李 恒，張友安，于進(jìn)勇，李新輝

（1.海軍航空工程學(xué)院控制工程系，山東 煙臺(tái) 264001；2.71901部隊(duì)，山東 聊城 252000）

目前，控制分配方法主要包括非優(yōu)化的控制分配方法和優(yōu)化的控制分配方法兩大類(lèi)。非優(yōu)化的控制分配方法一般具有計(jì)算量小、工程易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但缺少對(duì)操縱面偏轉(zhuǎn)有效性的評(píng)估，不能充分利用各操縱面的操縱效率，如直接分配法[1]、廣義逆法[2]和串接鏈法[3]等；優(yōu)化的控制分配方法能夠綜合考慮操縱面的氣動(dòng)效率、位置約束和速率約束等因素，但計(jì)算量較大，很難滿足工程應(yīng)用的實(shí)時(shí)性要求，如線性規(guī)劃[4]、二次規(guī)劃[5]、序列二次規(guī)劃法[6]、動(dòng)態(tài)分配法[7]、多目標(biāo)非線性規(guī)劃法[8]等。

上述方法將控制分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，其主要優(yōu)點(diǎn)是將控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程模塊化，缺點(diǎn)是計(jì)算量大，并且沒(méi)有考慮控制分配的穩(wěn)定性以及采用控制分配后閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]針對(duì)水面艦船的非線性控制分配問(wèn)題，利用控制李雅普諾夫方法設(shè)計(jì)基于優(yōu)化的動(dòng)態(tài)非線性分配方法，該方法保證了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，但并不能保證控制分配的穩(wěn)定性，也沒(méi)有考慮執(zhí)行器的約束。

本文基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和不變集定理，考慮操縱面的位置約束，對(duì)多操縱面飛機(jī)設(shè)計(jì)一個(gè)由上層控制律和動(dòng)態(tài)控制分配律組成的非線性控制器，并保證上層控制子系統(tǒng)、動(dòng)態(tài)控制分配子系統(tǒng)和整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)都是漸近穩(wěn)定的，對(duì)某多操縱面飛機(jī)的仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

當(dāng)不考慮飛機(jī)操縱面偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的氣動(dòng)力時(shí)，多操縱面飛機(jī)控制分配的任務(wù)是將期望的三維控制力矩合理地分配給各個(gè)操縱面。由于各個(gè)操縱面具有較強(qiáng)的耦合效應(yīng)和非線性特性，操縱面的偏轉(zhuǎn)與其生成的控制力矩不再是線性關(guān)系，因而需要采用非線性控制分配。具有m(m＞3)個(gè)操縱面飛機(jī)的非線性動(dòng)力學(xué)方程為：

操縱面的位置約束可描述為：

式(2)中：uimax、uimin分別為第i個(gè)操縱面的最大和最小偏轉(zhuǎn)角，umin=[u1min,u2min,…,ummin]T，umax=[u1max,u2max,…,ummax]T。

控制的目的是使系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定跟蹤給定期望軌跡 xd(t)。采用控制分配方法，視期望力矩 τd為虛擬控制，則系統(tǒng)(1)變?yōu)椋?/p>

控制器設(shè)計(jì)分兩步：第1步設(shè)計(jì)虛擬控制律 τd，使系統(tǒng)(3)的狀態(tài)x 漸近穩(wěn)定跟蹤期望軌跡 xd(t)；第2步設(shè)計(jì)漸近穩(wěn)定控制分配律，將 τd按式(4)的要求合理地分配給每個(gè)操縱面 δi，i=1,2,…,m。通過(guò)上述兩步設(shè)計(jì)方法得出操縱面偏轉(zhuǎn)量u后，還需要進(jìn)一步驗(yàn)證整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

在設(shè)計(jì)控制器前，不失一般性，先作如下假設(shè)。

假設(shè)1：期望軌跡 xd(t)是二階連續(xù)可微的，則、存在。

假設(shè)2：期望力矩 τd在力矩可達(dá)集內(nèi)，即滿足式(4)的u 存在。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 虛擬控制律設(shè)計(jì)

定義跟蹤誤差 xe=x?xd，取李雅普諾夫函數(shù)

對(duì)其沿式(3)求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)有

取虛擬控制律

式中，K為3×3 維常數(shù)正定對(duì)角矩陣。

將式(7)代入式(6)有

由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理知x 漸近趨近于 xd。

2.2 控制分配律設(shè)計(jì)

