路偉濤，楊文革，洪家財，余金峰

一種新的正弦信號頻率和初相估計方法?

路偉濤1，楊文革2，洪家財2，余金峰1

（1.裝備學院研究生管理大隊，北京101416；2.裝備學院光電裝備系，北京101416）

提出了一種新的正弦信號頻率和初相估計方法——頻譜遍歷法。該方法通過改變理想正弦信號頻譜峰值實現(xiàn)對采樣信號頻譜峰值的遍歷。分析了噪聲對信號頻譜幅度的影響，并以此給出了譜線遍歷范圍的選取準則。先估計頻率，采用移頻操作達到了良好的頻域穩(wěn)定性；再估計相位，避免了相位測量模糊的問題。在信噪比為6 dB、采樣點數(shù)為1 024的情況下，頻率估計均方根誤差約為DFT頻率分辨率的0.8%，初相估計均方根誤差約為1.5°。Monte Carlo仿真表明，在達到一定信噪比或采樣長度時，該方法的頻率估計精度可突破CR下限，初相估計精度基本達到CR下限。

頻率估計；相位估計；頻譜遍歷；移頻

1 引言

正弦信號頻率、相位的估計是通信、雷達、聲納以及電子對抗等領域的一個重要問題和研究熱點，同時在連接線干涉測量（CEI）等高精度測量體制獲取群時延的過程中也有著重要應用。國內(nèi)外學者在時域處理和頻域處理中都提出了很多方法。文獻［1］提出了線性預測頻率算法在時域進行估計，但需要較高的信噪比才能保證估計精度。隨著DSP技術的迅速發(fā)展，基于DFT的參數(shù)估計方法得到廣泛研究。文獻［2-3］提出了基于相位差校正的頻率、相位估計方法，即將一個信號的采樣序列分為兩段，分別做DFT，然后通過兩段DFT變換序列譜線峰值處的相位差估計信號的頻率和相位，避免了相位解模糊的過程，但由于柵欄效應的影響，當頻率偏差為DFT頻率分辨率一半時，DFT頻譜的主瓣內(nèi)有2條幅度相當?shù)淖V線，在噪聲的作用下該方法就會出現(xiàn)問題［4］。文獻［5］將采樣序列分成多段，通過對各段DFT變換序列的譜峰相位加權得到正弦信號初相的估計，需要對相位進行解模糊，同時文章提到了頻率偏差引起的噪聲敏感頻率區(qū)域并通過分析得到了信噪比要求，但是未能提出解決方案。Rife算法［6］和頻域插值法［7］利用了主瓣內(nèi)的兩條或多條譜線，有效解決了DFT柵欄效應的影響，實現(xiàn)了較高的估計精度，但是頻率偏差較小時估計誤差較大；文獻［8］在指出雙線幅度法（Rife法）存在的這個問題，并提出了單線相位法，比較好地解決了上述頻率偏差引起的問題，但是需要同時做兩個估計然后判斷選擇正確的估計，算法比較復雜。本文在現(xiàn)有研究的基礎上，結(jié)合正弦信號頻譜的特點，提出了一種新的頻率、相位估計方法——頻譜遍歷法，即在信號主瓣內(nèi)不斷變換頻率參數(shù)值，實現(xiàn)對頻譜峰值的搜索，仿真實驗證明該方法在低信噪比時估計性能與文獻［3］相當，在高信噪比或者采樣序列較長時頻率估計可以突破CR限，相位估計充分接近CR限。

2 頻譜遍歷法估計頻率和相位原理

假定信號模型為

式中，f0為信號頻率，N為采樣點數(shù)，ts為采樣周期，φ0為初始相位。先進行希爾伯特變換，變成復信號為

進行N點DFT變換得到

經(jīng)過化簡整理可以得到

式中，vk=2πk／T-2πf0，T=Nts，Ak為信號的幅度譜。

由幅度譜Ak的最大值可以粗測信號的頻率＾f0=k0Δf，k0=［f0T］（［x］表示取距離x最近的整數(shù)），Δf=1／T。由于DFT柵欄效應的存在，＾f0與真實頻率f0相差半個DFT的譜線間隔Δf，即f0=＾f0+ δΔf=（k0+δ）Δf，δ≤0.5。

