孫文浩， 姚 儉

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

從1987年Santa Fe研究所專門組織把經(jīng)濟(jì)當(dāng)作一個(gè)演化的復(fù)雜系統(tǒng)［1］進(jìn)行研究以來，對(duì)經(jīng)濟(jì)復(fù)雜性的研究日趨活躍，涌現(xiàn)了非均衡經(jīng)濟(jì)學(xué)［2］、復(fù)雜性經(jīng)濟(jì)學(xué)［3］等新的經(jīng)濟(jì)學(xué)，不僅在思想和方法上給出更加寬闊的視野，還使人們更好地認(rèn)識(shí)和把握了真實(shí)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng).產(chǎn)品和服務(wù)定價(jià)不能僅僅依靠生產(chǎn)成本、社會(huì)必要?jiǎng)趧?dòng)時(shí)間，還要考慮供求關(guān)系、社會(huì)習(xí)俗、社會(huì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境.通貨膨脹也不僅僅是供給、需求以及貨幣投入量三者之間的關(guān)系，還受城鄉(xiāng)結(jié)構(gòu)、國(guó)家政策、國(guó)際環(huán)境的影響.它們都是受眾多因素影響的復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，需要用系統(tǒng)科學(xué)的思想，借助數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)等眾多學(xué)科與非線性方法進(jìn)行研究.錢學(xué)森也提出了創(chuàng)建系統(tǒng)科學(xué)、人體科學(xué)和思維科學(xué)［4－5］的構(gòu)想，運(yùn)用其它學(xué)科和不同的思維方法，不僅能使問題得到更好的解決，還能使得原有的學(xué)科體系更加完善和豐富.本文運(yùn)用逆向思維的方法，借用圣彼得堡悖論，分析樣本規(guī)模大小對(duì)這些復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)和決策判斷的影響.

1 圣彼得堡悖論數(shù)量模型

1713年，瑞士籍教授尼古拉·伯努利提出假定有一個(gè)擲硬幣的游戲，規(guī)則有二：

a.當(dāng)硬幣擲得是正面，有權(quán)利再擲，直到出現(xiàn)反面為止；

b.付給擲得反面者2n元，n為你擲硬幣的次數(shù).

即若第一次就出現(xiàn)反面，擲硬幣者只能得到2元，第二次出現(xiàn)反面得4元，第三次出現(xiàn)得8元，依此類推.那么人們?cè)敢飧抖嗌儋€金參與這一游戲，結(jié)果多數(shù)人不愿意付太多的賭金，幾乎不超過10元.若按預(yù)期貨幣值計(jì)算，參與該游戲的收入是無窮大的，其計(jì)算式為

對(duì)于一個(gè)獲益無窮大的游戲，人們卻只愿付很少的賭金去玩，這就是著名的圣彼得堡悖論［6］.

圣彼得堡悖論提出已有近300年了，針對(duì)其提出的抵御方法有邊際效應(yīng)遞減論、風(fēng)險(xiǎn)厭惡論、效應(yīng)上限論和結(jié)果有限論［7］.本文用逆向思維的方法，建立圣彼得堡悖論數(shù)量模型，并探討樣本容量對(duì)它的影響；最后將其運(yùn)用到實(shí)際問題中，解決產(chǎn)品或服務(wù)定價(jià)，相關(guān)決策問題，并討論它對(duì)通貨膨脹的影響.

從逆向思維角度研究圣彼得堡悖論，建立圣彼得堡悖論數(shù)量模型（以下簡(jiǎn)稱圣彼得堡模型），把目標(biāo)由人們?cè)敢饣ǘ嗌儋€金玩這個(gè)游戲轉(zhuǎn)變?yōu)橛螒蛑圃煺邽橛螒蛴喍嗌儋€金才能自己不賠錢.

1.1 模型的假設(shè)

等可能發(fā)生概率（即擲2n次硬幣，有n次為正，n次為反）.模型假設(shè)的依據(jù)為，擲硬幣隨機(jī)試驗(yàn)服從等可能概型.表1所示的擲硬幣實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，樣本數(shù)越大，本假設(shè)置信度越高.

表1 科學(xué)家的擲硬幣實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Experimental results of the coin toss by scientists

1.2 模型建立

樣本空間2n（先以210即1 024人參與游戲?yàn)闃颖究臻g分析）；每人支付賭金m元.游戲制造者的支付模型如圖1所示.

