魏厚忠， 薛 丹， 焦立奇， 白文峰

（長春工業(yè)大學電氣與電子工程學院，吉林長春 130012）

0 引 言

解決機器人問題首先必須建立相應的動力學和運動學模型，在此前提下分析和建立誤差模型。誤差修正的好與壞將直接影響到控制精度，產(chǎn)生誤差的原因有很多，如機器人各機械組件以及載荷的質(zhì)量、重心和慣性，電機的轉(zhuǎn)矩、傳動力矩、摩擦轉(zhuǎn)矩、重力矩、科里奧利力矩、慣性矩和支承力矩，還有軸位、軸速度、軸加速度等。以前很多研究減少誤差的算法大多以直接誤差補償為主，這種方法需要大量的數(shù)據(jù)做統(tǒng)計學的支撐，文中通過在KUKA機器人系統(tǒng)里嵌入專家PID算法以及加上特定補償?shù)乃惴?，成功將誤差控制在0.01mm以內(nèi)。

圖1 6自由度KUKA機器人

1 機器人動力學模型的確定

相對機器人運動學而言，機器人動力學問題顯得異常復雜。但同時機器人的動力學研究變得越來越重要，尤其在以高速重載自動設備需求日益強烈的今天，動力學問題越發(fā)突出。動力學分析是機器人控制、結(jié)構(gòu)設計與驅(qū)動器選型的基礎。目前，分析機器人動力學的常用方法主要有拉格朗日法、牛頓－歐拉法、虛功原理法及凱恩方程等，文中將以最為經(jīng)典的前兩種方法為基礎建立動力學模型。

這樣計算出每一個構(gòu)件質(zhì)心的線加速度和角加速度，再代入牛頓－歐拉方程式，由此可求出作用在每一個構(gòu)件（第i構(gòu)件）質(zhì)心的慣性力和力矩。

分析動力學的基礎是達郎伯原理和虛位移原理。達郎伯原理引入慣性力的概念，使我們能夠用解決靜力學平衡問題的方法來處理動力學問題。虛位移原理引入虛位移和虛功的概念，給出了處理非自由質(zhì)點系平衡問題的方法來處理動力學問題。將兩個原理結(jié)合起來，可推出質(zhì)點系動力學普遍方程和拉格朗日方程［1］。

對具有N個自由度的機器人操作機構(gòu)，拉格朗日方程式由N個二階非線性微分方程構(gòu)成的方程組為：

式中：T——系統(tǒng)動能；

Qi——包括重力在內(nèi)的外力對應于第i個廣義坐標的廣義力，i＝1，2，…，n。

引入廣義力的量Q：

由數(shù)量對向量微分的法則，得

將式（5）寫成向量方程形式為：

系統(tǒng)總動能T等于各構(gòu)件動能之和：

式中：M——n＊n矩陣。

設向量Y表示廣義力中的除驅(qū)動力以外的廣義力，則有

則機器人操作器動力學方程的一般形式可寫為：

令

再將上面相應的式子進行微分處理，最終可以得到如下結(jié)果：

1）如果是求解直接動力學問題，可用下式求得：

2）如果是求解間接動力學問題，可用下式求得：

2 運動學模型的確定

建立6自由度機器人模型，一個6軸串聯(lián)機械臂，得到機器人連桿坐標系，根據(jù)D-H法得到機械臂位姿的變換矩陣如下：

式中：An——根據(jù)D-H法建立的機械臂各個關節(jié)的變換矩陣。

其中

設在連續(xù)軌跡的起始點和終點機器人的姿態(tài)為（Ψ0，θ0，φ0）和（Ψ1，θ1，φ1），機器人運動連續(xù)平滑，姿態(tài)角度隨時間做線性變化。在時刻ti（t0＜ti＜t）手部姿態(tài)角為：

把姿態(tài)角和相應的位置值代入文中求出的機械臂逆運動學方程，就可以得出關節(jié)空間下的θ1，θ2，…，θ6值。同時，注意這些θ1，θ2，…，θ6值可能會有多解，由機構(gòu)的奇異問題產(chǎn)生的無窮解，或無解（不可達）。對于多解程序會自動選擇離上一個路徑最近的解，保證機械臂各個旋轉(zhuǎn)軸運動連續(xù)［2］。

