王亞娟

【摘要】本文主要研究了玓琩上伯努利滲流開簇和網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)行為，得到了大數(shù)定理和大偏差定理等極限理論.由于不能直接在滲流開簇上定義馬爾科夫過程，故本文在無序的滲流網(wǎng)絡(luò)中定義了馬爾科夫過程.并在此基礎(chǔ)上研究了滲流網(wǎng)絡(luò)中的馬爾科夫鏈大偏差理論，并給出了大偏差定理的速率函數(shù)的顯示表達(dá).

【關(guān)鍵詞】滲流網(wǎng)絡(luò);馬爾科夫過程;極限定理オ

一、邊滲流與點(diǎn)滲流

1.什么是滲流

滲流是許多實(shí)際問題的抽象，比如，水在有孔介質(zhì)中的逾滲、火勢(shì)的蔓延等都可以用滲流模型來描述，他們關(guān)心的是在給定空間上一些隨機(jī)分布對(duì)象的連通性問題，考慮二維正方形網(wǎng)格上的滲流問題，我們可以以某個(gè)概率p隨機(jī)地占據(jù)網(wǎng)格上的點(diǎn)或邊，當(dāng)兩個(gè)被占據(jù)的點(diǎn)或邊相接觸時(shí)，我們就稱其為連通的，互相連通在一起的所有點(diǎn)或邊的集合稱為連通集合.很顯然地，當(dāng)概率p較小時(shí)，網(wǎng)格上只會(huì)有一些孤立的小的集合，而當(dāng)p較大時(shí)(極限情況下p=1)，則會(huì)形成連通網(wǎng)格邊界的無限大集合，研究發(fā)現(xiàn)，無限大集合的出現(xiàn)是一個(gè)典型的連續(xù)相變問題，對(duì)無限大的網(wǎng)格，存在著一個(gè)臨界滲流概率p璫.當(dāng)pp璫，則會(huì)存在一個(gè)無限大集合，網(wǎng)格是可以滲流的.

2.滲流的數(shù)學(xué)模型

我們用數(shù)學(xué)語言來闡述究竟什么是滲流，考慮圖G=(V,E)，V為頂點(diǎn)集，E為其所有邊所構(gòu)成的集合，設(shè)所有邊獨(dú)立地以概率p開通，1-p閉合，則所有開邊構(gòu)成G的一個(gè)隨機(jī)子圖.上面的問題歸結(jié)為在這個(gè)隨機(jī)子圖中是否存在一條由開邊構(gòu)成的連接中央點(diǎn)和邊緣的連通分支，圖G的一條路是指G的一個(gè)頂點(diǎn)序列:v1，v2，…，使得對(duì)所有的i≥1，v璱和v﹊+1在G中相鄰.一條路稱為是開路，如果構(gòu)成它的所有邊{v璱，v﹊+1獇都是開的.用開路相連的點(diǎn)組成的連通集合稱為開簇.假設(shè)A，B糣，則A蹷表示存在開路連接A中某個(gè)頂點(diǎn)和B中的某個(gè)頂點(diǎn).通常如果記號(hào)不會(huì)產(chǎn)生混淆，以u(píng)躹代表事件{u}躿v}.包含頂點(diǎn)v的開簇C(v)是所有可以被開路與v連接的頂點(diǎn)全體.即

C(v)={u∈v:u躹}.

假設(shè)G是無限圖，以O(shè)代替中央點(diǎn)，以P璸表示相應(yīng)的概率測(cè)度，滲流理論的一個(gè)中心問題就是考慮滲流概率

θ（p）=P璸{0堋迃=P璸{|C（0）|=∞}.

這就是獺ammersley［1］等人最早研究的邊滲流模型，與邊滲流相對(duì)應(yīng)的是點(diǎn)滲流，即所有的邊是確定開通的，但點(diǎn)卻獨(dú)立地開或閉分別以相應(yīng)的概率p或1-p.一個(gè)開路此時(shí)指其上的所有點(diǎn)都是開的.

