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。某些有關(guān)幾何圖形性質(zhì)的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，借助代數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算或向量運(yùn)算，?？苫y為易，獲得簡(jiǎn)單易行的解題方案。

例如，等底等高的各種三角形，經(jīng)過(guò)計(jì)算之后，發(fā)現(xiàn)它們的面積總是相等的，這就揭示了這些三角形之間的聯(lián)系；再如長(zhǎng)方形的特征是對(duì)邊相等，四個(gè)角是直角，也是學(xué)生通過(guò)量一量，算一算等活動(dòng)揭示出來(lái)的；又如，平行四邊形的面積公式是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出來(lái)的。教學(xué)時(shí)可分三步走，首先教學(xué)生用數(shù)方格的方法學(xué)習(xí)求平行四邊形的面積。接著引導(dǎo)學(xué)生操作，運(yùn)用割補(bǔ)、平移的方法，把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個(gè)與它面積相等的長(zhǎng)方形。然后通過(guò)觀(guān)察思考分析推理，讓學(xué)生找出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與原平行四邊形的底和高的關(guān)系，從而推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式。通過(guò)平移轉(zhuǎn)化的方法把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，以舊引新，使學(xué)生既學(xué)會(huì)了新知識(shí)又復(fù)習(xí)了舊知識(shí)。

小學(xué)生從形象思維向抽象思維發(fā)展，一般來(lái)說(shuō)需要借助于直觀(guān)。

例4：中年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“求比一個(gè)數(shù)的幾倍還多幾（少幾）”的應(yīng)用題時(shí)，對(duì)“幾倍多幾”或“幾倍少幾”較難理解，為突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，設(shè)計(jì)了下面的圖形：

結(jié)合圖形，讓學(xué)生說(shuō)：有6個(gè)□，△的個(gè)數(shù)比□的3倍還多4個(gè)；也可以說(shuō)：有6個(gè)□，△的個(gè)數(shù)比□的4倍少2個(gè)。

接著，出示下面的問(wèn)題：

（1）□有6個(gè)，△比□的3倍多4個(gè)，△有多少個(gè)？算式：6×3+4=22個(gè)

（2）□有6個(gè)，△比□的4倍少2個(gè)，△有多少個(gè)？算式：6×4-2=22個(gè)

比較兩題的算法，都要分兩步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上倍相差的數(shù)。教學(xué)時(shí)不妨把這兩個(gè)相關(guān)的內(nèi)容結(jié)合起來(lái)一起教，并借助圖形的幫助，學(xué)生更容易理解，思維也更靈活。如自編應(yīng)用題時(shí)，有的學(xué)生編了：“皮球的個(gè)數(shù)比足球的4倍少3個(gè)，也就是比足球的3倍多2個(gè)，皮球有多少個(gè)？”這題編得富有創(chuàng)造性，如果沒(méi)有圖形的幫助，這樣的教學(xué)效果就無(wú)法達(dá)到。

有些教師在教學(xué)過(guò)程中教給學(xué)生區(qū)分題目類(lèi)型，運(yùn)用解題公式，結(jié)果給學(xué)生增加了學(xué)習(xí)難度，出現(xiàn)死記硬套的現(xiàn)象。教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)不宜直接教給抽象類(lèi)型、公式，而應(yīng)結(jié)合操作、直觀(guān)，使學(xué)生掌握分析和解答題目的方法。解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)尋找解題思路發(fā)生困難時(shí)，不妨從數(shù)形結(jié)合的觀(guān)點(diǎn)去探索；當(dāng)解題過(guò)程的復(fù)雜運(yùn)算使人望而生畏時(shí)，不妨從數(shù)形結(jié)合的觀(guān)點(diǎn)去開(kāi)拓新路；當(dāng)需要檢驗(yàn)結(jié)論正確時(shí)，不妨從數(shù)形結(jié)合的觀(guān)點(diǎn)去驗(yàn)證，往往會(huì)產(chǎn)生滿(mǎn)意的效果。

數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而現(xiàn)實(shí)世界本身是同時(shí)兼?zhèn)鋽?shù)與形兩種屬性的，既不存在有數(shù)無(wú)形的客觀(guān)對(duì)象，又不存在有形無(wú)數(shù)的客觀(guān)對(duì)象。因此，在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。人們總是充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題。

“數(shù)與形本是兩相依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微，切勿忘，數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形隔離萬(wàn)事休?！边@首詩(shī)便是對(duì)數(shù)形結(jié)合之妙處的最佳寫(xiě)照。所以教師要在教學(xué)中及時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助各種直觀(guān)教具幫助孩子形成初步數(shù)概念；要為孩子提供操作、游戲用的材料和玩具；讓孩子通過(guò)感官，饒有興趣地在操作中獲得豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，從而形成初步抽象的數(shù)概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無(wú)形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利地、高效率地學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，智力的開(kāi)發(fā)，能力的增強(qiáng)，使教學(xué)收到事半功倍的效果。

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