摘 要：倒立擺系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于對(duì)各種控制理論和控制策略的正確性和有效性的檢驗(yàn)。針對(duì)固高公司直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)，提出一種嵌入式組合控制直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)。在線仿真實(shí)驗(yàn)表明，該系統(tǒng)達(dá)到了自動(dòng)、安全的效果。分析系統(tǒng)響應(yīng)曲線可知，嵌入式組合的控制算法正確、有效。



關(guān)鍵詞：倒立擺； 嵌入式組合式控制器； 在線仿真； 組合控制算法

中圖分類號(hào)：TN876-34

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-373X(2012)01-0143-03

An embedded combination of linear inverted pendulum control system



PEI Yue-lin， LI Bin， WANG Qiang

(College of Automation， Chongqing University， Chongqing 400030， China)



Abstract：

Inverted pendulum system is widely used in the correctness and validity testing of control theory and control strategy. Based on line level inverted pendulum control system made in Googol Company， an embedded combination of line level inverted pendulum control system is presented. Online simulation results show that the system can achieve automatic and safe results. The system response curve indicates that the embedded combination of control algorithm is correct and effective.



Keywords： inverted pendulum; embedded combination controller; online simulation; combination of control algorithm





收稿日期：2011-09-17

0 引 言

小車倒立擺控制能有效反映控制中的許多關(guān)鍵問(wèn)題，如鎮(zhèn)定問(wèn)題、非線性問(wèn)題、魯棒性問(wèn)題[1]、隨動(dòng)問(wèn)題及跟蹤問(wèn)題，因此成為學(xué)習(xí)自動(dòng)控制理論，研究自動(dòng)控制算法較為合適的實(shí)驗(yàn)對(duì)象之一。同時(shí)，它還具有工程應(yīng)用背景，為理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化提供了橋梁[2]。因此，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究在理論上和方法論上均具有深遠(yuǎn)意義[3-4]。

本文針對(duì)本科自動(dòng)控制原理課程設(shè)計(jì)中倒立擺擺桿偏角控制器的在線仿真存在:手扶擺桿起擺不安全，單變量擺桿角度控制器無(wú)法同時(shí)控制小車的位置，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)不便等問(wèn)題，提出并設(shè)計(jì)了基于固高公司起擺控制、最優(yōu)小車位置控制、嵌入學(xué)生擺桿偏角控制的組合式控制系統(tǒng)。在線仿真實(shí)驗(yàn)表明，組合式控制系統(tǒng)對(duì)直線一級(jí)倒立擺的控制有效，能滿足本科自動(dòng)控制原理課程設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)的安全、自動(dòng)、直觀、迅捷、可靠的要求。

1 系統(tǒng)建模

小車直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制目標(biāo)[5]是擺桿偏角最大不超過(guò)±5°，小車在軌道中間位置左右偏移不超過(guò)±10 cm，以達(dá)到一種動(dòng)態(tài)的平衡。

小車直線一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)[6]如圖1所示。對(duì)小車和擺桿做受力分析，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可得小車直線一級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)模型如式(1)所示。

(M+m)+b+mlcos θ－ml2sin θ=F

(I+ml2)+mglsin θ=－mlcos θ

(1)

式中：M為小車質(zhì)量；m為擺桿質(zhì)量；b為小車摩擦系數(shù);l為擺桿長(zhǎng)；I為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ為擺桿偏角；x為小車位移；F為小車受力。

圖1 小車直線一級(jí)倒立擺

由于θ=π+φ，且φ≤1(換算成弧度比較)，u代表被控對(duì)象的輸入力F，則對(duì)式(1)進(jìn)行線性化處理，可得式(2)，如下：

(M+m)+b－ml=u

(I+ml2)－mglφ=ml

(2)

對(duì)質(zhì)量均勻擺桿， 取X=［xφ］，u′=，由線性系統(tǒng)理論[7]得系統(tǒng)的狀態(tài)空間如式(3)所示:

2 嵌入式組合控制器的設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)能控性分析[8]

被控系統(tǒng)狀態(tài)完全可控性矩陣Uc=［B AB A2B A3B］，通過(guò)計(jì)算可得rank(Uc)=4，即矩陣Uc的秩等于系統(tǒng)狀態(tài)變量維數(shù)；被控系統(tǒng)輸出完全可控性矩陣Uo=［CB CAB CA2B CA3B D］，求得rank(Uo)，即矩陣Uo的秩等于系統(tǒng)輸出向量維數(shù)。所以系統(tǒng)可控，可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

