劉慶元 姜柱

（中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南長沙410083）

1.引言

空間后方交會(huì)是以共線條件方程式為基礎(chǔ)，將像片的6個(gè)外方位元素和地面坐標(biāo)作為待定值看待。首先傳統(tǒng)的方法需要處理大量的三角函數(shù)解算，給計(jì)算帶來不必要的麻煩，文獻(xiàn)［3］和［4］利用單位四元素法代替三個(gè)旋轉(zhuǎn)角，簡化了計(jì)算。但是其平差方法通常采用高斯-馬爾科夫模型進(jìn)行求解。該模型僅將非線性函數(shù)模型在參數(shù)概略值處按泰勒級數(shù)展開，忽略高次項(xiàng)使其線性化，因此，必然造成系數(shù)矩陣中存在誤差。因而，進(jìn)行平差時(shí)必然要考慮到系數(shù)矩陣的誤差。為了同時(shí)考慮系數(shù)矩陣和觀測值的誤差，建立更合理的模型，本文引入了約束總體最小二乘（CTLSE）。該方法可用于解決所謂的變量中的誤差模型的估計(jì)問題。

2.單位四元數(shù)與共線條件方程式

2.1 單位四元素

四元素是一個(gè)四元矢量，可用來描述坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。在三維空間中的單位球上的任意一個(gè)位置只對應(yīng)X軸和Y軸旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)角，但繞Z軸旋轉(zhuǎn)的第三個(gè)角卻無法描述。這時(shí)如果再增加一個(gè)自由度就可以表示所有三個(gè)旋轉(zhuǎn)角，這樣便產(chǎn)生了四維空間的單位球。四維空間的單位球定義如下：三維空間中所有三個(gè)旋轉(zhuǎn)角可以通過四維單位球上的點(diǎn)表示，四維單位球上點(diǎn)的四元坐標(biāo)構(gòu)成了單位四元數(shù)。用單位四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)矩陣為：

由于采用單位四元數(shù)對共線條件方程式進(jìn)行描述，描述像片姿態(tài)角時(shí)不在出現(xiàn)傳統(tǒng)的角元素，取而代之的是單位四元素的4個(gè)系數(shù)q0,q1,q2,q3。對共線方程線性化后得出誤差方程式為：

各系數(shù)值及常數(shù)值見文獻(xiàn)[3]；

結(jié)合單位四元數(shù)之間的約束條件方程，經(jīng)線性化后得到：

采用聯(lián)系數(shù)的直接解法，得到的法方程為：

如此反復(fù)趨近，直至每幅影像外方位元素的改正值均小于某個(gè)限值時(shí)為止，迭代結(jié)束。

2.2 約束總體最小二乘（CTLS）

與僅考慮到觀測向量L中是含有誤差的，而認(rèn)為系數(shù)矩陣A中并不存在誤差的最小二乘方法相比，約束總體最小二乘法所關(guān)心的是當(dāng)L和A中都含有誤差，同時(shí)考慮這些誤差時(shí)，參數(shù)向量x的估計(jì)方法。令顧及L和A誤差的模型為：

式中，V和EA分別為觀測值和系數(shù)矩陣元素的隨機(jī)誤差?；诶窭嗜諛O值的總體最小二乘法，在模型（4）下，總體最小二乘準(zhǔn)則可以表示為：

式中，eA=vec(EA)，是將誤差矩陣EA按列拉直得到的列向量，排列順序?yàn)閺淖蟮接摇?/p>

由此可得模型（4）在準(zhǔn)則（5）下的拉格朗日極值函數(shù)為：

式中，?是表示Kronecker積，EAx=(xT?In)eA

對式（6）求偏導(dǎo)得到拉格朗日條件為：

由式(7)和式(9)得

將式（12）代入式（7）和式（8）得，

從而得到：

因此，約束總體最小二乘問題的迭代解法為：

第一步：

令γ(0)=0，μ(0)=0；

第二步：

如此反復(fù)迭代，直至滿足要求為止。

參數(shù)精度為：

3.計(jì)算步驟及實(shí)例分析

3.1 計(jì)算步驟

(1)給定初始值，設(shè)K為任意兩點(diǎn)求得的攝影比例尺分母；

(2)代入式（1）和（2）組成誤差方程式；

(3)根據(jù)式（13）到（15），直接求得參數(shù)的CTLS解，從而求得外方位元素；

(4)利用約束總體最小二乘法對平差結(jié)果進(jìn)行精度評定。

3.2 實(shí)例

本文引用文獻(xiàn)[9]中得數(shù)據(jù)，像片的內(nèi)方位元素為已知，x0=0，y0=0，f=153.24mm，表1為四個(gè)控制點(diǎn)的像片坐標(biāo)和地面坐標(biāo)；分別由最小二乘和CTLS方法得到的外方位元素和單位權(quán)中誤差以及參數(shù)的中誤差見表2。

系數(shù)矩陣的殘差矩陣為：EA=10-6

表1 像點(diǎn)坐標(biāo)和控制點(diǎn)坐標(biāo)

表2 兩種平差方法的比較

4.結(jié)論

(1)采用單位四元素描述的平差模型與傳統(tǒng)方法相比，單位四元素利用四個(gè)獨(dú)立的量代替三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度，在實(shí)際計(jì)算時(shí)避免了頻繁的三角函數(shù)運(yùn)算，簡化了運(yùn)算過程，提高了效率。

(2)約束總體最小二乘（CTLS）不僅考慮了觀測值L所含有的誤差，同時(shí)也考慮了系數(shù)矩陣A所含有的誤差，數(shù)學(xué)模型與實(shí)際情況更加吻合，同時(shí)求得到的單位權(quán)中誤差和參數(shù)的中誤差都要比傳統(tǒng)的最小二乘計(jì)算的結(jié)果小，得到的計(jì)算結(jié)果精度更高。

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