摘要：提出了在濾波器設(shè)計(jì)過程中的一種數(shù)學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。理論分析表明，該設(shè)計(jì)方法能夠通過設(shè)定目標(biāo)函數(shù)和約束條件的方式迅速而準(zhǔn)確地逼近目標(biāo)，接近理想響應(yīng)。基于該分析，分別用插入損耗法和數(shù)學(xué)優(yōu)化法設(shè)計(jì)了一個(gè)等波紋電感耦合帶通濾波器。仿真結(jié)果表明：使用數(shù)學(xué)優(yōu)化法不僅可以快速而準(zhǔn)確地進(jìn)行設(shè)計(jì)，而且能大幅提升濾波器性能。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)優(yōu)化法； 插入損耗法； 帶通濾波器； 波紋電感

中圖分類號：TN713+.534文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號：1004373X(2012)04002502

Research on bandpass filter based on mathematical optimization method

ZHAO Kaiyu， WU Qinghua， LI Ling

（Department of Qixin， Zhejiang SciTech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： A design method based on mathematical optimization in the process of filter designing is proposed. The theoretical analysis shows that this method can approximate the target accurately and get close to the ideal response by setting a goal function and constraints. Based on this， the insertion loss method and mathematical optimization method were adopted to design an equiripple inductivelycoupled filter respectively. The simulation result shows that it can not only shorten the design time， but also improve the filter performance to a great extent.

Keywords： mathematical optimization method; insertion loss method; bandpass filter; rippleinductance

收稿日期：20110919

基金項(xiàng)目：浙江省自然科學(xué)基金(Y1110297);浙江理工大學(xué)科研啟動(dòng)基金(1004811Y)微波濾波器是無線通信收發(fā)電路的重要組成部分，在收發(fā)前端承擔(dān)信號選擇的功能，在各種無線系統(tǒng)中得到非常廣泛的應(yīng)用，對它設(shè)計(jì)方法的研究也一直是微波學(xué)界研究的焦點(diǎn)問題之一。通常，濾波器可采用傳統(tǒng)的電路綜合法，包括鏡像參量法、網(wǎng)絡(luò)綜合法、插入損耗法等進(jìn)行設(shè)計(jì)。近年來，隨著無線通信技術(shù)的日益發(fā)展和微波濾波器面積的不斷縮減，單純利用傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很難滿足結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜的現(xiàn)代新型濾波器的設(shè)計(jì)要求。因此，提出新的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)成為技術(shù)發(fā)展和應(yīng)用的關(guān)鍵問題之一。

基于以上背景，本文提出了一種數(shù)學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)。相比傳統(tǒng)的電路綜合法，這種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可對多個(gè)頻率點(diǎn)設(shè)立目標(biāo)函數(shù)，在一段頻率區(qū)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對多個(gè)目標(biāo)的逼近，從而有效地把握濾波器的整體響應(yīng)，達(dá)到精確設(shè)計(jì)并提高性能的目的。本文用該方法設(shè)計(jì)了一種等波紋電感耦合的帶通濾波器，驗(yàn)證其在控制帶寬及改善整體性能方面的優(yōu)越性。

1數(shù)學(xué)優(yōu)化法設(shè)計(jì)原理

數(shù)學(xué)優(yōu)化法是一種求極值的方法，即在一組約束條件下，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值，常用的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法有梯度法、牛頓法、退火算法和遺傳算法等 。

在濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，先求得優(yōu)化頻率點(diǎn)，然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)K，并把其在優(yōu)化頻率點(diǎn)處的最小值作為目標(biāo)，利用優(yōu)化算法求得最優(yōu)解。

1.1求解優(yōu)化頻率點(diǎn)

等波紋帶通濾波器是以切比雪夫多項(xiàng)式為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，由于帶通濾波器的頻率響應(yīng)是低通原型的頻率響應(yīng)經(jīng)變換得到的，所以首先來考慮低通濾波器。

廣義切比雪夫低通原型的濾波函數(shù)PLR是一關(guān)于頻率ω的有理函數(shù)，PLR由它的零、極點(diǎn)及一個(gè)常數(shù)所決定。若用切比雪夫多項(xiàng)式設(shè)定N階低通原型的插入損耗響應(yīng)，則可以得到濾波函數(shù)PLR為［1］：PLR=1+k2T2Nωωc（1）式中：k為常數(shù)；ωc為低通濾波器原型中的頻率點(diǎn)，設(shè)定為1 GHz， TNωωc是關(guān)于ω的N階切比雪夫多項(xiàng)式。

若負(fù)載和源均匹配，且假定網(wǎng)絡(luò)無耗，則傳輸函數(shù)S21可以表示成：S221= 1/PLR= 11 + k2T2Nωωc（2）根據(jù)無耗網(wǎng)絡(luò)的么正性S221+ S211=1，有：S211= k2T2Nωωc1 + k2T2Nωωc （3）由式（2），（3）可得，S11和S21的零點(diǎn)分別為ωzi，ωpi（i由N決定）。