由于DFT有處理增益［3］，信號的幅度譜Ak在峰值附近受噪聲影響比較小。已知正弦信號頻譜的理想形式如式（5）所示：

那么，以信號DFT變換的峰值譜線序號k0為中心，以±0.5為邊界，在頻譜主瓣附近按一定的分辨率對m進行遍歷，如m∈（k0-0.5：Δm：k0+0.5），Δm=0.01，使得下式

達到最小。假設此時m=M，那么可以估計出信號的真實頻率和相位：

式中，φ1=arg（Sig（k0））為DFT頻譜峰值k0處的相位，＾δ=M-k0為相對頻率偏差的估計。

3 幾個問題的討論

3.1 譜線遍歷范圍的確定

進行遍歷計算的譜線應該避免選擇離峰值譜線較遠的譜線，因為這些譜線幅度比較小，易于受到噪聲的影響；應該盡量保持峰值譜線處于所選譜線遍歷范圍的中心，保持一定的對稱性。設高斯白噪聲下的接收信號模型為

式中，z（n）為復白噪聲，均值為0，功率（方差）為σ2z =10-SNR／10，SNR為信噪比。對r（n）做DFT變換：

式中，Ak為信號頻譜的幅值，Zk為噪聲DFT變換的幅值?？紤]到DFT變換的處理增益比較大，在信號主峰附近均可認為Rk服從正態(tài)分布，而不僅限于主峰處［9］，即：

現(xiàn)在將理論分析和Monte Carlo仿真（500次）結(jié)果對比以驗證式（11）的正確性，即選取主峰附近的5條譜線，計算DFT變換后噪聲的均方誤差對信號頻譜幅度的影響。如圖1所示，實線為Monte Carlo仿真結(jié)果，虛線為理論計算結(jié)果。

由圖1（a）可以看到，理論值和Monte Carlo仿真結(jié)果在各譜線處均能較好地吻合；低信噪比（SNR≤5 dB）時理論值和Monte Carlo仿真結(jié)果在第三、四、五譜峰處稍有差別，但是隨著信噪比的提高，兩種結(jié)果趨于重合，說明上述理論分析是正確的。

考慮到柵欄效應會使頻譜中各個譜線幅度發(fā)生變換，考察相對頻率偏差δ不同時噪聲對各個譜線的影響，如圖1（b）所示，δ＜0.25時，離譜峰越遠的譜線噪聲的影響就越大，特別是δ趨于0時，噪聲引起的幅度變化是信號頻譜幅度的1倍以上，這是由信號頻譜特點決定的。隨著δ的增加，噪聲的影響逐漸減小，當δ＞0.25時，δ的影響趨于平穩(wěn)。在實際處理中，接收信號的信噪比一般變化不大，因此可以通過峰值和次峰值譜線的幅度比r進行設定，如表1所示。

當r≤0.25時，選擇以主峰為中心的3條譜線；當0.25＜r＜0.8時，選擇以主峰為中心的5條譜線；r≥0.8時，主峰和次峰幅值非常接近，選擇以這兩條譜線為中心的4條譜線。

3.2 DFT變換的噪聲敏感頻率區(qū)域處理

δ接近或達到±0.5為DFT變換的噪聲敏感頻率區(qū)域，此時頻率、相位的估計容易出現(xiàn)問題，原因是DFT頻譜中主峰和次峰的幅度比較接近，最大譜線的位置可能選擇錯誤。同時基于次大峰值和第三峰值判斷頻率偏差的符號也可能出現(xiàn)問題［5］。通過第二節(jié)頻率、相位估計原理可以發(fā)現(xiàn)，峰值譜線位置是否正確并不影響頻率的正確估計，而只會影響φ1的求取，進而影響信號相位的估計。可以按照如下步驟解決這一問題：

（1）求出DFT頻譜中的峰值譜線和次峰值譜線序號maxk1和maxk2，并始終使得maxk1＜maxk2，即如果maxk1＞maxk2，那么交換兩個數(shù)的值，這個操作讓最大譜線默認在maxk1上；

（2）設定參與擬合的譜線范圍，進行公式（5）的操作，估計出頻率＾f0和頻率偏差＾δ；

（3）判斷頻率偏差＾δ的符號，如果＾δ＞0，那么實際的峰值譜線就在maxk1，φ1=arg（S（maxk1）），否則峰值譜線在maxk2，φ1=arg（S（maxk2））；