二、滲流網(wǎng)絡(luò)上的馬爾科夫鏈

1.引 言

不論是Haggstrom研究的Dac模型還是隨機(jī)著色模型［2］，其共同點(diǎn)都是將隨機(jī)過程定義在滲流開簇上，且同一開簇上個(gè)體的行為是一致的.眾所周知，馬爾科夫過程是隨機(jī)過程理論中具有良好性質(zhì)的隨機(jī)模型，可以用來刻畫很多現(xiàn)實(shí)模型，但是，如何在滲流開簇上來定義馬爾科夫過程呢?到目前為止，我們對(duì)滲流開簇的幾何形狀還知之甚少，滲流開簇的分布也是雜亂無章的，定義馬爾科夫過程，必然要有時(shí)間或空間的次序. 本文，我們擯棄以往直接在滲流開簇上定義過程的方法，而是按照距離原點(diǎn)的遠(yuǎn)近來重新劃分滲流網(wǎng)絡(luò)中的頂點(diǎn)，將格點(diǎn)B璶分劃為Γ0,Γ1,…,Γ璶相應(yīng)于序列Γ璶,n≥0，我們定義一個(gè)齊次馬爾科夫鏈，使得在同一Γ璳上的個(gè)體的行為是一致的.因而從某種程度上來說，這樣所構(gòu)造的模型比獶ac模型更一般化.

2.主要結(jié)果

設(shè){X璶,n≥0}是取值于狀態(tài)空間S={1，2，…，m}的遍歷鏈，P=(p﹊j)﹎×m是其不可約轉(zhuǎn)移矩陣，π=(π（1）,π（2）,…，π（m）)是馬爾科夫鏈{X璶,n≥0}的平穩(wěn)分布.設(shè)玃﹊0和E﹊0分別是概率分布和數(shù)學(xué)期望，這里P﹊0被定義為

P﹊0（A）=А篇﹊∈AP﹊0i,P（玐0=i0）=1.

定理1 設(shè)μ=А篇琺﹌=1Иπ(k)f(k)和a>μ，則在條件概率測(cè)度玃0意義下，對(duì)幾乎所有的ω∈Ω0，┆玪im猲→∞1[]n玪ogP﹊0(S璶≥b璶a)=-I(a).

這里，I(a)=玸up珄(ac(p)δ-А要10И玪ogρ(δc(p)玠玿┆玠-1玠玿}(δ>0)，

且ρ(x)表示矩陣P(x)=(p﹊j猠﹛f(j))﹎×m的玃erron睩robenius特征值，x∈R是實(shí)數(shù).

定理2 設(shè)S璶=А篇琻﹌=0Е錨璳f(X璳),則在條件概率測(cè)度P0意義下，對(duì)幾乎所有的│亍濕Ω0，當(dāng)n→∞時(shí)，我們有

S璶-ES璶[]Var(S璶)→N(0,1).

這里N(0,1)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

由定理1可知，速率函數(shù)I(a)是與滲流密度參數(shù)ρ有關(guān)的，且定理1的結(jié)論可以推廣到更一般的形式，不必拘泥于滲流環(huán)境下，如果存在參數(shù)γ>0和a≥1以及兩個(gè)正實(shí)數(shù)序列{b璶,n≥1}和{γn,n≥1}，使得當(dāng)n→∞時(shí)，有

b璶~n琣,γ璶~n゛-1

成立，則對(duì)于1[]b璶А苙[]k=1Е錨璳f(X璳)

的大偏差，我們同理有它的速率函數(shù)

I(a)=玸up珄(yγδ-А要10И玪ogρ(δ)γx゛-1玠玿}(δ>0).

三、結(jié)束語

對(duì)于滲流網(wǎng)絡(luò)上的馬爾科夫鏈，我們研究了其大偏差定理，豐富了大偏差理論.一般來說，經(jīng)典的大偏差理論關(guān)心的是獨(dú)立隨機(jī)變量序列和其前n項(xiàng)的算術(shù)平均，而我們則研究了形如b璶/S璶規(guī)范和的大偏差定理，這是對(duì)經(jīng)典大偏差理論的充實(shí).此外，我們還給出了一類非齊次馬爾科夫鏈的大偏差理論和其速率函數(shù)的顯示表達(dá).オ

【參考文獻(xiàn)】オ

［1］Broadbent,S.R.and Hammersley,J.M.Percolation processes［M］.Cambridge Philos.Soc.53 629-645,1957.

［2］Haggstrom,O.Coloring percolation clusters at random ［J］.Stochastic Processes Appl.96 213-242,2001.