張萍，鄧永坤，喬路芳

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州 221116）

P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下Pareto分布參數(shù)的Bayes估計(jì)

張萍，鄧永坤，喬路芳

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州 221116）

在P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下，討論了Pareto分布參數(shù)的Bayes估計(jì).當(dāng)先驗(yàn)分布為伽瑪分布時(shí)，給出估計(jì)的精確形式.最后證明了其容許性.

Pareto分布；Bayes估計(jì)；P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)；可容許性

Pareto分布是意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家Vilfredo Pareto（1848-1923）提出的一種收入分布方式[1].迄今為止，Pareto分布不僅應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)收入模型，在其他物理、生物等領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用.吳喜之[2]論述了關(guān)于Pareto分布參數(shù)估計(jì)的一些進(jìn)展.

含有兩個(gè)參數(shù)的Pareto分布的密度函數(shù)如下：其中a＞0為尺度參數(shù)，θ＞0是形狀參數(shù).

目前已有人研究了平方損失函數(shù)，熵?fù)p失函數(shù)及Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下Pareto分布參數(shù)的Bayes估計(jì).李艷穎[3]討論了在平方損失函數(shù)和Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下Pareto分布參數(shù)的Bayes估計(jì).李凡群[4]討論了在熵?fù)p失函數(shù)下Pareto分布參數(shù)的Bayes估計(jì).杜宇靜等[5]在P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下討論了指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì).這里主要研究在損失函數(shù)為P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)時(shí)，Pareto分布參數(shù)的Bayes估計(jì).

1 基本概念

定義1[5]P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)定義為：

其中p,q∈R+,δ為θ的估計(jì).

定義2[6]設(shè)總體X的分布函數(shù)為f(x;θ)，其中參數(shù)θ為隨機(jī)變量，取θ得先驗(yàn)分布為π(θ)，如果在所有的決策函數(shù)集合D中存在一個(gè)決策函數(shù)d*(X)，使得對(duì)集合D中的任何決策函數(shù)d(X)都滿足：

我們把d*()

X稱為θ的Bayes估計(jì)量.

Pareto分布的密度函數(shù)引言中已給出.

設(shè)X服從Pareto分布，X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，x1,x2,…,xn為X1,X2,…,Xn的觀測(cè)值，由（1）得X1,X2,…,Xn的聯(lián)合密度函數(shù)為：

θ未知，下面對(duì)它進(jìn)行估計(jì).

2 參數(shù)θ的Bayes估計(jì)

定理1當(dāng)損失函數(shù)為P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)（2），先驗(yàn)分布為任一分布π(θ)，Pareto分布的參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為

證明設(shè)δ(X)為θ的任一估計(jì)，在P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)（2）下，δ(X)對(duì)應(yīng)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

又因?yàn)?/p>

利用極值理論及定義2知（6）式的極小值即為參數(shù)θ的Bayes估計(jì).

現(xiàn)對(duì)（6）式關(guān)于δ求導(dǎo)并令其等于0，為下式：

整理后解得

它即為所求參數(shù)θ的Bayes估計(jì)（4）式.

得證.

設(shè)X1,X2,…,Xn服從Pareto分布，且相互獨(dú)立，x1,x2,…,xn是X1,X2,…,Xn的觀測(cè)值，θ是未知參數(shù)，當(dāng)給定一個(gè)確定的先驗(yàn)分布時(shí)，參數(shù)θ的Bayes估計(jì)的精確形式由下面的定理給出.

定理2取損失函數(shù)為P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)（2），當(dāng)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為伽瑪分布Ga(α,λ),即

則Pareto分布參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為：

證明由（3）、（7）兩式可得θ的后驗(yàn)概率密度函數(shù)為：

可看出后驗(yàn)分布服從Ga(n+α,T+λ)分布.只要求出E(θp|X)和E(θ-q|X)，代入定理1，即可得參數(shù)θ的Bayes估計(jì).

3 Bayes估計(jì)的容許性

引理[7]給定一個(gè)統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題，δB(X)是在給定θ的某個(gè)先驗(yàn)分布π(θ)之下的Bayes解，若δB(X)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)Rπ(δB(x))＜∞，則δB(X)必是此統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題的容許決策函數(shù).

定理3定理2中，損失函數(shù)為P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)（2）時(shí)，Pareto分布的參數(shù)θ的Bayes估計(jì)

是可容許的.

證明取損失函數(shù)為P，Q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)（2），Pareto分布參數(shù)θ的Bayes風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為

從而有

是可容許的.

[1]Pareto V.Cours Economic Politique[M].Lausanne and Paris：Rouge and Cie，1987.

[2]吳喜之.現(xiàn)代貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2000.

[3]李艷穎.Pareto分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，23（3）：275-277.

[4]李凡群.熵?fù)p失下Pareto分布參數(shù)估計(jì)[J].安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，22（5）：73-74.

[5]杜宇靜，孫曉祥，尹江艷.p，q-對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，45（5）：764-766.

[6]師義民，徐偉，秦超英，等.數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2002.

[7]范金城，吳可法.統(tǒng)計(jì)推斷引導(dǎo)[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

The Bayesian Estimation of Scale Parameter of Pareto Distribution under P,Q-Symmetric Entropy Loss Function

ZHANG Ping,DENG Yong-kun,QIAO lu-fang
(School of Sciences,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China)

Under P,Q-symmetric entropy loss function,this paper first gives the general form of Bayesian estimation.Then,the exact form of Bayesian estimation is given under the condition of giving prior distribution of parameter.Lastly,the paper proves the admissibility of the Bayesian estimation.

Pareto distribution;Bayesian estimation;P,Q-symmetric entropy loss function;the admissibility

O177

A

1008-2794（2012）10-0023-04

2012-09-06

張萍（1986—），女，山西運(yùn)城人，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院2010級(jí)碩士研究生，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì).