張寧，史小藝，張娣

（中國礦業(yè)大學a.理學院；b.管理學院，江蘇徐州 221116）

共振條件下分數(shù)階微分方程多點邊值問題解的存在性

張寧a，史小藝a，張娣b

（中國礦業(yè)大學a.理學院；b.管理學院，江蘇徐州 221116）

分數(shù)階導數(shù)是整數(shù)階導數(shù)的推廣，主要利用Mawhin的連續(xù)性定理及迭合度理論，討論了共振條件下分數(shù)階微分方程多點邊值問題解的存在性，得到了解存在的充分條件，推廣了已有的結果．

分數(shù)階；微分方程；多點邊值問題；迭合度

1 引言

近年來，分數(shù)階導數(shù)及分數(shù)階微分方程在科學、工程和數(shù)學等領域得到了重要應用，在分數(shù)階微分方程邊值問題的理論研究上也獲得了不少成果，如文獻[1-12].值得注意的是，共振條件下分數(shù)階微分方程多點邊值問題作為分數(shù)階非局部邊值問題的一種特殊情況，近年來得到研究者們的重視，越來越多的人運用Mawhin的連續(xù)性定理來研究多點邊值問題，如文獻[3]研究的共振條件下分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題

本文受此文獻啟發(fā)，研究共振條件下分數(shù)階微分方程多點邊值問題

是標準Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)和積分，f:[0,1]×R3→R滿足Caratheodory條件．

為了證明BVP（1.1）有解及計算的方便，我們假設下面的條件成立：

2 預備知識

首先介紹一些關于迭合度的基本理論：

設Y,Z是實Banach空間，L:domL?Y→Z是一個指標為零的Fredholm算子，P:Y→Y,Q:Z→Z是連續(xù)投影算子且滿足ImP=KerL,KerQ=ImL，Y=KerL⊕KerP,Z=ImL⊕ImQ.則映射L|domL?KerP:domL?KerP→Im L是可逆的，記這個映射的逆映射為KP，令N:Y→Z是一個映射，Ω是Y的一個有界開集且滿足domL?Ω≠Φ，如果有界是緊的，則稱N是L-緊的，設J:ImQ→KerL是一個線性同構．

定義2.1[1]函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數(shù)階積分為

定義2.2[1]連續(xù)函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)為

其中x∈C[0,1],ci∈R,i=1,2,…,N-1，其范數(shù)為

易證得Cμ[0,1]是Banach空間．

引理2.2[2]f?Cμ[0,1]是連續(xù)緊當且僅當f是一致有界且等度連續(xù)．

這里一致有界是存在M＞0，使得對任意u∈f有

定理2.1[5]（Mawhin連續(xù)性定理）設Ω?Y是一個有界開集，L是一個指標為零的Fredholm算子，N是L-緊的，如果下面條件成立：

3 主要結果

定義L是從dom L?Y到Z的線性算子，

則邊值問題（1.1）就轉化為Lu=Nu．

引理3.1假設（C1）（C2）成立，則映射L:dom L?Y→Z是一個指標為零的Fredholm算子，投影算子Q:Z→Z定義為

其中

由邊值條件知c3=0，c1,c2是任意常數(shù)，y滿足

因此

易知dim Im Q=2．

又有

依次可求得

因此

所以Q是一個連續(xù)線性投影算子．

如果y∈Im L，可推得Qy=0，反過來，如果Qy=0成立，則有

所以一定有T1y=T2y=0，即y∈Im L，得到KerQ=Im L．

對任意y∈Z，有y=(y-Qy)+Qy，使得y-Qy∈KerQ=Im L，Qy∈Im Q成立，因此，Z=Im L+Im Q．令y∈Im L?Im Q，假設y=atα-1+btα-2在[0,1]上不同時為0，因為y∈Im L，即y=atα-1+btα-2滿足（3.1），易求得a=b=0，矛盾，所以，Im L?Im Q={0}．故Z=Im L⊕Im Q且IndL=dim KerL-co dim Im L=0，所以L:domL?Y→Z是一個指標為零的Fredholm算子．

作投影算子P:Y→Y為

結合引理2.2，我們可得到下面的引理．

引理3.2 KP(I-Q)N:Y→Y是全連續(xù)算子．

根據(jù)（3.5）式，有

通過以上的討論易知滿足定理2.1的（1）、（2），下證定理2.1的（3）也是滿足的．

令H(u,λ)=±λJu+(1-λ)QNu，由上述證明可知對于u∈?Ω?KerL，H(u,λ)≠0，又由同倫不變性可得：deg(QN|KerL,KerL?Ω,0)=deg(H(?,0),KerL?Ω,0)=deg(H(?,1),KerL?Ω,0)=deg(±J,KerL?Ω,0)≠0.由定理2.1可知，Lu=Nu在dom L上至少有一個解，即邊值問題（1.1）在Y上至少有一個解．

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Existence of Solutions for Fractional Multi-point Boundary Value Problems at Resonance

ZHANG Ninga,SHIXiao-yia,ZHANG Dib
(a.College of sciences;b.College of Management,China University of Mining&Technology,Xuzhou 221116,China）

Fractional order derivative is a derivative of the promotion of integer.This paper discusses the exis?tence of solutions for fractionalmulti-point boundary value problems at resonance by using Mawhin’s continu?ous theorem and coincidence degree theory and the sufficient conditions for the boundary value problems is ob?tained,generalizing known results.

fractional;differential equation;multi-point boundary value

O175.8

A

1008-2794（2012）08-0001-07

2012-04-15

國家自然科學基金項目“微分方程邊值問題”（10771212）

張寧（1985—），女，山西晉城人，中國礦業(yè)大學理學院研究生，研究方向：微分方程邊值問題.