邵繼先

摘要：有理數(shù)的運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)最基本的運(yùn)算，掌握并熟練運(yùn)算是提高數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。通過對(duì)負(fù)數(shù)的意義、符號(hào)運(yùn)算、運(yùn)算順序、運(yùn)算技巧、學(xué)生固有思維定勢(shì)幾方面分析，找出有理數(shù)運(yùn)算易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，以提高學(xué)生的鑒別能力、糾錯(cuò)能力，從而熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：有理數(shù)；運(yùn)算錯(cuò)誤；運(yùn)算法則

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2012）12-0075-02

有理數(shù)運(yùn)算是初中生首先接觸到的數(shù)的運(yùn)算，它是在學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)的概念、絕對(duì)值的概念及性質(zhì)后才出現(xiàn)的，從數(shù)的分類來看，小學(xué)學(xué)的數(shù)的運(yùn)算法則就是它的一類，即非負(fù)數(shù)的運(yùn)算，從數(shù)的發(fā)展看，負(fù)數(shù)的加盟大大提高了數(shù)學(xué)運(yùn)算解決實(shí)際問題的能力，擴(kuò)充了數(shù)的運(yùn)算范疇，使數(shù)有了一次質(zhì)的飛躍，有理數(shù)的誕生使人類又掌握了一條戰(zhàn)勝自然的真理。從有理數(shù)的運(yùn)算法則來看，有理數(shù)的運(yùn)算是非負(fù)數(shù)運(yùn)算的一次繼承和發(fā)展。這主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是絕對(duì)值的運(yùn)算，即非負(fù)數(shù)的運(yùn)算，這是繼承；二是符號(hào)運(yùn)算，這是運(yùn)算法則的發(fā)展。這兩方面就是有理數(shù)運(yùn)算法則的實(shí)質(zhì)。從表面上看，有理數(shù)的運(yùn)算似乎比較簡單，學(xué)生也容易掌握，但事實(shí)上，不少同學(xué)在有理數(shù)的運(yùn)算中總會(huì)出現(xiàn)或這或那的錯(cuò)誤。為了使學(xué)生能盡快熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則和方法，減少或克服運(yùn)算錯(cuò)誤，筆者這幾年特別留意搜集并分析學(xué)生在有理數(shù)運(yùn)算中出現(xiàn)各類錯(cuò)誤的原因，并且在多個(gè)班舉行了多次有關(guān)的研究性德學(xué)習(xí)，從筆者搜集的準(zhǔn)則和研究性學(xué)習(xí)中學(xué)生自我歸類看，有理數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的主要原因有以下幾點(diǎn)：

一、數(shù)的概念認(rèn)識(shí)模糊，對(duì)運(yùn)算結(jié)果想當(dāng)然

筆者曾多次用同一個(gè)問題“負(fù)1減1等于幾”向不同學(xué)生提問，有近85﹪的學(xué)生答案是“0”。當(dāng)我給予否定的微笑時(shí)，他們才重新檢查運(yùn)算過程，有的還用筆寫出運(yùn)算，這才恍然大悟，答“-2”。從這一例來分析說明，學(xué)生對(duì)數(shù)的概念認(rèn)識(shí)模糊，不是把（-1）-1看成了（-1）-（-1），就是省去了第一個(gè)負(fù)號(hào)看成了1-1，要克服此類錯(cuò)誤，可從負(fù)數(shù)的意義上對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，從克服學(xué)生麻痹心理上加以正確指導(dǎo)，運(yùn)算過程要規(guī)范，不能想當(dāng)然。方法之一：-1即是虧1，減1就是再虧1，總數(shù)應(yīng)虧2。方法之二：加強(qiáng)法則認(rèn)識(shí)，（-1）-1=（-1）+（-1）。方法三：加強(qiáng)數(shù)的比較認(rèn)識(shí)，∵-1﹤1∴（-1）-1﹤0，這樣也容易發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果的不正確，以便檢查運(yùn)算出正確結(jié)果。教師在課間也應(yīng)多舉例，比如袋面數(shù)字5㎏±0.01的實(shí)際意義，用于強(qiáng)化數(shù)的概念的認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行一些諸如“某人從家出發(fā)向西行2㎞，再向東行3㎞，問這人離家多遠(yuǎn)？在家的東面還是西面”等訓(xùn)練，既提高了學(xué)習(xí)興趣，又鍛煉了他們的有理數(shù)運(yùn)算能力。