圖1 圣彼得堡支付模型Fig.1 Pay model of St.Petersburg

游戲參與者付出的賭金為1 024m，游戲制造者為參與者支出的賭金為m＝512×2＋256×4＋128 ×23＋64×24＋……＋1×210＋A（A為不確定常數(shù)，且A＞＝211）＝10×1 024＋A＝1 0240＋A.游戲制造者不賠本等價(jià)于1 024×m＞＝10240＋A，則m＞＝10＋A／210＞12（其中，A／210＞2）.

當(dāng)樣本空間為211時(shí)m＞＝11＋A／211＞13

當(dāng)樣本空間為212時(shí)m＞＝12＋A／212＞14

………………………

將樣本空間擴(kuò)展到2n，再利用歸納與遞推的方法，可推出游戲制造者不賠本的條件為m＞＝n＋A／2n，其中，A＞＝2n＋1（A／2n＞2）；其直角坐標(biāo)如圖2所示.

圖2中，x為參與游戲人數(shù)，x＝2n；y為價(jià)格，y＝n＋A／2n，則y＝＋A／x.

圖2 y＝＋A／x曲線圖Fig.2 Graph y＝＋A／x

1.3 模型結(jié)論

a.模型結(jié)果與模型的樣本容量大小有關(guān)，即游戲制造者訂的賭金多少，要取決于多少人參與游戲，賭金過高，沒人會(huì)參與，賭金低（或者說參與游戲的人超過訂賭金所參照的樣本容量），則會(huì)賠本.

b.受樣本容量的限制，模型結(jié)果并不是無窮大的，當(dāng)樣本容量為233（約等于86億人）已經(jīng)超過全球人口總數(shù)了.所以許多風(fēng)險(xiǎn)厭惡論的專家認(rèn)為用25元的費(fèi)用冒險(xiǎn)參與游戲是不明智的，雖有得大獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，但可能性太低.

c.形如y＝logx2的曲線增長(zhǎng)，當(dāng)x增長(zhǎng)兩倍，y值才能上升一格，隨著樣本容量的增大，y值對(duì)x的變化越來越不敏感.

2 實(shí)例驗(yàn)證

現(xiàn)實(shí)生活中，通常人們都認(rèn)識(shí)不到隨著樣本規(guī)模的擴(kuò)大，隨機(jī)變量的樣本均值的方差減小得有多快.但這對(duì)決策過程是非常重要的.根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)的“小數(shù)定律”，人們通常會(huì)忽視樣本大小的影響，認(rèn)為小樣本和大樣本具有同樣的期望值.這一基本偏差是人總是傾向于運(yùn)用小數(shù)法則，即認(rèn)為小樣本和大樣本的經(jīng)驗(yàn)均值具有相同的概率分布，其實(shí)這違反了概率論中的大數(shù)定律.

例如，在特維爾斯基和卡尼曼1974年的著名實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)對(duì)象被給出這樣一個(gè)問卷：一個(gè)城鎮(zhèn)里有一家大醫(yī)院和一家小醫(yī)院.大醫(yī)院每天約有45個(gè)嬰兒出生，小醫(yī)院每天約有15個(gè)嬰兒出生.正如人們所知，所有嬰兒中男孩約占50%，但具體的百分比每天都會(huì)有差異.有時(shí)高于50%，有時(shí)低于50%.在一年內(nèi)，兩家醫(yī)院都登記了超過60%的出生嬰兒是男孩的天數(shù).被實(shí)驗(yàn)者被問及哪家醫(yī)院這樣的天數(shù)更多一些：a.大醫(yī)院.b.小醫(yī)院.c.兩家醫(yī)院相同（即在5%的差異范圍之內(nèi)）［8］.大部分人都選了c，即兩家醫(yī)院相當(dāng).而簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)告訴人們小醫(yī)院比在大醫(yī)院更可能見到60%的男性嬰兒；抽樣理論也證明小醫(yī)院超過60%的嬰兒是男孩的天數(shù)是大醫(yī)院同類情況的3倍.就像擲10次硬幣，6次是正面是很常見的，而擲1 000次硬幣，出現(xiàn)600次正面卻不是常見的.

