王英波，黃其濤，鄭書(shū)濤，韓俊偉，許宏光

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

與串聯(lián)機(jī)器人相比，并聯(lián)機(jī)器人具有更高的推重比、結(jié)構(gòu)剛度、控制精度和更低的慣性等優(yōu)點(diǎn)，因此得到了廣泛關(guān)注［1-3］.六自由度并聯(lián)機(jī)器人呈八面體結(jié)構(gòu)，具有六路相同的驅(qū)動(dòng)分支，被廣泛應(yīng)用于高精度運(yùn)動(dòng)模擬器、空間對(duì)接機(jī)構(gòu)、球形射電望遠(yuǎn)鏡和機(jī)床等眾多領(lǐng)域［4］.六自由度并聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型的優(yōu)化設(shè)計(jì)和高精度控制策略的制定都需要考慮其動(dòng)力學(xué)特性，所以其動(dòng)力學(xué)建模與分析至關(guān)重要.動(dòng)力學(xué)分為2個(gè)方面:正動(dòng)力學(xué)和逆動(dòng)力學(xué)［5］.對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人，許多學(xué)者提出了多種方法來(lái)研究其動(dòng)力學(xué)特性［6-10］，其中最流行的方法仍然是牛頓-歐拉法和拉格朗日法.凱恩方法是一種高效的剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法，其融合了牛頓-歐拉法和拉格朗日法的優(yōu)點(diǎn)，也被用于推導(dǎo)并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程［11］.

雖然上述方法能夠得到并聯(lián)機(jī)器人的正/逆動(dòng)力學(xué)方程，但基于上述方法的計(jì)算機(jī)模型卻沒(méi)有建立、描述和討論，這導(dǎo)致了模型的驗(yàn)證不夠嚴(yán)密，充分的動(dòng)力學(xué)分析也是不可能的.計(jì)算機(jī)建模方法是一種非常高效的建模方法，但在并聯(lián)機(jī)器人領(lǐng)域并沒(méi)有引起足夠的關(guān)注和討論.其可以將動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)內(nèi)的仿真模型，運(yùn)用仿真模型可以高效輕松的驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型和進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析.因此，采用不同的高效計(jì)算機(jī)建模方法來(lái)討論和建模動(dòng)力學(xué)模型是非常重要的，特別是用計(jì)算機(jī)來(lái)對(duì)各種動(dòng)力學(xué)原理下的動(dòng)力學(xué)方程的驗(yàn)證.

本文將六自由度并聯(lián)機(jī)器人描述成單個(gè)剛體，單剛體動(dòng)力學(xué)方程能夠充分描述整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的特性，特別是對(duì)重載運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)［12］.通過(guò)應(yīng)用凱恩方法，能夠直接得到帶有6個(gè)變量的顯式動(dòng)力學(xué)方程.在對(duì)這些方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q之后，就能夠得到計(jì)算機(jī)建模所需的矩陣形式的動(dòng)力學(xué)方程.利用Simulink在矩陣和向量運(yùn)算方面的優(yōu)勢(shì)，將六自由度并聯(lián)機(jī)器人矩陣形式的動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)內(nèi)的模型;為了驗(yàn)證Simulink中模型的正確性，采用另一種剛體建模軟件SimMechanics在計(jì)算機(jī)中重新構(gòu)建并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)兩種計(jì)算機(jī)模型的仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析.

1 系統(tǒng)描述

Stewart并聯(lián)機(jī)器人由一個(gè)動(dòng)平臺(tái)和一個(gè)固定基礎(chǔ)通過(guò)6個(gè)相同的支腿并列連接構(gòu)成，如圖1所示.

