夏光輝

（91550部隊，遼寧 大連116023）

0 引 言

GPS／APS定位系統(tǒng)的實質(zhì)，就是將放置于水底的水聲測量應(yīng)答器陣列，轉(zhuǎn)移到了浮于水面的浮標(biāo)上，即通過GPS測量獲得浮標(biāo)的精確點位坐標(biāo)，再通過浮標(biāo)上APS水聲定位單元實現(xiàn)對水下目標(biāo)的定位［1］。GPS／APS系統(tǒng)的測量不同于陸基固定測量站的測量，由于測站浮于海面上，除了受通常陸基測站的影響因素外，還受海面波浪的影響，使得測站隨海面搖擺起伏，導(dǎo)致測量信號中混合了某些隨機擾動信號［2］，使測量信號中包含的信息不是被測目標(biāo)位置特性的真實表達，必須在數(shù)據(jù)處理中予以剔除。如何將其區(qū)分開來對于實際應(yīng)用具有重要意義。由于三次樣條在函數(shù)逼近和動態(tài)數(shù)據(jù)處理中的特殊地位，引入三次樣條函數(shù)為主線的樣條分頻方法。

1 樣條分頻方法

大量的實測數(shù)據(jù)的分析表明：無論是GPS位置計算還是APS測距計算都存在類似海浪隨機擾動問題，由此導(dǎo)致定位結(jié)果的周期性的波動。針對這種情況，討論一種模型［3］

式中：y（t）為測量數(shù)據(jù)；P（t）為真實信號；B（t）為海浪起伏、動態(tài)滯后、相位漂移等次低頻誤差；ε（t）為隨機誤差。

式（1）在測量數(shù)據(jù)分析等實際應(yīng)用中廣泛存在。特別需要指出的是，在實際問題中B（t）往往表示各種趨勢信號中的波動信號，作為系統(tǒng)誤差，需要從y（t）中扣除；作為波動信號，則需要從y（t）中分離出來進行分析?？傊?，為了解決實際測量中的問題，需要從y（t）中將P（t），B（t），ε（t）各自分離。

通過建立自由節(jié)點樣條函數(shù)的非線性模型來解決這一問題。在樣條階數(shù)給定的條件下，從y（t）中分離P（t），B（t），ε（t）的問題可轉(zhuǎn)化為求樣條節(jié)點數(shù)以及節(jié)點序列的優(yōu)化問題。對該優(yōu)化問題，設(shè)計了求解樣條節(jié)點的算法，根據(jù)該算法給出航跡表示的樣條節(jié)點序列。

考慮區(qū)間 ［a，b］，稱

為［a，b］上的具有N個內(nèi)節(jié)點的n次多項式樣條函數(shù)。其中T1，T2，…，TN為n次多項式樣條函數(shù)的N個內(nèi)節(jié)點，記ΓN＝ ｛TN＝ （T1，T2，…，TN）：a＜T1＜T2＜ … ＜TN＜b｝為節(jié)點數(shù)等于N的內(nèi)節(jié)點序列的全體。考慮區(qū)間［a，b］，測量信號具有n次多項式樣條特征是指存在N個樣條內(nèi)節(jié)點TN∈ΓN，使得

式中｛ε（t）｝為零均值平穩(wěn)隨機過程。

從理論上講，只要樣條節(jié)點數(shù)N足夠大，總可以使得式（2）成立，但在實際問題中，N不能無限大，一般都有一個上界值，隨著節(jié)點數(shù)的增加，雖然信號的表示精度可望提高，但由此帶來的問題是由于參數(shù)的增多，而導(dǎo)致信號估計的精度降低［4］。

設(shè)y（t）具有n次樣條多項式特征，并在m個時刻有采樣數(shù)據(jù) ｛y（ti），i＝1，2，…，m｝，a＜t1＜t2…＜tm＝b.由此可獲得一個離散數(shù)據(jù)模型

式中，ε（ti）～ （0，σ2）為測量隨機誤差，假設(shè)為白噪聲。

實際問題中，P（t）與B（t）之間，B（t）與ε（t）之間通常都存在一個頻帶間隔（大量的計算實例均表明了這一點）。因此，若定義殘差

則 ｛G （N）｝是一個遞減序列，隨著N的增大，｛G （N）｝是一個逼近過程，且逼近趨勢有下面四個階段：

表1 仿真數(shù)據(jù)的G（N）值／m

為了實現(xiàn)上述逐步逼近過程，需要建立一個可以實現(xiàn)的算法?？紤]式（3），令

式（3）可以寫成向量形式

式（8）的參數(shù)估計可歸為如下非線性優(yōu)化問題：即求參數(shù)α，TN，使得

其中

式（9）是在n＋N＋1維的空間中進行的。式（8）中參數(shù)α是線性的，因此，可以把優(yōu)化問題（9）的維數(shù)降到參數(shù)TN的維數(shù)N.

