于妍秋

【摘要】教師應(yīng)該站在數(shù)學(xué)系統(tǒng)知識(shí)的基礎(chǔ)上，高廣角、高站位地指導(dǎo)教學(xué).

【關(guān)鍵詞】一題多解;普遍聯(lián)系;系統(tǒng)源頭オ

數(shù)學(xué)教學(xué)中，若想最大限度地發(fā)揮教學(xué)效能，前提條件是必須要有教師的深入思考，教師應(yīng)該站在數(shù)學(xué)系統(tǒng)知識(shí)的基礎(chǔ)上，高廣角、高站位地指導(dǎo)教學(xué).本文從一道題目的多種解法入手，深入思考其數(shù)學(xué)本質(zhì)，追蹤其系統(tǒng)源頭，希望能帶給讀者以教學(xué)啟示.

一、一道題目多種解法的探究

圖 1題目 如圖1，在玆t△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)，分別過點(diǎn)B，C作直線AP的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E.求證：AD－BD=2CE.

分析 我們可以直接從結(jié)論入手分析，將三條線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩條線段的關(guān)系，稱之為“直接法”，也可以將結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏透脑欤Q之為“改造結(jié)論法”，下面從這兩個(gè)方向?qū)Υ祟}的解法進(jìn)行探究.

解法一 直接法（截長(zhǎng)法）

圖 2ト繽2，在AD上截取AM=BD，連接CM,CD，易證△ACM≌△CDB，可證明△CMD為等腰直角三角形，MD=2CE，從而證明AD－BD=2CE.

解法二 直接法（截長(zhǎng)法）

圖 3如圖3，在DA上截取DM=BD，連接CD,BM，易證△ABM∽△CBD，AM=2CD=2CE，從而證明AD－〣D=2CE.

解法三 直接法（補(bǔ)短法）

圖 4如圖4，延長(zhǎng)DB至M，使得BM=2CE，連接CD，AM，可證明△ACD∽△ABM，∠AMＤ=∠ADC=45°，AD=DB+BM=DB+2CE，從而證明AD－BD=2CE.

解法四 直接法（補(bǔ)短法）

圖 5如圖5，延長(zhǎng)BD至M，使得DM=2CE，連接MD、CM.作CH⊥MD，得MH=HD=CE，易證△ACD≌△BCM，AD=BM，從而證明AD－BD=2CE.

解法五 改造結(jié)論法（要證明AD－BD=2CE，只需證明AD－〤E=狟D+CE）.

圖 6如圖6，作CM∥AD，交BD延長(zhǎng)線于M.易證△ACE≌△BCM，CM=DE=CE=DM，AE=BM，AE=AD－〥E=狝D－CE，BM=BD+DM=BD+CE，AD－CE=BD+CE，從而證明〢D－狟D=2CE.

二、深入思考其數(shù)學(xué)本質(zhì)

以上給出了此題目的五種解法，深入思考其數(shù)學(xué)本質(zhì)會(huì)發(fā)現(xiàn)，相對(duì)顯性的數(shù)學(xué)本質(zhì)是五種解法都是利用了截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方法建構(gòu)三條線段之間的關(guān)系，相對(duì)隱性的數(shù)學(xué)本質(zhì)是在一些方法中，都因?yàn)轭}設(shè)中具有AC=BC的條件，使得此題目可以通過旋轉(zhuǎn)的方式加以呈現(xiàn)和解決.

△ACM≌△CBD

△ABC為等腰三角形△ACE≌△CBM

△ABC為等腰三角形△AKM≌△CMJ

△AMC為等腰三角形オオ

如解法一中，△CDB可以看作由△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到；解法五中，△CBM可以看作由△CAE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到；解法七中，△CMJ可以看作由△AMK繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等.如果教師在教學(xué)中能夠發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的普遍聯(lián)系性，就會(huì)培養(yǎng)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)知識(shí)建構(gòu)的基本方法和策略，這對(duì)于學(xué)生而言是終身受益的，它的教學(xué)效能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過一道題目本身的價(jià)值.

三、追蹤其系統(tǒng)源頭

這道題目的源頭是阿基米德折弦定理，回顧一下定理內(nèi)容及其證明方法.

已知：如圖7，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，AC=BC，CE⊥AD于點(diǎn)E.求證：AE=BD+DE.

圖 7 圖 8 圖 9オオ

證明 如圖8，延長(zhǎng)BD，過點(diǎn)C作CM⊥BD于點(diǎn)M，連接CD，易證△ACE≌△BＣＭ，△CDE≌△ＣDＭ，從而證明〢E=狟M=BD+DM=BD+DE.

阿基米德折弦定理是我們前面探究題目的一般情況，如果將弦AB變成直徑，如圖9所示，可以迅速得到結(jié)論〢E=狟D+DE，此時(shí)讓我們證明前面探究題目的結(jié)論是不是易如反掌呢？

對(duì)問題進(jìn)行發(fā)散思維，深入研究，追根溯源，是一名數(shù)學(xué)教師提升專業(yè)素養(yǎng)的必由之路.此種思想只有在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行有意識(shí)的鍛煉，才能內(nèi)化為專業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)的一部分，才能自如運(yùn)用于今后的教學(xué)之中.