圖1 六自由度并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Configuration of six-dof parallel manipulator

1.1 笛卡爾坐標(biāo)系

恰當(dāng)?shù)倪x擇坐標(biāo)系能夠得到并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的顯式形式的方程，這對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析、構(gòu)型設(shè)計(jì)和控制設(shè)計(jì)都非常重要.不僅對(duì)實(shí)時(shí)控制有益，而且使構(gòu)型設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析更清楚易懂.圖2描述了笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)，坐標(biāo)系OU-XUYUZU是體坐標(biāo)系，固定在動(dòng)平臺(tái)上;坐標(biāo)系OL-XLYLZL是慣性坐標(biāo)系.沿XL-YL-ZL3個(gè)軸的平動(dòng)在慣性坐標(biāo)系中表示為q1、q2、q3;轉(zhuǎn)動(dòng)表示為q4、q5、q6，是平臺(tái)沿瞬時(shí)軸XU，YU，ZU的歐拉角.體坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系在初始位置qi=0(i=1，…，6)相互重合.Lli(i=1，…，6)是第i個(gè)驅(qū)動(dòng)器長(zhǎng)度，Uai(i= 1，…，6)是{U}坐標(biāo)系下的上鉸點(diǎn)坐標(biāo)向量，Lbi(i=1，…，6)是{L}坐標(biāo)系下的下鉸點(diǎn)坐標(biāo)向量.

圖2 并聯(lián)機(jī)器人笛卡爾坐標(biāo)系Fig. 2 Cartesian coordinatie systems of the parallel manipulator

1.2 變換關(guān)系

向量從體坐標(biāo)系變換到慣性坐標(biāo)系滿足一定的變換關(guān)系.以上鉸點(diǎn)坐標(biāo)向量Uai(i=1，…，6)為例，其在體坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系中的表達(dá)形式滿足式(1)關(guān)系:

式中:LRU∈R3×3是從體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其用歐拉角描述，如式(2)所示，式中“c”代表“cos”，“s”代表“sin”.

1.3 偏速度和偏角速度

2 動(dòng)力學(xué)模型

2.1 動(dòng)力學(xué)方程

采用凱恩方法，機(jī)械系統(tǒng)的單剛體的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

廣義主動(dòng)力Fact和廣義慣性力F*分別是并聯(lián)機(jī)器人主動(dòng)力/力矩和慣性力/力矩在慣性坐標(biāo)系{L}中的投影.

顯然，并聯(lián)機(jī)器人的任何運(yùn)動(dòng)都可以分解成直線運(yùn)動(dòng)和角運(yùn)動(dòng).相對(duì)慣性坐標(biāo)系，并聯(lián)機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)的主動(dòng)力LFact∈R3和慣性力LFinel∈R3表示為方程(5)和方程(6).

在坐標(biāo)系{L}中，并聯(lián)機(jī)器人的角運(yùn)動(dòng)的主動(dòng)力矩和慣性力矩表示為

合并方程(4)～(8)，得到對(duì)坐標(biāo)系{L}的完整的并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程表示為

方程(9)左邊是負(fù)的廣義慣性力，的右邊是廣義主動(dòng)力，系數(shù)矩陣表示為

式中:M是質(zhì)量矩陣;mp是平臺(tái)和負(fù)載的總質(zhì)量;C是向心項(xiàng)和柯氏力項(xiàng)矩陣;G是重力項(xiàng)矩陣;g是重力加速度是角速度向量ω對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)矩陣，其表達(dá)式如(14)所示.是平臺(tái)廣義速度和作動(dòng)器速度間的雅克比矩陣.Fa是支腿輸出力;單位作動(dòng)器長(zhǎng)度矩陣由構(gòu)成單位長(zhǎng)度向量的計(jì)算如(15)所示.

2.2 Simulink中的動(dòng)力學(xué)模型

得到動(dòng)力學(xué)方程后，可以在Simulink環(huán)境下構(gòu)建空間六自由度并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型.Simulink是一種按照給定方程來(lái)對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和分析的計(jì)算機(jī)輔助方法，是一種方塊圖建模環(huán)境，可進(jìn)行剛體系統(tǒng)的工程設(shè)計(jì)和仿真，并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析.Simulink環(huán)境下六自由度并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示.

圖3 六自由度并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of six-dof parallel manipulator in Simulink

2.3 SimMechanics中的動(dòng)力學(xué)模型

SimMechanics是一種物理建模方法，可按照物理學(xué)原理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模和設(shè)計(jì).Simulink模塊代表對(duì)信號(hào)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而SimMechanics中的模塊代表的是物理成分和關(guān)系.為了驗(yàn)證空間六自由度并聯(lián)機(jī)器人在Simulink中的動(dòng)力學(xué)模型的正確性，并提供一種可供選擇的高效的計(jì)算機(jī)輔助建模方法，參照空間六自由度并聯(lián)機(jī)器人的物理關(guān)系，在SimMechanics環(huán)境中重新建立其動(dòng)力學(xué)模型，如圖4所示.