本文所使用的控制器是由自動(dòng)起擺控制器Swing-up Controller、線性二次調(diào)節(jié)器LQR Controller和學(xué)生設(shè)計(jì)的控制器Controller1組成的嵌入式組合控制器。在Simulink中搭建直線一級(jí)倒立擺嵌入式組合控制系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 嵌入式組合控制系統(tǒng)框圖

自動(dòng)起擺控制器Swing-up Controller能夠控制直線一級(jí)倒立擺由靜止下垂的穩(wěn)定平衡狀態(tài)自動(dòng)轉(zhuǎn)化到豎直向上的不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，而無(wú)需給擺桿施加力的作用，就可以實(shí)現(xiàn)擺桿的自動(dòng)擺起。

2.2 LQR控制器原理[9]

針對(duì)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程=Ax(t)+Bu(t)和輸出方程y(t)=Cx(t)+Du(t)，LQR方法通過(guò)確定最佳控制量u(t)=－Kx(t)中的矩陣K，使得控制性能指標(biāo)J=∫∞0［xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)］dt取極小值。其中，x是狀態(tài)向量;u是控制向量;R為正定厄米特或?qū)崒?duì)稱矩陣;Q為正定或半正定厄米特或?qū)崒?duì)稱矩陣。參數(shù)R和Q分別用來(lái)平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。

2.3 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

系統(tǒng)主要由被控對(duì)象、起擺控制器、LQR控制器、學(xué)生控制器、位置給定器、角度給定器、運(yùn)算器和擾動(dòng)信號(hào)發(fā)生器等構(gòu)成。整個(gè)系統(tǒng)是在固高公司提供的直線單級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)邏輯切換單元(LOG)，把學(xué)生控制器嵌入系統(tǒng)中，形成嵌入式組合控制的倒立擺控制系統(tǒng)。

2.4 系統(tǒng)的功能

(1) 能夠?qū)崿F(xiàn)擺桿的自動(dòng)擺起。

(2) 當(dāng)擺桿偏角進(jìn)入±20°范圍時(shí)，自動(dòng)切換到LQR控制器，以實(shí)現(xiàn)擺角的控制和穩(wěn)擺；

(3) 當(dāng)擺桿偏角進(jìn)入±5°范圍時(shí)，自動(dòng)切換到學(xué)生控制器穩(wěn)擺。

在穩(wěn)擺過(guò)程中，始終由LQR控制器控制小車在適宜位置運(yùn)動(dòng)。加入干擾信號(hào)后，可以同時(shí)在線觀測(cè)到小車位置、擺桿角度被控過(guò)程和干擾信號(hào)的波形。整個(gè)運(yùn)行過(guò)程無(wú)需人工干預(yù)，實(shí)現(xiàn)了安全、自動(dòng)、迅捷、可靠的設(shè)計(jì)目標(biāo)。多路顯示器Scop可實(shí)時(shí)顯示小車位置、擺桿角度、干擾信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化情況。

2.5 LOG模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu)

LOG模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3中左端端子分別為：端子1為擺桿偏角進(jìn)入±20°范圍時(shí)的加速度輸入端;端子2為倒立擺擺桿的角度輸入端;端子3為擺桿偏角進(jìn)入±5°范圍時(shí)的加速度輸入端，端子4為干擾信號(hào)的輸入端。中間的Abs和Switch框分別為取絕對(duì)值模塊和選擇開關(guān)模塊。右端Acc為邏輯切換單元輸出，即加速度信號(hào)。

2.6 邏輯切換單元原理

當(dāng)擺桿偏角進(jìn)入±20°范圍時(shí)，自動(dòng)切換到LQR控制器，以實(shí)現(xiàn)擺角的控制和穩(wěn)擺；當(dāng)擺桿偏角進(jìn)入±5°范圍時(shí)，自動(dòng)切換到作者設(shè)計(jì)的控制器穩(wěn)擺。

圖3 邏輯切換單元(LOG)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本文所用實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)為：l=0.25 m，g=9.8 m/s2，采樣周期T=0.020 s。

