劉海龍，李 隆，史小平

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001）

0 引 言

本文的研究對象是具有大慣量，且?guī)в袉我泶笮蛽闲蕴柲芊宓娜S穩(wěn)定衛(wèi)星，為了實(shí)現(xiàn)對日定向，需要太陽能帆板繞俯仰軸旋轉(zhuǎn)，從而影響衛(wèi)星的三軸穩(wěn)定，需要對衛(wèi)星的姿態(tài)進(jìn)行主動控制。

在對系統(tǒng)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)時，為考慮其主要矛盾，在設(shè)計(jì)時往往使用系統(tǒng)的簡化模型或?qū)δＰ瓦M(jìn)行線性化處理，從而引進(jìn)了系統(tǒng)的未建模動態(tài)。而由于衛(wèi)星中的燃料消耗以及太陽能帆板的轉(zhuǎn)動等因素則會造成衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量的變化，從而使得系統(tǒng)具有參數(shù)不確定性。此外，重力梯度力矩、太陽光壓力矩、飛輪安裝誤差造成的力矩、撓性附件耦合力矩以及驅(qū)動太陽能帆板轉(zhuǎn)動時的驅(qū)動力矩等，作為干擾源也為系統(tǒng)引入了不確定性［1－2］。

本文基于H∞控制理論，針對系統(tǒng)中存在的不確定性進(jìn)行了控制器的設(shè)計(jì)，并對系統(tǒng)進(jìn)行了仿真研究，結(jié)果表明采用H∞控制器較傳統(tǒng)PID控制器具有更好的魯棒穩(wěn)定性和抗干擾性。

1 模型的建立

1.1 反作用飛輪下的動力學(xué)方程

在衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)中，反作用飛輪參與下的衛(wèi)星動力學(xué)方程可由如下方程描述［3］：

式中I＝ ［Ix，Iy，Iz］T，Ω＝ ［Ωx，Ωy，Ωz］T分別為飛輪的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)速；Tx，Ty，Tz為外力矩。

考慮到衛(wèi)星軌道角速度的數(shù)值較小，如果忽略其影響，即忽略三軸耦合作用的影響，并且這里假定衛(wèi)星的角速度也很小，此時，則可忽略二階小量及滾動、俯仰、偏航軸之間的耦合作用，式 （1）可化簡為：

1.2 衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的簡化模型

由式 （2）可知，帶飛輪的系統(tǒng)動力學(xué)方程，經(jīng)合理假設(shè)和線性化處理可簡化為三軸解耦的形式。從而將3個回路視為單輸入單輸出系統(tǒng)分別進(jìn)行設(shè)計(jì)。本文以俯仰控制回路為例進(jìn)行設(shè)計(jì)，對于滾動控制回路和偏航控制回路可按類似的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)［4］。下面給出俯仰控制回路的系統(tǒng)框圖，見圖1。

由圖1可見，衛(wèi)星姿態(tài)的俯仰軸控制回路主要由4部分構(gòu)成：能提供衛(wèi)星俯仰軸姿態(tài)信息的姿態(tài)敏感器、俯仰軸回路控制器、反作用飛輪及撓性衛(wèi)星的動力學(xué)環(huán)節(jié)組成。

其中，衛(wèi)星剛體部分的傳遞函數(shù)用G0（s）表示，即：

式中Iy為衛(wèi)星本體繞俯仰軸的轉(zhuǎn)動慣量。

圖1 俯仰軸控制回路簡化框圖Fig.1 Simplified block diagram for the pitch control loop

衛(wèi)星的撓性環(huán)節(jié)部分可以視為在非約束模態(tài)下，由撓性結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)相疊加組成，其動力學(xué)特性由式 （4）給出：

式中n為撓性結(jié)構(gòu)模態(tài)的階數(shù)；Ki，ρi，Λi分別為撓性結(jié)構(gòu)第i階模態(tài)所對應(yīng)的模態(tài)增益，模態(tài)阻尼比及模態(tài)頻率。

姿態(tài)敏感器的傳遞函數(shù)為：

式中Ks為敏感器的增益；1／ωs定義為敏感器的時間常數(shù)。

工作在轉(zhuǎn)速模式下的反作用飛輪經(jīng)過簡化處理，其傳遞函數(shù)可表示為：

式中Ku和Tu分別為反作用飛輪的增益和時間常數(shù)。

在本文的設(shè)計(jì)當(dāng)中，將衛(wèi)星的撓性環(huán)節(jié)視為乘性不確定性處理，而除控制器以外的其它各環(huán)節(jié)則組成了所謂的名義被控對象，用G （s）表示，即：

2 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制模型的建立

考慮圖1中的俯仰軸控制回路簡化框圖，設(shè)被控對象具有乘性不確定性［5］，即：

如圖2所示，考察攝動界函數(shù)為W2（s）的干擾w1的干擾抑制問題。

圖2 姿態(tài)系統(tǒng)的干擾抑制問題Fig.2 Interference suppression problem of attitude system