圖4 SimMechanics中的動(dòng)力學(xué)模型Fig.4 Dynamic model in SimMechanics

3 結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證空間六自由度并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的正確性并分析其動(dòng)力學(xué)特性，設(shè)計(jì)了基于鉸點(diǎn)空間的經(jīng)典PID控制策略，在Simulink模型和Sim-Mechanics模型中的控制參數(shù)是完全相同的.控制方框圖如圖5所示，一個(gè)具體的六自由度并聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型參數(shù)在表1中給出.選用基于四階和五階隆格-庫(kù)塔解法的固定步長(zhǎng)(采樣時(shí)間1或2ms)‘ode4’解法器來(lái)求解兩個(gè)模型的非線性系統(tǒng)微分方程.

圖5 并聯(lián)機(jī)器人在Simulink和SimMechanics中的控制方框圖Fig.5 Control blocks for the parallel manipulator in Simulink and SimMechanics

定義逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，用期望軌跡Θdes來(lái)計(jì)算期望的支腿位移x/des，此法用于求解空間并聯(lián)機(jī)器人閉式解直接易懂.并聯(lián)機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)是用一組已知的支腿長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算平臺(tái)的廣義姿態(tài)Θ，與逆運(yùn)動(dòng)學(xué)不同，正運(yùn)動(dòng)學(xué)的在線計(jì)算非常困難.所幸，此問(wèn)題已在文獻(xiàn)［4］已經(jīng)得到了解決.2個(gè)PID控制器的輸入是理想支腿長(zhǎng)度和實(shí)際支腿長(zhǎng)度xl之差，同時(shí)，其輸出是作動(dòng)器的輸出力，以驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人.

表1 并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Parameters of the parallel manipulator

忽略支腿的質(zhì)量和慣性，六自由度并聯(lián)機(jī)器人可以看作是單剛體系統(tǒng)，這種簡(jiǎn)化特別適用于重負(fù)載和輕支腿的情況［12］.文中，假設(shè)六自由度并聯(lián)機(jī)器人支腿的質(zhì)量和慣性遠(yuǎn)小于動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量和慣性，并且構(gòu)型參數(shù)是精確的.因此，控制系統(tǒng)是一個(gè)沒(méi)有不確定性的系統(tǒng).此外，數(shù)學(xué)模型能夠代表并聯(lián)機(jī)器人的物理系統(tǒng).對(duì)于計(jì)算機(jī)中并聯(lián)機(jī)器人的2個(gè)動(dòng)力學(xué)模型，其對(duì)應(yīng)的2個(gè)控制系統(tǒng)的控制參數(shù)是相同的，只是控制對(duì)象不同而已.仿真中，PID增益Kp、Ki、Kd分別設(shè)定為3×10－7、0和0.

在2個(gè)控制系統(tǒng)中施加可變振幅和頻率的升沉運(yùn)動(dòng)，其能夠激起六自由度并聯(lián)機(jī)器人在升沉方向的局部動(dòng)力學(xué)特性.如果控制系統(tǒng)的響應(yīng)是相同的，能夠得到結(jié)論:用2種方法在計(jì)算機(jī)中建立的動(dòng)力學(xué)模型是相同的.期望的軌跡可以描述為

從規(guī)劃的角度看，Simulink中對(duì)于不考慮支腿和摩擦影響的理想空間六自由度并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)，作動(dòng)器輸出力和支腿的實(shí)際位移應(yīng)該是相同的.此外，系統(tǒng)只存在升沉運(yùn)動(dòng).圖6(a)給出了輸出力，圖6(b)～(d)分別描述了在Simulink中并聯(lián)機(jī)器人的響應(yīng).

如圖6所示，作動(dòng)器輸出力、支腿位移、并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)的廣義輸出位移與上面的假設(shè)完全一致.因此，從簡(jiǎn)化但不充分的角度來(lái)看，采用凱恩方法在Simulink中建立的動(dòng)力學(xué)模型是正確的.