設(shè)最終要實(shí)現(xiàn)的是中心頻率為ω0的帶通濾波器，現(xiàn)根據(jù)式（4）將低通響應(yīng)轉(zhuǎn)換為帶通響應(yīng)。ωi′ = 1Δ ωiω0-ω0ωi （4）式中：Δ，ω0分別為帶通濾波器的相對帶寬和中心頻率；ωi′為低通響應(yīng)的頻率點(diǎn)；ωi為低通響應(yīng)轉(zhuǎn)換為帶通響應(yīng)后ωi′的對應(yīng)頻率點(diǎn)。

由式（4）有：ωi= Δ ω0ωi′±(Δ ω0ωi′)2 + 4ω202 （5）得到對應(yīng)帶通濾波器中S11和S21的零點(diǎn)ωzi，ωpi，即所要求解的優(yōu)化頻率點(diǎn)。

1.2目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造

考慮到實(shí)際中介質(zhì)損耗、原件損耗、尺寸誤差諸多方面的問題，在1.1中所提及的理想條件下的函數(shù)關(guān)系式（1），（2），（3）實(shí)際是不可實(shí)現(xiàn)的，由于PLR的零點(diǎn)就是反射函數(shù) S11的零點(diǎn)，而它的極點(diǎn)為傳輸函數(shù)S21的零點(diǎn)，因此可以選擇S11和S21的零點(diǎn)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，至于常數(shù)k可以從ω=±1處的反射系數(shù)|S11(ω=±1)|=k/1+k2計(jì)算得出，據(jù)此做出如下目標(biāo)函數(shù)［2］：K=∑ni=1S11(ωzi)2+∑mi=1S21(ωpi)2+

|S11(ω=－1)|－k1+k22+

|S21(ω=1)|－k1+k22（6）本文提出使用梯度優(yōu)化算法來對目標(biāo)函數(shù)逼近［3］。首先求得目標(biāo)函數(shù)K的梯度。為了使優(yōu)化過程更為有效，采用目標(biāo)函數(shù)的梯度來搜索其極值點(diǎn)。這種基于梯度的優(yōu)化方法收斂極快，而且不會(huì)出現(xiàn)優(yōu)化過程無法收斂或者收斂于局部極值點(diǎn)的情況，從而能夠快速而準(zhǔn)確地逼近目標(biāo)函數(shù)。

2濾波器的仿真及對比

為驗(yàn)證這種方法的有效性，用插入損耗法設(shè)計(jì)一個(gè)中心頻率為2 GHz，等波紋帶寬為30%的三階0.5 dB等波紋電感耦合帶通濾波器。

等波紋電感耦合帶通濾波器的傳輸線模型如圖1所示，其中全部傳輸線的特征阻抗均為Z0，一般選取為50 Ω，θi為第i段傳輸線的電長度，jXi為對應(yīng)的第i個(gè)電感的阻抗，模型兩端的兩段傳輸線為引出線。

圖1N階等波紋電感耦合濾波器的傳輸線模型該傳輸線模型實(shí)際上可等效為的阻抗倒相器與半波長諧振器串聯(lián)的結(jié)構(gòu)，據(jù)此可以計(jì)算得出各傳輸線的電長度及各電感值［46］。使用插入損耗法得到的三階0.5 dB等波紋電感耦合帶通濾波器的微帶實(shí)現(xiàn)版圖如圖2所示。

圖2三階等波紋電感耦合帶通濾波器版圖各微帶線的尺寸為:

l0= 40.07 mm，l1= 39.73 mm，l0′ = 10.62 mm，l1′ = 6.26 mm，w=1.34 mm。

在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)為min K。

根據(jù)優(yōu)化計(jì)算的結(jié)果，得出濾波器中各傳輸線尺寸如下（對應(yīng)圖2中各參數(shù)）：l0= 38.69 mm，l1= 42.48 mm，l0′ = 9.41 mm，l1′ =5.09 mm，w=1.34 mm。傳輸函數(shù)S11，S12的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3中心頻率為2 GHz、帶寬為30%的三階0.5 dB

等波紋電感耦合帶通濾波器頻率響應(yīng)由圖3（a）分析知，采用插入損耗法的仿真結(jié)果中通帶的帶寬在26%左右，而在此基礎(chǔ)上采用了數(shù)學(xué)優(yōu)化方法后，通帶帶寬增加，達(dá)到了設(shè)定的30%。另外，圖3（b）顯示，優(yōu)化后的結(jié)果改善了原有的等波紋特性，更接近理想響應(yīng)，濾波器性能得到提升［79］。

3結(jié)語

本文針對濾波器的設(shè)計(jì)提出了一種數(shù)學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)