3 圣彼得堡模型的應(yīng)用

3.1 模型對(duì)產(chǎn)品或服務(wù)定價(jià)的啟示

在實(shí)際生活中有些產(chǎn)品或服務(wù)符合圣彼得堡模型，例如電話，自從1876年亞歷山大·貝爾獲得電話的發(fā)明專利到如今，世界上約有7.5億電話用戶，其中還包括1 070萬因特網(wǎng)用戶分享著這個(gè)網(wǎng)絡(luò).如果只有兩個(gè)人安裝電話，那么他們所能獲得的服務(wù)效益（相當(dāng)于圣彼得堡模型中可能獲得的收益）將很少，即只能兩人之間通話.然而隨著樣本規(guī)模的擴(kuò)大（越來越多人安裝電話），它的服務(wù)效益也不是無止境擴(kuò)大.隨著信息技術(shù)的發(fā)展，移動(dòng)通訊設(shè)備手機(jī)的問世，因手機(jī)具有上網(wǎng)、娛樂等功能，擴(kuò)大了使用者的樣本規(guī)模，使人們?nèi)〉酶嗟姆?wù)效益，開始逐漸替代家庭固話.

隨著中國(guó)人口老齡化的加劇，保險(xiǎn)公司推出各種養(yǎng)老保險(xiǎn)，每一家保險(xiǎn)公司都承諾能在未來為投保人群提供可觀的養(yǎng)老保障，那么這些保障能否實(shí)現(xiàn)，以及人們應(yīng)該為這種服務(wù)投入多少資金是人們關(guān)心的問題.保險(xiǎn)公司只有在將其從受保群眾那里募集的資金進(jìn)行再投資過程中，再投資的回收率高于向群眾承諾的回報(bào)率，這條資金鏈才能正常運(yùn)行.否則會(huì)導(dǎo)致兩種結(jié)果：一是因資金鏈條斷裂而破產(chǎn)，二是導(dǎo)致“龐氏騙局”，即用后來投資者的錢給前面的投資者以回報(bào).2009年，我國(guó)80歲以上的老年人口1 899萬，今后每年以100萬增加；60歲以上的人口1.6 714億，比2008年凈增725萬，占總?cè)丝?2.5%.而中國(guó)養(yǎng)老金賬戶投資的收益率不到2%，面對(duì)高于收益率的CPI（2.2%），再加之通貨膨脹的影響，形成了福利的巨大損失.這就給保險(xiǎn)行業(yè)提供了警示，應(yīng)該考慮各方面的變化，制定合理的養(yǎng)老保險(xiǎn)回報(bào)率.

3.2 模型對(duì)心理決策的影響

決策過程中由于受到樣本規(guī)模大小的影響，人們會(huì)因偶然性的原因做出錯(cuò)誤決策.例如“賭徒謬誤”中賭徒不愿相信自己運(yùn)氣一直不好；體育迷對(duì)“手熱”現(xiàn)象的偏好.特維爾斯基和卡尼曼1971年研究也表明，心理學(xué)研究者也會(huì)成為“小額數(shù)量法則”的受害者，因?yàn)樗麄兿嘈艠颖臼录艽砥淇傮w，科學(xué)家過分相信初始樣本的結(jié)論，經(jīng)常粗略地高估實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可重復(fù)性［9］.