為了充分驗(yàn)證Simulink中的動(dòng)力學(xué)模型，并且提供另一種計(jì)算機(jī)輔助方法來(lái)建模和分析空間并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)，可在SimMechanics中重新建立并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型.此外，該方法也可用于建模其他機(jī)械系統(tǒng).基于SimMechanics建立六自由度并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型.采用同樣的增益、正/逆動(dòng)力學(xué)參數(shù)和期望軌跡方程(1)，圖7給出了SimMechanics中的作動(dòng)器輸出力，圖8給出了在SimMechanics中的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線.

圖6 在Simulink中動(dòng)力學(xué)模型對(duì)期望軌跡的輸入/輸出Fig.6 Inputs/outputs of the dynamic model in Simulink to the desired trajectory

圖7 Simulink和SimMechanics中動(dòng)力學(xué)模型的作動(dòng)器輸出力對(duì)比Fig.7 Comparison of actuator output forces of dynamics in both Simulink and SimMechanics

圖8 Simulink和SimMechanics中動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)比Fig.8 Comparison of responses for dynamics in Simulink and SimMechanics

對(duì)比采用凱恩方法在 Simulink和在 SimMechanics中的動(dòng)力學(xué)可以看到，在SimMechanics的響應(yīng)，包括所有的支腿位移、速度、運(yùn)動(dòng)平臺(tái)升沉方向的運(yùn)動(dòng)，與在Simulink中的響應(yīng)是一樣的.以作動(dòng)器輸出力作為輸入得到一系列的支腿位移和速度，從而得到并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型在SimMechanics中的升沉方向的運(yùn)動(dòng)，其與在Simulink中得到的運(yùn)動(dòng)完全一致.而且，在相同輸入的情況下，Simulink和SimMechanics中的動(dòng)力學(xué)模型能夠得到相同的響應(yīng)，即在升沉方向的一個(gè)變頻率信號(hào).因此，采用凱恩方法在Simulink中建立的動(dòng)力學(xué)模型用SimMechanics中的模型得到了驗(yàn)證.此外，通過(guò)采用相同的控制系統(tǒng)，2個(gè)動(dòng)力學(xué)模型的正確性也得到了相互驗(yàn)證.采用相同的方法，可通過(guò)對(duì)比考慮和不考慮支腿兩種情況的結(jié)果分析支腿對(duì)并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的影響.

4 結(jié)束語(yǔ)

采用2種不同的計(jì)算機(jī)輔助方法深入研究了空間六自由度并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題.為了簡(jiǎn)化分析和得到并聯(lián)機(jī)器人的顯式動(dòng)力學(xué)方程而定義了坐標(biāo)系.基于定義的坐標(biāo)系，采用凱恩方法得到了一個(gè)比較清晰的六自由度并聯(lián)機(jī)器人單剛體動(dòng)力學(xué)方程.按照動(dòng)力學(xué)方程，應(yīng)用Simulink的矩陣和向量運(yùn)算來(lái)求解方程和他們的系數(shù)矩陣，包括變換、反解、LU分解和歸一化.另一方面，按照物理關(guān)系應(yīng)用SimMechanics建立六自由度并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程.在相同的經(jīng)典PID控制系統(tǒng)以同樣的條件執(zhí)行這兩種以不同方法建立的計(jì)算機(jī)模型，從而通過(guò)對(duì)比結(jié)果印證了應(yīng)用凱恩方法在Simulink環(huán)境中的動(dòng)力學(xué)模型的有效性和正確性.而且，基于給出的2種計(jì)算機(jī)輔助建模方法也可以建立驅(qū)動(dòng)支腿動(dòng)力學(xué)模型，從而建立考慮驅(qū)動(dòng)支腿影響的空間六自由度并聯(lián)機(jī)器人多剛體動(dòng)力學(xué)模型，并可對(duì)多剛體動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行充分的分析和驗(yàn)證.此外，在計(jì)算機(jī)中采用給出的計(jì)算機(jī)輔助建模方法也可對(duì)其他類型的機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行建模與分析.

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