將上述參數(shù)代入第1節(jié)中系統(tǒng)狀態(tài)空間方程式(3)，可得系統(tǒng)的實(shí)際模型(4)如下：



0000，由LQR(A，B，Q，R)得系統(tǒng)的反饋增益矩陣:

K=［－3.162 3 －3.713 4 31.166 4 5.718 3］

在線仿真[10]的實(shí)時(shí)小車位置(單位：m)、擺桿角度(單位：(°))和干擾變化波形如圖4所示。

嵌入式組合式控制器控制過(guò)程中小車位置Pos、擺桿角度Angle和干擾信號(hào)Dist的在線仿真響應(yīng)波形變化情況分析如表1所示。結(jié)果表明本文提出的嵌入式組合式控制算法對(duì)直線單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制正確、有效。能夠達(dá)到自動(dòng)和安全的控制效果，滿足系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。

表1 小車位置Pos、擺桿角度Angle和干擾信號(hào)Dist控制前后變化情況

控制初始段制定穩(wěn)定段

小車位置Pos在軌道的中間位置左右兩側(cè)±10 cm范圍內(nèi)按正弦規(guī)律波動(dòng)

在軌道的中間位置左右兩側(cè)±10 cm范圍內(nèi)按正弦規(guī)律波動(dòng)，但頻率變小，幅值變小且更接近于±10 cm位置點(diǎn)處

擺桿角度Angle在豎直向上不穩(wěn)定平衡位置附近按正弦規(guī)律變化擺桿角度曲線幾乎為一條直線，基本無(wú)波動(dòng)

干擾信號(hào)Dist按正弦規(guī)律變化按正弦規(guī)律變化，但幅值變小，同時(shí)頻率也變小

圖4 在線仿真的實(shí)時(shí)小車位置、擺桿角度和干擾變化波形

4 結(jié) 論

本文根據(jù)線性系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制理論和自動(dòng)控制原理設(shè)計(jì)了組合式控制器，其可行性和有效性在單級(jí)直線倒立擺系統(tǒng)上得到了驗(yàn)證。該控制器具有簡(jiǎn)單、直觀和易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。只要擺桿的初始角度在±20°范圍內(nèi)，嵌入式組合控制器都能使倒立擺控制系統(tǒng)保持穩(wěn)定的倒立平衡狀態(tài)。本文建立的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)也可作為控制系學(xué)生的《自動(dòng)控制原理》課程設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)及考核平臺(tái)。

參 考 文 獻(xiàn)

［1］趙英彪，荊武興.柔性航天器單軸姿態(tài)機(jī)動(dòng)的魯棒穩(wěn)定性分析［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41(1)：44-48.



［2］張葛祥，李眾立，畢效輝.倒立擺與自動(dòng)控制技術(shù)研究［J］.西南工學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，16(3)：12-16.



［3］佚名.世界首例倒立擺實(shí)物控制系統(tǒng)在我校試驗(yàn)成功［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2002(10)：5-8.



(上接第145頁(yè))

［4］邢景虎，陳其工，江明．基于LQR的直線一級(jí)倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究［J］.工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置，2007(6)：3-5.



［5］李德毅，杜鹢．不確定性人工智能［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2005.



［6］叢爽，張冬軍，魏衡華．單級(jí)倒立擺三種控制方法的對(duì)比研究［J］.系統(tǒng)測(cè)量與控制，2001，23(11)：47-49.



［7］段廣仁．線性系統(tǒng)理論［M］．2版.沈陽(yáng)：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004.



［8］［美］OGATA Katsuhiko.現(xiàn)代控制工程［M］.盧伯英，于海勛，譯．北京：電子工業(yè)出版社，2003.



［9］王仲民，孫建軍，岳宏．基于LQR的倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究［J］.工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置，2005(4)：6-8.



［10］王正林，王勝開，陳國(guó)順．Matlab/Simulink與控制系統(tǒng)仿真［M］．北京：電子工業(yè)出版社，2005.



作者簡(jiǎn)介：

裴月琳 女，1983年出生，吉林長(zhǎng)春人，在讀碩士研究生。主要研究方向?yàn)榈沽[控制理論與控制算法。

李 斌 男，1958年出生，重慶人，副教授，碩士生導(dǎo)師。主要從事導(dǎo)航控制與控制理論的研究。

王 強(qiáng) 男，1986年出生，山東泰安人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)樾⌒l(wèi)星編隊(duì)、無(wú)人機(jī)編隊(duì)。