現(xiàn)假設(shè)收到一份免費(fèi)的投資者時(shí)事通訊，它預(yù)測(cè)接下來的3個(gè)月中股市將下跌，并建議賣掉股票，你沒有理會(huì)這一建議，但股市真的下跌了.3個(gè)月后，又收到一份這份免費(fèi)的時(shí)事通訊，這次它預(yù)測(cè)接下來的3個(gè)月股票將上漲，你又沒理會(huì)，但它又預(yù)測(cè)對(duì)了.第三份免費(fèi)的時(shí)事通訊建議在接下來的3個(gè)月買進(jìn)股票并再一次預(yù)測(cè)對(duì)了.經(jīng)過這9個(gè)月，你收到一份來自時(shí)事通訊請(qǐng)求訂閱該通訊的信函，指出過去的9個(gè)月他們一直提供大量免費(fèi)的建議，如果想繼續(xù)獲得建議就必須支付一筆小數(shù)額的定購(gòu)費(fèi).很多人被它過去一貫的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)所打動(dòng)，欣然訂購(gòu).另一個(gè)角度考慮這一問題：假定出版商出版8種金融時(shí)事通訊，每種由不同專家負(fù)責(zé)，第一期4種預(yù)測(cè)股市會(huì)上漲，4種預(yù)測(cè)股市會(huì)下跌.預(yù)測(cè)下跌的是正確的，而預(yù)測(cè)上漲的失去了生意.余下的4種預(yù)測(cè)正確的通訊在第二期上2種預(yù)測(cè)上漲，2種預(yù)測(cè)下跌，經(jīng)過第二期只剩下2種金融時(shí)事通訊，第三期一種預(yù)測(cè)上漲，另一種預(yù)測(cè)下降［10］.3種都預(yù)測(cè)正確的時(shí)事通訊與事實(shí)相符，似乎他們對(duì)金融市場(chǎng)有獨(dú)到的見解.這樣人們忽略了它的樣本規(guī)模，卻選則信任偶然因素導(dǎo)致的后果.

3.3 模型對(duì)通貨膨脹的啟示

市場(chǎng)價(jià)格存在管理學(xué)中的“蝴蝶效應(yīng)”：某些產(chǎn)品受人為或市場(chǎng)調(diào)節(jié)原因，價(jià)格上漲，而互為替代品的商品因?yàn)樘娲圆粡?qiáng)，或者受市場(chǎng)潛意識(shí)的影響也競(jìng)相提價(jià)，導(dǎo)致互為替代品對(duì)價(jià)格與供需量的調(diào)節(jié)完全喪失，這樣容易引起一連串的連鎖反應(yīng)，造成全行業(yè)的物價(jià)上漲，從而使貨幣貶值，對(duì)通貨膨脹也造成很大影響.由圣彼得堡模型曲線圖y＝logx2＋A／x可看出，需求量x右移對(duì)價(jià)格y的影響很小.而由其反函數(shù)曲線則表明，價(jià)格的波動(dòng)對(duì)需求量的影響很大.這就啟示人們?cè)诎l(fā)揮市場(chǎng)資源配置的自我調(diào)節(jié)作用時(shí)，需要制定合理的價(jià)格范圍，盡量減少價(jià)格大幅波動(dòng)對(duì)通貨膨脹（緊縮）的危害.僅對(duì)通貨膨脹來說，通過“限購(gòu)”可以暫時(shí)將樣本規(guī)模限制在一定份額內(nèi)，既能限制x（主要指人為故意囤貨引起的需求量變動(dòng)）大幅增長(zhǎng)，又能在價(jià)格y的值大幅上漲時(shí)，將需求量控制在一個(gè)比它本身小的樣本規(guī)模內(nèi)，既防止市場(chǎng)范圍內(nèi)大的損傷規(guī)避惡性循環(huán)，又為政府宏觀調(diào)控延長(zhǎng)了準(zhǔn)備時(shí)間.2011年4月30日北京出臺(tái)“國(guó)十條實(shí)施細(xì)則”：從5月1日起，北京家庭只能新購(gòu)一套商品房.這是全國(guó)首次提出的家庭購(gòu)房套數(shù)“限購(gòu)令”，隨后房產(chǎn)限購(gòu)在全國(guó)范圍內(nèi)一二線城市展開，相信此舉能阻止房地產(chǎn)泡沫膨脹趨勢(shì).

4 結(jié) 論

借助圣彼得堡悖論，用逆向思維的方法，建立了圣彼得堡模型.通過樣本規(guī)模對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的特性，討論了樣本規(guī)模對(duì)合理的產(chǎn)品或服務(wù)定價(jià)、相關(guān)決策問題的影響作用，旨在為一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象提供理論依據(jù)，為社會(huì)問題提供參照的解決方案.本模型在理論依據(jù)方面借助特維爾斯基和卡尼曼的著名實(shí)驗(yàn)與理論，以及規(guī)避“代表性啟發(fā)方式”的方法.模型顯示決策過程中要充分考慮到樣本規(guī)模，既要借助樣本容量大小規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，又要通過樣本容量變不利趨勢(shì)為有利趨勢(shì)，不要落入決策陷阱.

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