翟院青， 原三領(lǐng)， 袁艷燕

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

文獻(xiàn)［1］討論了具有變?nèi)丝谝?guī)模含積分時滯的SIS流行病模型

式中，I（t）、N（t）分別為t時刻的染病者和總?cè)丝?模型中所有參數(shù)均為正常數(shù)：A為人口的常數(shù)遷入，并假設(shè)遷入的均為易感者；β為傳播系數(shù)；d、ε分別為人口的自然死亡率和因病死亡率.P（t）為染病者患病t單位時間后仍為染病者的比例.在模型（1）中，若假設(shè)每個染病者個體的染病期為常數(shù)，則模型（1）將成為一個與之等價的微分差分方程.在文獻(xiàn)［1］中，確定了疾病傳播的基本再生數(shù)，得到了無病平衡點全局漸近穩(wěn)定以及地方病平衡點局部漸近穩(wěn)定的條件.此類含時滯流行病模型的地方病平衡點全局穩(wěn)定性的證明對從事流行病建模和研究的工作者來說歷來是一件非常棘手的事情，現(xiàn)有的工作大多局限于通過構(gòu)造Liapunov函數(shù)的方法來證明［2－8］.本文將在文獻(xiàn)［1］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討疾病傳播的持續(xù)性以及地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定的條件.

1 模 型

假設(shè)每個染病個體的染病期為一常數(shù)ω，即P（t）為一分段函數(shù)

則模型（1）成為與之等價的微分差分方程

定義

由文獻(xiàn)［1］知，疾病的基本再生數(shù)為

且模型（2）有下面的結(jié)論：

引理1 對于模型（2）從Ω中出發(fā)的解，下面結(jié)論成立：

a.如果I0（0）＝0，則對所有的t≥0有I（t）≡0，N（t）→A／d（t→∞）；

b.如果N（0）≥I0（0）＞0，則對所有的t＞0有N（t）＞I（t）＞0.

引理2 模型（2）總存在無病平衡點（0，A／d）.如果R0≤1，則模型沒有其它平衡點；如果R0＞1，則模型還存在一個地方病平衡點

引理3 如果R0＜1，無病平衡點（0，A／d）在區(qū)域Ω內(nèi)全局漸近穩(wěn)定；如果R0＞1，無病平衡點（0，A／d）在區(qū)域Ω內(nèi)不穩(wěn)定.

引理4 a.如果R0≥2＋ε／d或1＜R0≤3，則地方平衡點（Ie，Ne）局部漸近穩(wěn)定；b.如果ε／d≤1，則對于所有的R0＞1，地方平衡點（Ie，Ne）局部漸近穩(wěn)定.

2 流行病的持續(xù)性

令I(lǐng)1＝M2－M1／R0，且假設(shè)I1＞0.取η滿足0＜η≤I1，則有

設(shè)（I（t），N（t））為模型（2）初值滿足I0（0）＞0的解，則有下面的結(jié)論：

引理5 如果I1＞0，對于任意的t0＞0，不可能對所有的t＞t0有I（t）＜I1－η.

證明 假設(shè)引理5的結(jié)論不成立，則存在t0＞0與t1（t1＞t0＋ω），對于t≥t1－ω，有

將其代入積分方程（與模型（2）中第一個方程等價），得

令I(lǐng)e＝mint∈［t1，t1＋ω］I（t），則對所有的t≥t1，有I（t）≥Ie.否則，存在t2（≥t1＋ω），使得I（t2）＝Ie且對所有的t1≤t≤t2有I（t）≥I（t2）.故

取常數(shù)R1滿足，則對于任意的t≥t1＋ω有I（t）＞IeR1.注意到Iee－（d＋ε）（t1＋ω－u）du≥IeR1.如果上述結(jié)論不成立，則存在t3≥t1＋ω，使得I（t3）＝IeR1且對所有的t1＋ω≤t≤t3有I（t）≥IeR1.另一方面在區(qū)間［t1＋ω，t3］上，有

與I（t3）＝IeR1矛盾，故上面結(jié)論成立.由歸納法知在區(qū)間［t1＋kω，∞）上有I（t）＞IeR.所以當(dāng)t充分大時有I（t）≥I1－η，這與I（t）＜I1－η（t≥t1）矛盾.故引理5得證.

因為模型（2）的解一致有界，故I（t）一致連續(xù)，所以存在τ（0＜τ＜ω）（τ與t＊無關(guān)），使得（t＊≤t≤t＊＋τ）.如果q≤τ，結(jié)論自然成立.下面考慮τ＜q≤ω的情況.對于t＊＋τ≤t≤t＊＋q，有

3 地方平衡點的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性

首先，對傳染者人數(shù)的最終下界給出估計.令

證明 首先，假設(shè)I3＝I1.由引理5，對于所有充分大的t不可能都有I（t）＜I3－η.如果I（t）≥I3－η（t充分大），結(jié)論顯然成立.如果I（t）在I3－η左右震蕩（t充分大時），則存在足夠大的t4、t5，使得

下面考慮t4－t5≥ω的情況.如果（t），由引理5的證明過程，可知

首先對Il的值進(jìn)行估計.為此，考慮與模型（2）等價的模型

其中，S（t）為t時刻易感者的人數(shù)，滿足N（t）＝S（t）＋I(xiàn)（t），這里α＝exp（－（d＋ε）ω），因為

對于t4＜t＜t4＋ω，據(jù)I（t）＜I3＜I2，可得I′（t）≥－因此，有

故Il≥I4－η.即證當(dāng)I3＝I1時，命題成立.同理可證I3＝I2時，結(jié)論也成立，引理6得證.

下面分析模型（2）地方平衡點的全局穩(wěn)定性.在下文中總假設(shè)模型（3）存在唯一的地方平衡點為（Se，Ie），其中

模型（3）可以寫成為

令V1＝S－Se－Seln（S／Se）＋I(xiàn)－Ie－Ieln（I／Ie）.

則V1沿著模型（4）解的全導(dǎo)數(shù)為

再令V＝V1＋V2，其中

計算V沿著模型（4）解的全導(dǎo)數(shù)，得

如果m＞0且n＞0，在η＞0足夠小的情況下，式（5）關(guān)于變量（S－Se），（I－Ie）定負(fù).下面定理2是本文的主要結(jié)論.

定理2 如果以下條件成立：

則模型（3）的地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定.

注：易見當(dāng)α足夠小且d＋ε＞βSe時，定理2的條件顯然滿足.

5 結(jié) 論

在文獻(xiàn)［1］所研究的SIS流行病模型的基礎(chǔ)上對疾病流行的持續(xù)性以及地方病平衡點全局穩(wěn)定性做了進(jìn)一步探討.研究結(jié)果表明：當(dāng)R0≥1＋（ε／d）時，疾病會持續(xù)流行，從而形成地方病.通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖iapunov泛函，得到了地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的一個充分條件.對于所有的R0≥1地方病平衡點也許都是全局漸近穩(wěn)定的，這有待下一步繼續(xù)研究.

［1］ 袁艷燕，原三領(lǐng)，翟院青.一類具有變?nèi)丝谝?guī)模的含時滯SIS流行病模型的穩(wěn)定性分析［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報，2012，34（1）：27－31.

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［7］ 原三領(lǐng)，馬知恩，韓茂安.一類含時滯的SIS流行病模型的全局穩(wěn)定性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2005，25（3）：349－356.

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