二、單純比較“-”號(hào)個(gè)數(shù)，忽視法則中符號(hào)運(yùn)算法則

某生作業(yè)中的一題運(yùn)算過程：-（-2）2-（-2）=+4+2=6，這一病例中學(xué)生符號(hào)運(yùn)算成了單純比較負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)，記住了“負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)”這一法則，但應(yīng)用時(shí)不注意具體數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，斷章取義，導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤。作為冪的運(yùn)算符號(hào)法則“負(fù)數(shù)的偶次冪為正”，這里的底數(shù)是負(fù)數(shù)，要注意-32與（-3）2的區(qū)別，-32的底數(shù)是3，（-3）2的底數(shù)是-3，它們恰好是一對(duì)相反數(shù)，忽視相反數(shù)的意義，單純看“-”號(hào)個(gè)數(shù)就容易出現(xiàn)“-a”是負(fù)數(shù)，（-a）2是負(fù)數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。要克服此類錯(cuò)誤，可以從通過強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算順序，規(guī)范數(shù)學(xué)運(yùn)算過程，熟識(shí)數(shù)的各種形式，強(qiáng)調(diào)數(shù)的意義入手。從克服學(xué)生對(duì)乘高次方，負(fù)底數(shù)的乘方運(yùn)算的畏懼心理入手，平時(shí)多編一些有針對(duì)性的錯(cuò)例供學(xué)生去鑒別，去判斷，去分析，找原因，對(duì)照檢查自我，克服自身的痹病，同時(shí)給學(xué)生一個(gè)接受符號(hào)運(yùn)算的過程，不要一口吃成一個(gè)胖子，更不要抓住學(xué)生的錯(cuò)誤當(dāng)靶子不放，一見就批，一見就打，要偱循善誘找原因，共提高。強(qiáng)化符號(hào)運(yùn)算方面的訓(xùn)練，編一些如-[-（-1）]，-[-（-1）2]3，（-a）3×（-b）2等數(shù)字或字母簡單一些的題目，專門運(yùn)算符號(hào)，學(xué)生做多了自然就知道，有理數(shù)的運(yùn)算中符號(hào)運(yùn)算在先，使學(xué)生早日步入正確的運(yùn)算軌道。

三、小學(xué)固有運(yùn)算方法對(duì)有理數(shù)運(yùn)算的影響

這一方面產(chǎn)生的錯(cuò)誤大約在錯(cuò)解題中占32﹪，固定思維模式對(duì)新事物的認(rèn)識(shí)，很容易帶來負(fù)面影響，要克服這一點(diǎn)，就要用辯證的繼承和發(fā)展的觀點(diǎn)看問題。應(yīng)該讓學(xué)生知道有理數(shù)是非負(fù)數(shù)的繼承，同時(shí)又是數(shù)的更深更廣德發(fā)展。新教材的編排上就特別注意這一點(diǎn)，作為教師，就更應(yīng)該把新教材的要求貫徹到整個(gè)教學(xué)中去，在繼承的同時(shí)打破數(shù)的認(rèn)識(shí)模式，也就是要特別強(qiáng)調(diào)有理數(shù)的運(yùn)算法則，首先是符號(hào)，再次是絕對(duì)值的運(yùn)算，也只有這樣才能克服小學(xué)固有的運(yùn)算方法對(duì)有理數(shù)的影響，打破數(shù)只能是大減小，克服a是正數(shù)等等之類的認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤。學(xué)生們經(jīng)過六年小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，非負(fù)數(shù)的運(yùn)算模式根深蒂固，一道數(shù)學(xué)計(jì)算出現(xiàn)在眼前，他們最想做而且去做的事，就是數(shù)的運(yùn)算（非負(fù)數(shù)運(yùn)算、絕對(duì)值運(yùn)算），往往只顧數(shù)字運(yùn)算，丟失符號(hào)運(yùn)算。筆者曾給學(xué)生們做“24點(diǎn)”游戲，學(xué)生們基本會(huì)做，但做“-24點(diǎn)”游戲時(shí)，不但運(yùn)算速度慢，且經(jīng)常給不出答案，為此我們教師應(yīng)該給他們多創(chuàng)造一些類似的機(jī)會(huì)，讓他們學(xué)會(huì)打破定勢(shì)，善于接收新觀念，新規(guī)則。

四、數(shù)的變式意識(shí)薄弱，數(shù)的技巧薄弱帶來的錯(cuò)誤

有理數(shù)的運(yùn)算不但是直觀的運(yùn)算，與其他事物一樣，還可通過變式來簡化運(yùn)算過程，體現(xiàn)自身的運(yùn)算技巧。筆者曾給學(xué)生一題“1-2+3-4+5-6+7-8=？搖？搖？”，學(xué)生們基本按運(yùn)算方式“正數(shù)做一組，負(fù)數(shù)做一組”來進(jìn)行運(yùn)算，繁雜了運(yùn)算過程，雖然花時(shí)間做出了正確答案，但效率太低。筆者試著提醒他們，1-2=？搖？搖，3-4=？搖？搖，…，這時(shí)他們才醒悟過來，可見運(yùn)算一變式，一組合，給我們帶來很大的好處，省時(shí)省力，準(zhǔn)確率高，不易出錯(cuò)兒。比如，學(xué)生計(jì)算2■×23=（2+■）×23=46+17=63，這反應(yīng)了學(xué)生對(duì)非負(fù)數(shù)運(yùn)算技巧把握較好。計(jì)算-2■=（-2+■）×23=46+17=-29就出錯(cuò)兒，這種錯(cuò)誤就是負(fù)帶分?jǐn)?shù)的意識(shí)薄弱，再比如：-6■×27=-（6+■）×27=-（162+26）=-188，這題雖然運(yùn)算正確，但反映了學(xué)生數(shù)的技巧意識(shí)不強(qiáng)，正確的技巧運(yùn)算是-6■×27=（-7+■）27=-189+1=-188，要克服這類失誤，就應(yīng)從學(xué)生技巧意識(shí)抓起，要從多方挖掘?qū)W生技巧意識(shí)潛力，比如舉行“技巧運(yùn)算比賽”、“比一比看誰算得快”等活動(dòng)，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，又能在活動(dòng)中挖掘技巧意識(shí)潛力。