（4）由求取的φ1和頻率偏差的估計＾δ按照公式（6）得到信號相位的估計＾φ0。

4 仿真驗證

采用單頻率復正弦信號疊加高斯白噪聲對本文提出的頻譜遍歷法進行了Monte Carlo仿真（200次）。設采樣率fs=256 MHz，采樣點數(shù)為N，則DFT的分辨率Δf=fs／N，k0=120，分別考察相對頻率偏差δ、初始相位φ0、信噪比SNR的影響。

4.1 相對頻率偏差δ的影響及改進

由圖2可以看出，遍歷法在相對頻偏δ較大時估計性能比較好，其中SNR=6 dB、δ≥0.16時相對頻偏估計約為0.008Δf，相位估計達到1.5°左右；SNR=10 dB、δ≥0.12時相對頻偏估計約為0.005Δf，相位估計達到1°左右；SNR=15 dB、δ≥0.1時相對頻偏估計約為0.002Δf，相位估計達到0.5°左右。所以，應對相對頻率偏差較小（這里取閾值δ=0.2）的情況進行改進。

一種簡單可行的方法就是在相對頻偏較小時對原信號進行移頻操作［10］，移頻量f=0.2Δf（相對頻偏為負時f=-0.2Δf），使得信號的相對頻偏δ∈（0.2，0.5），待估計出頻率后減去相應的移頻量即可得到信號的頻率估計，同時移頻操作不會產(chǎn)生額外的相位，即不會影響相位的估計值。考慮到前文關于擬合譜線范圍的選取和主、次峰幅度比值的分析，可以采用主、次峰幅度比值r進行判斷，即：當r≤0.25時，先進行移頻操作后再采用頻譜遍歷法估計，并根據(jù)移頻結(jié)果修正估計值；否則直接采用遍歷法進行估計，仿真結(jié)果如圖3所示。

由圖3可以看出，進行移頻操作改善后，頻譜遍歷法可以在頻率范圍［k0，k0+0.5］Δf內(nèi)達到較好的估計性能，也即可以實現(xiàn)全頻率范圍內(nèi)（［k0-0.5，k0+0.5］Δf）的頻率、相位估計。

4.2 初始相位φ0的影響

這里考察初始相位φ0不同時，頻譜遍歷法的頻率、相位估計性能，這里φ0∈（0，2π）。結(jié)果如圖4所示。由圖4可以看出，對于φ0∈（0，2π）的所有取值，頻譜遍歷法的頻率估計性能均比較好，在SNR等于6 dB、10 dB、15 dB時，相對頻偏的估計誤差分別為0.008Δf、0.005Δf和0.002Δf左右；相位估計在φ0接近取值區(qū)間端點時，即φ0→0 or 2π時，估計性能劇烈變差，這是算法的一個缺陷，也是相位估計中的一個普遍問題；在φ0的其他取值時，相位估計性能較好，在SNR等于6 dB、10 dB、15 dB時，相位的估計誤差分別為1.5°、1°和0.5°左右。

4.3 信噪比的影響

由4.1節(jié)、4.2節(jié)的仿真基本驗證了頻譜遍歷法的可行性和較好的估計性能。這里再考察信噪比的影響，并與相位差法［3］、克拉美-羅界（CR）相對比，其中克拉美-羅界如式（12）所示［11］：

仿真中取δ=0.2，φ0=π4，采樣點數(shù)N=1 024，其他參數(shù)不變。仿真結(jié)果如圖5所示（蒙特卡洛仿真200次）。

由圖5可以看出，在SNR≤10 dB時，頻譜遍歷法與相位差法的估計性能基本一致；在SNR＞10 dB時，頻譜遍歷法的估計性能明顯優(yōu)于相位差法，并且在SNR＞14 dB時頻譜遍歷法的頻率估計精度好于CR下限，相位估計精度也與CR下限幾乎重合。頻率估計精度好于CR下限一是由于頻譜遍歷法在譜峰確定的范圍內(nèi)以很高的分辨率（Δm=0.01甚至更低）去遍歷搜索真實譜峰，不同于一般的估計算法；二是在SNR＞14 dB、N=1 024時，主峰附近的5條譜線受噪聲的影響較?。ㄔ肼曇鸬姆茸兓木秸`差占頻譜幅度最大為0.035，最小為0.005），基本接近于理想的頻譜函數(shù)?；谝陨蟽牲c原因，頻譜遍歷法在信噪比較高和采樣序列較長時，頻率估計性能非常好。而相位的估計精度由于受到DFT譜峰相位求取精度的影響，只能充分接近或達到CR下限。

