鄭 春 茂

（國家林業(yè)局華東林業(yè)調(diào)查規(guī)劃設(shè)計(jì)院 浙江杭州 310019）

1 加權(quán)回歸的概念

假定隨機(jī)變量y與x滿足下列模型：

式中：y為應(yīng)變量；x位自變量；ε表示回歸模型的誤差項(xiàng)。采用普通回歸建立模型的先決條件，誤差項(xiàng)ε必須滿足“零數(shù)學(xué)期望、獨(dú)立、等方差”3個(gè)基本假設(shè)，才能獲得模型的最優(yōu)估計(jì)。而誤差項(xiàng)的方差經(jīng)常會隨著自變量的變化，產(chǎn)生規(guī)律性的增加或減少，回歸模型不滿足“等方差”的條件，也就是回歸模型存在異方差性，就不能獲得最優(yōu)估計(jì)。

為解決誤差項(xiàng)ε的異方差性問題，應(yīng)設(shè)法校正原有的模型，使校正后的模型其誤差項(xiàng)具有常數(shù)方差，而模型的校正取決于方差與自變量xi之間的關(guān)系。假設(shè) εi的方差與xi的函數(shù)呈比例關(guān)系，即：

這里2σ 是一個(gè)有限常數(shù)。于是用去除原有模型，可使新模型的誤差項(xiàng)具有常數(shù)方差。用這種變換后的模型進(jìn)行回歸估計(jì)，即為加權(quán)最小二乘法，簡稱加權(quán)回歸。

2 權(quán)函數(shù)的變換

明確了權(quán)函數(shù)的結(jié)構(gòu)式以后，需要將生物量模型進(jìn)行變換，要求模型變換后實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)誤差（σ）最小，使用表達(dá)式描述為：

上式可以化為：

從（5）式可以看出，系統(tǒng)誤差最小的理想情況為：

也就是滿足下面表達(dá)式為最佳：

其中，f(x)為普通回歸的擬合值；M為樣本觀察值；D為胸徑；H 為樹高；V為材積。

3 實(shí)例分析

生物量建模數(shù)據(jù)，按樣本的部位可以分解為樹干、樹枝、樹葉和樹根，要求各部位單獨(dú)建立回歸模型，樣本樹枝的生物量因生長環(huán)境的不同，差異明顯，使用普通回歸的擬合結(jié)果存在異方差性，故選取2010年櫟類樹枝樣本數(shù)據(jù)，采用加權(quán)回歸估計(jì)，并對估計(jì)結(jié)果進(jìn)行分析和對比。普通回歸和加權(quán)回歸擬合過程使用中國林業(yè)科學(xué)院編制的軟件ForStat 2.0版。

3.1 回歸結(jié)果

實(shí)際用于生物量建模的櫟類樹枝樣本數(shù)量n=145，自由度p=3，使用回歸模型結(jié)構(gòu)式為：

其中，M表示生物量、D為樣本胸徑、H 為樹高、V為材積。

普通回歸的擬合結(jié)果如下：

附表一 普通回歸擬合結(jié)果表

按普通回歸擬合結(jié)果建立的回歸方程，可以計(jì)算櫟類樹枝生物量的擬合值由此可以建立櫟類樹枝的回歸方程：，再將生物量觀察值與擬合值相除，其結(jié)果作為加權(quán)回歸的觀察值：

根據(jù)權(quán)函數(shù)的變換方法，可以將回歸模型結(jié)構(gòu)式調(diào)整為：

按此模型結(jié)構(gòu)式進(jìn)行回歸計(jì)算，得到加權(quán)回歸擬合結(jié)果：

附表二 加權(quán)回歸擬合結(jié)果表

加權(quán)回歸參數(shù)應(yīng)用于普通回歸方程，建立櫟類樹枝的加權(quán)回歸方程：

3.2 回歸模型指標(biāo)評價(jià)

有許多指標(biāo)對回歸模型的擬合結(jié)果進(jìn)行評價(jià)，現(xiàn)選擇總相對誤差、總系統(tǒng)誤差、平均相對誤差、預(yù)估誤差、復(fù)相關(guān)系數(shù)等作為評價(jià)指標(biāo)，對普通回歸和加權(quán)回歸的擬合結(jié)果進(jìn)行分析對比，計(jì)算公式如下：

平均相對誤差：

預(yù)估誤差：

復(fù)相關(guān)系數(shù)：

各項(xiàng)指標(biāo)具體的計(jì)算結(jié)果如下：

附表三 回歸模型評價(jià)指標(biāo)

從表中分析，采用加權(quán)回歸，擬合結(jié)果的總相對誤差、總系統(tǒng)誤差、平均相對誤差指標(biāo)不同程度下降，而預(yù)估誤差、復(fù)相關(guān)系數(shù)等指標(biāo)有所提高，說明使用模型本身構(gòu)造權(quán)函數(shù)對模型的變換，不僅消除了普通回歸存在的異方差性，同時(shí)可以提高模型擬合結(jié)果的質(zhì)量。

[1] 唐守正.多元統(tǒng)計(jì)分析方法.北京：中國林業(yè)出版社,1984.

[2] 張會儒，唐守正，胥輝.關(guān)于生物量模型中異方差問題.林業(yè)資源管理，1999，01.

[3] 曾偉生，駱期邦，賀東.論加權(quán)回歸與建模.林業(yè)科學(xué),1999，35.