下面來(lái)設(shè)計(jì)控制分配律，使得虛擬控制律(7)在操縱面位置約束下滿足式(4)?？紤]性能指標(biāo)函數(shù)J (x,u)，則控制分配問(wèn)題可用以下的混合約束優(yōu)化問(wèn)題來(lái)描述：

定義

于是問(wèn)題(9)等價(jià)于

對(duì)等式約束優(yōu)化問(wèn)題(11)，采用拉格朗日松弛法求最優(yōu)解，取拉格朗日函數(shù)為：

式中，λ∈R3，η∈ Rm為松弛變量。

定義最優(yōu)集

下面來(lái)設(shè)計(jì)控制分配律，使得(u,λ,η)是收斂至集合Ωuλη。

取李雅普諾夫型函數(shù)

對(duì)其求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，則

取控制分配更新律σ為小的正數(shù)，當(dāng)σ足夠小時(shí)，

將式(17)代入式(16)得

式中：Γ為(2m+3)×(2 m+3)維常值正定對(duì)角矩陣，

定理1：(控制分配子系統(tǒng)穩(wěn)定性)在假設(shè)1和假設(shè)2的條件下，控制分配子系統(tǒng)(17)的狀態(tài)(u,λ,η)漸近收斂至最優(yōu)集Ωuλη。

證明：由式(18)得于是

設(shè)t=T時(shí)，(u,λ,η)到達(dá)Ωuλη，則t ≥T時(shí)，可知，集合Ωuλη為系統(tǒng)(17)的不變集。由LaSalle 不變集定理[11]知，(u,λ,η)漸近收斂至Ωuλη。

2.3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性

在得到虛擬控制律(7)和控制分配律(17)后，需要考慮由式(1)和式(17)組成的整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。定義集合

則下述定理成立。

定理2：(閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性)考慮系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(17)，在假設(shè)1和假設(shè)2的條件下，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài) (x,u,λ,η)漸近收斂至集合Ωxuλη。

證明：取李雅普諾夫函數(shù)對(duì)其求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，則

后面的證明過(guò)程同定理1。

3 仿真算例

方程為[12]：

式中，操縱面偏轉(zhuǎn)約束為uimin=?15°、uimax=15°，i=1,2,…,m。

選取參考輸入為(單位(°)/s)：rc(t)=0；

期望軌跡 xd(t)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)通過(guò)對(duì)參考輸入 xc(t)進(jìn)行二階濾波得到。濾波器傳遞函數(shù)為：其中，ωi=5為自然頻率，ξi=0.707為阻尼系數(shù)。

仿真初始條件為：λ(0)=0m×1，η(0)=0m×1；控制器增益為K=5I3，Γ=10 I2m+3；Au=10?3I3，σ=10?6。仿真結(jié)果如圖1～4所示。

圖1 p、q、r 跟蹤性能

某型具有 m=6個(gè)操縱面飛機(jī)的非線性動(dòng)力學(xué)

圖2 各個(gè)控制面偏轉(zhuǎn)角變化曲線

圖3 松弛變量λ變化曲線

圖4 松弛變量η變化曲線

由仿真結(jié)果可知，本文所設(shè)計(jì)的控制律和控制分配律能使多操縱面飛機(jī)的角速度 p、q、r 很好地跟蹤期望軌跡。隨著λ 趨于穩(wěn)定，飛機(jī)的轉(zhuǎn)矩達(dá)到期望轉(zhuǎn)矩。t=6.18 s時(shí)，控制面偏轉(zhuǎn)角 δ1、δ2、δ3、δ4到達(dá)飽和，此時(shí) η1、η2、η3、η4不再為零，其作用是使飽和的控制面盡量減小，為達(dá)到期望轉(zhuǎn)矩，需要增加 δ5、δ6偏轉(zhuǎn)角，為此，λ 也相應(yīng)變化。

4 結(jié)論

針對(duì)多操縱面飛機(jī)具有冗余操縱面的特點(diǎn)，本文基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和LaSalle 不變集定理，設(shè)計(jì)了一種由上層虛擬控制律和控制分配更新律組成的非線性控制方法。該方法能同時(shí)保證上層虛擬控制子系統(tǒng)、控制分配子系統(tǒng)和整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，并能有效處理操縱面偏轉(zhuǎn)角的位置約束。對(duì)某型多操縱面飛機(jī)的仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性。

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