5 結(jié)論

本文提出了一種新的正弦信號頻率和初相估計方法——頻譜遍歷法。該方法通過以一定的步長改變理想正弦信號頻譜峰值實現(xiàn)對采樣信號頻譜峰值的遍歷，從而實現(xiàn)頻率和相位的估計。文章在分析噪聲對信號頻譜幅度影響的基礎上給出了譜線遍歷范圍的選取準則。在具體實現(xiàn)中，先估計頻率后估計初相。通過移頻的方法避免了相對頻偏較小時估計誤差偏大的問題；再由DFT峰值相位和頻率估計值估計初始相位，避免了相位解模糊的問題。在信噪比為6 dB、采樣點數(shù)為1 024的情況下，頻率估計均方根誤差約為DFT頻率分辨率的0.8%，初相估計均方根誤差約為1.5°，性能稍微優(yōu)于文獻［3］中的算法。Monte Carlo仿真表明在達到一定信噪比或采樣長度時該方法的頻率估計精度可突破CR下限，初相估計精度基本達到CR下限。

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LU Wei-tao was born in Xihua，Henan Province，in 1985.He received the B.S.degree from Peking University in 2008.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research interests include TT＆C，interfermetry technology.

Email：lwteecspku＠126l.com

楊文革（1966—），男，江西金溪人，1994年于國防科技大學獲學士學位，1997年于北京航空航天大學獲碩士學位，2000年于北京理工大學獲博士學位，現(xiàn)為教授、博士生導師，主要研究方向為航天測量與控制、雷達信號處理；

YANG Wen-ge was born in Jinxi，Jiangxi Province，in 1966. He received the B.S.degree from National University of Defense Technology，the M.S.degree from Beijing University of Aeronautics and Astronautics and the Ph.D.degree from Beijing Institute of Technology in 1994，1997 and 2000，respectively.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research concerns TT＆C and radar signal processing.

洪家財（1967—），男，安徽人，1989年于國防科技大學獲學士學位，分別于1996年、2002年獲北京航空航天大學碩士學位和博士學位，現(xiàn)為副教授、碩士生導師，主要研究方向為航天測控技術、干涉測量技術等；

HONG Jia-cai was born in Anhui Province，in 1967.He received the B.S.degree from National University of Defense Technology，the M.S.degree and the Ph.D.degree from Beijing University of Aeronautics and Astronautics in 1989，1996 and 2002，respectively.He is now an associate professor and also the instructor of graduate students.His research concerns TT＆C and interfermetry technology.

余金峰（1969—），男，河南唐河人，2001年于國防科技大學獲工程碩士學位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向為航天器測量與控制。

YU Jin-feng was born in Tanghe，Henan Province，in 1969.He received the M.S.degree from National University of Defense Technology in 2001.He is currently working toward the Ph.D.degree. His research concerns spacecraft TT＆C.

A Novel Method for Frequency and Initial Phase Estimation of Single-tone Signals

LU Wei-tao1，YANG Wen-ge2，HONG Jia-cai2，YU Jin-feng1
（1.Graduate Students′Brigade，Academy of Equipment，Beijing 101416，China；2.Department of Photoelectric Equipment，Academy of Equipment，Beijing 101416，China）

A novel method for estimating the frequency and initial phase of single-tone signals is proposed，which uses a series of ideal spectrum to traverse the spectrum of sampled single-tone signal.By analysing the effect caused by noise on amplitude of signal spectrum，the rule of determining spectrum ranges for traversing is raised.The frequency is estimated firstly by adopting frequency shift to obtain good frequency stability.And then the initial phase is estimated，avoiding the problem of phase fuzzy.When SNR=6dB and sampling number N=1 024，the RMS error of frequency estimation is about 0.8%of the frequency resolution of the DFT，and the RMS error of the initial phase estimation is about 1.5°.Monte Carlo simulation results show that the RMS error of frequency estimation is lower than Cramer-Rao bound and RMS error of initial phase estimation is close to the bound under certain condition of SNR or sampled data length.

frequency estimation；phase estimation；spectrum traversing；frequency shift

General Equipment Department Test Technology Project（2011SY41A7001）

TN971

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.09.009

路偉濤（1985—），男，河南西華人，2008年于北京大學獲學士學位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向為航天測控、干涉測量技術；

1001-893X（2012）09-1459-06

2012-03-13；

2012-05-15

總裝試驗技術研究項目（2011SY41A7001）