6軸機械臂的控制算法使機器人對輸入空間曲線計算出各關節(jié)的電機控制命令，使機器人沿曲線運動。同時，計算公式中各參數(shù)用符號表示，能夠運用到各種類似結(jié)構(gòu)的機器人控制?？刂扑惴ㄖ卸囗検讲逯捣ㄊ箼C械臂各關節(jié)運動的速度和加速度連續(xù)，避免運行生成的機器指令違背物理規(guī)律，不能正確執(zhí)行任務。文中方法計算效率很高，100個點能在2s內(nèi)計算完成。計算公式是單變量參數(shù)方程的形式，在運動的同時計算后面幾點，能適應實時控制的要求。

3 誤差分析

通過對機器人動力學模型的建立可以發(fā)現(xiàn)，在廣義力里面包含太多復雜力，這些力也會給機器人的精確控制帶來更多的難題。為了簡化和系統(tǒng)分析這些力帶來的誤差，特將廣義力Y＝自身慣性力＋負載慣性力＋其它綜合慣性力集合。如果用單一控制算法來控制這個廣義力，控制效果肯定不好，如果在控制軸上形成軸放大，控制精度肯定達不到要求。為了消除這些誤差，文中在KUKA機器人控制系統(tǒng)中采用專家PID和固定誤差補償?shù)姆椒ㄟM行修正誤差，專家控制PID的控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 專家控制PID的控制系統(tǒng)框圖

知識庫包括事實集、經(jīng)驗數(shù)據(jù)、經(jīng)驗公式和規(guī)則集；信息獲取與處理是通過底層閉環(huán)控制系統(tǒng)的反饋信息和輸入信息獲取控制系統(tǒng)的誤差、誤差變化量，以及系統(tǒng)動態(tài)特征信息（超調(diào)量上升時間等）。信息處理包括必要的特征識別和濾波等；控制算法集合中存放有控制策略和控制方法，如PID，PI，fuzzy和神經(jīng)控制等；實時推理機是根據(jù)一定的推理策略從知識庫中選擇有關的知識，對所提供的控制算法、事實，以及實時采集的系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)進行推理，直到得出相應的最佳控制決策，用決策結(jié)果指導控制作用；動態(tài)數(shù)據(jù)庫是用來存放推理過程中用到的數(shù)據(jù)、中間結(jié)果、實時采集與處理的數(shù)據(jù)［3］。

根據(jù)廣義力等式可以建立KUKA機器人被控對象的控制系統(tǒng)示意圖，如圖3所示。

4 仿真與實驗數(shù)據(jù)研究

根據(jù)6自由度KUKA機器人可以建立一個6階傳遞函數(shù)，對相應的采樣時間定為1ms，采用專家PID設計控制器［4］，在仿真過程中，ε取 0.001，可以得到誤差響應曲線，如圖4所示。

圖3 控制系統(tǒng)示意圖

圖4 理想誤差響應曲線

以上仿真圖形主要針對負載慣性力對機器人控制精度的誤差仿真［5］，由誤差響應圖可以知道，專家PID算法可以很好地解決負載慣性力對機器人帶來的誤差，對其它綜合慣性力誤差通過特定誤差補償?shù)姆绞竭M行。根據(jù)KUKA機器人特定誤差補償標定前后的實驗數(shù)據(jù)見表1。

表1 實驗數(shù)據(jù)

通過對幾個點的誤差補償來看，補償值都是由相應的理論值減去實際值而得到，相應值的取得都是借用一定的標定工具和傳感器［6－8］，使機器人工作精度從最大誤差0.04mm降到0.003mm。補償示意圖如圖5所示。

圖5 補償示意圖

5 結(jié) 語

建立了機器人動力學和運動學模型，對模型的分析可以得出很多誤差因素，通過專家PID對負載慣性力的研究和借助外部工具進行特定誤差補償研究，兩種方法都可以使誤差修正在一定的范圍內(nèi)。通過仿真結(jié)果可知，誤差修正精度會越來越好，綜合起來將會使整個機器人的控制精度更高。

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［2］ 于靖軍，劉幸軍，丁希侖，等.機器人機構(gòu)學的數(shù)學基礎［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2008.

［3］ 張永貴.噴漆機器人若干關鍵技術研究［D］：［碩士學位論文］.西安：西安理工大學，2008.

［4］ 許玉昆，陳彬，尤傳富.基于神經(jīng)網(wǎng)絡PID在直流伺服電機中的應用［J］.長春工業(yè)大學學報：自然科學版，2010，31（6）：679-682.

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