則P（TN）為冪等陣，P（TN）即是X（TN）的列向量所生成空間的投影陣。令H（TN）＝I－P（TN），則

考慮下面的非線性優(yōu)化問題。求＾TN使得殘差平方和

式（11）中只涉及到節(jié)點參數(shù)TN，是一個N維空間的優(yōu)化問題。

為定量地給出分頻界線，對下述樣條函數(shù)尋優(yōu)準(zhǔn)則BIC量進行分析：

通過對BIC量分析，可定量地給出P（t）與B（t）、P（t）＋B（t）與ε（t）的分頻界線：BIC（N）隨N的增加將在N1到N2之間，N3到N4之間分別出現(xiàn)兩個極小值點，記為N＊，和N＊＊.N＊為P（t）與B（t）的分頻界點，N＊＊為P（t）＋B（t）與ε（t）的分頻界點。可從測量數(shù)據(jù)y（t）中把真實信號P（t）與海浪長周期起伏分量引起的誤差信號B（t）以及海浪短周期起伏分量引起的誤差信號ε（t）進行分離。

2 分頻算法的設(shè)計

根據(jù)上節(jié)的樣條分頻理論，設(shè)計的分頻算法的構(gòu)造流程如圖1所示。實際的初始節(jié)點TN（0）由等距樣條節(jié)點提供，L為最大樣條節(jié)點數(shù)，λ為收斂因子，δ為控制因子。

圖1 分頻算法流程

3 分頻算法的應(yīng)用

3.1 海浪對GPS／APS測量的影響

通常海面波浪的高度在0.5～20m范圍內(nèi)，常見浪高為1～4m，波浪周期約1～25s（0.04～1 Hz）。由于物理現(xiàn)象的復(fù)雜性，目前尚不能完全從理論上確定海浪頻譜的解析形式。海浪的運動不可避免影響到GPS／APS的測量。圖2出了某次實驗中水下定位數(shù)據(jù)Y方向的樣條擬合殘差圖。

圖2 實測數(shù)據(jù)擬合殘差圖（Y方向）

從圖中可以看到，測量數(shù)據(jù)在三個坐標(biāo)方向都存在明顯的周期性擾動，根據(jù)實驗的背景，確定這種周期振蕩并非目標(biāo)運動特性所致，因此，可以斷定是來自環(huán)境因素的影響，即海浪起伏引起的隨機擾動［5］。

3.2 實際應(yīng)用

由圖2中可以看到存在著明顯的周期性波動，利用給出的樣條分頻方法對該實測數(shù)據(jù)進行分頻處理，得到的頻譜分析結(jié)果如圖3所示。

圖3 測量數(shù)據(jù)的頻率－能量譜

從圖3可以看到，在0.04～0.05Hz左右波動干擾的能量最大，通過3.1節(jié)的分析，可以排除這種現(xiàn)象屬于目標(biāo)位置特性的可能。從頻率上來看，與海浪的頻率范圍十分相符，結(jié)合實驗的水文測量數(shù)據(jù)，可以推斷是屬于海浪波動引起的［6］。

根據(jù)式（3），對該定位數(shù)據(jù)利用上述分頻算法進行分頻處理，從數(shù)據(jù)的處理結(jié)果看，一致性較好。這里只給出了其中的一段數(shù)據(jù)處理結(jié)果，圖4示出了分離出的海浪引起的長周期誤差信號；圖5示出了分離出的海浪引起的短周期誤差。由此可見，采用樣條分頻對測量數(shù)據(jù)進行處理后，能有效地剔除了長周期性漂移誤差，同時也能清楚地分離短周期隨機誤差，效果相當(dāng)明顯。

圖4 測量數(shù)據(jù)中分離出的漂移誤差圖

圖5 測量數(shù)據(jù)分頻處理后的殘差圖（N＝15）

4 結(jié) 論

針對GPS／APS水聲定位系統(tǒng)測量中由于海浪的起伏引起定位信息的隨機擾動進行了分析，提出了采用樣條函數(shù)信號分頻理論對APS測元數(shù)據(jù)的混合誤差建立分頻模型的方法，并結(jié)合實測數(shù)據(jù)進行了仿真分析驗證，仿真結(jié)果表明：經(jīng)過分頻處理后，能大大降低海浪波動給測量結(jié)果帶來的殘差，可以解決測站起伏對定位精度的影響。實際應(yīng)用表明：采用樣條分頻處理方法可以有效提高定位數(shù)據(jù)精度。

［1］ 蔡艷輝.差分GPS水下定位系統(tǒng)集成關(guān)鍵技術(shù)研究［D］.沈陽：遼寧工程技術(shù)大學(xué)，2007：15－18.

［2］ 李小民，李建增，宋 軍，等.水下GPS應(yīng)用方法研究［J］.測控技術(shù)，2004，23（6）：57－59.

［3］ 易大義，沈勻?qū)?，李有?計算方法［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2002：28－35.

［4］ 王正明，易東云.測量數(shù)據(jù)建模與參數(shù)估計［M］.長沙：國防科技大學(xué)出版社，1996：53－66.

［5］ 許景波，邊信黔，付明玉.隨機海浪的數(shù)值仿真與頻譜分析［J］.北京：計算機工程與應(yīng)用，2010，46（36）：226－229.

［6］ 赫 亮.波浪譜密度函數(shù)數(shù)值分析［D］.大連：大連理工大學(xué)，2005：31－36.