在圖2中，攝動Δ的輸入為z2，輸出為w1；z1為評價輸出；y，u分別為控制器的輸入和輸出；W1，W2為加權(quán)函數(shù)。

首先，為保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，應(yīng)滿足式（9）所示的不等式：

其次，為實(shí)現(xiàn)對干擾的抑制，需滿足式 （10）所示的不等式：

定義 S＝（I－KG）－1，

分別稱為系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)和補(bǔ)靈敏度函數(shù)，滿足S＋T＝I。則式（9）與式（10）所對應(yīng)的H∞優(yōu)化問題為：

為滿足DJKF解法中對廣義被控對象秩的要求［6］，本文在控制器的輸入端引入一個很小的擾動w2，可取W3＝10－6。且在選取加權(quán)函數(shù)W2時，應(yīng)注意使其分子與分母階次相同，從而保證其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)中含有直通項(xiàng)D12。

此時可求得系統(tǒng)的廣義被控對象為：

上述干擾抑制問題可等效為如圖3所示的標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題，其中虛線框內(nèi)為廣義被控對象。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題框圖Fig.3 Standard H∞control problem block diagram

至此，已經(jīng)建立起標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題框圖，為下節(jié)通過選取加權(quán)函數(shù)進(jìn)行控制器的求解做好了鋪墊［7－8］。

3 控制器的求解

本文使用文獻(xiàn) ［9］所提供的衛(wèi)星參數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真，各衛(wèi)星參數(shù)為：

由以上參數(shù)可以求得名義被控對象為：

所使用飛行器撓性參數(shù)見表1。

撓性部件的各階模態(tài)增益、模態(tài)阻尼比及模態(tài)頻率可由理論計(jì)算得到，其中：

式中i為撓性模態(tài)階數(shù)，也即表1中的行數(shù)。

經(jīng)計(jì)算可得撓性部件各階模態(tài)的參數(shù)。

表1 飛行器撓性參數(shù)Table 1 Flexible parameters of spacecraft

W1是代表系統(tǒng)干擾抑制性能的加權(quán)函數(shù)，本文的設(shè)計(jì)中要求控制器應(yīng)包含有伺服補(bǔ)償器也即積分環(huán)節(jié)，故W1應(yīng)包含積分環(huán)節(jié)。為了照顧控制器中頻段的頻率特性，使積分環(huán)節(jié)不致影響其中頻段特性，假設(shè)要求在0.2rad／s處積分規(guī)律應(yīng)開始衰減掉［10］，所以綜合以上分析，可選定加權(quán)函數(shù)為：

式中0.000 1是為了保證虛軸上無極點(diǎn)也即其對應(yīng)的Riccati方程可解而引入的微小攝動；a為可調(diào)參數(shù)，通常來講，在滿足H∞次優(yōu)設(shè)計(jì)問題的范數(shù)約束條件下，a一般取較大的值，以提高系統(tǒng)的干擾抑制性能。

W2是代表系統(tǒng)乘性不確定性的加權(quán)函數(shù)，要求具有低頻增益小，高頻增益大的特點(diǎn)。為減少設(shè)計(jì)的保守性，選取的W2應(yīng)基本覆蓋撓性結(jié)構(gòu)攝動后的頻率特性，本文要求所選W2可覆蓋自然頻率在±20%攝動下的頻率特性，取為：

W3是為了滿足P21（s）對秩的要求而引入的微小攝動，故W3應(yīng)取一個微小的量，本文取為：

本文取a＝500，對應(yīng)的γ＝1.006 9，此時求得的H∞控制器為：

考慮到控制器中由式 （17）引入的攝動項(xiàng)0.000 1對控制器的影響，將控制器分母（s＋1.69 ×10－5）改寫為s，則最終得到的控制器為：

4 仿真分析與對比研究

4.1 奇異值分析

圖4為表示系統(tǒng)靈敏度函數(shù)S與W1P關(guān)系的奇異值曲線，關(guān)系式‖W1GS‖≤γ代表系統(tǒng)的魯棒性能，即對干擾的抑制能力。故應(yīng)有關(guān)系式ˉσ［S（jω）］＜γˉσ［（W1（jω）G（jw））－1］成立，由圖4可見，實(shí)線在虛線下方，滿足ˉσ［S（jω）］＜γˉσ［（W1（jω）G（jw））－1］，這表明所設(shè)計(jì)的控制器滿足了系統(tǒng)對魯棒性能的要求。

圖5為表示系統(tǒng)補(bǔ)靈敏度函數(shù)T與W2關(guān)系的奇異值曲線，關(guān)系式‖W2T‖≤γ代表了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，即系統(tǒng)在乘性攝動下仍具有魯棒穩(wěn)定的特性。故應(yīng)有關(guān)系式ˉσ［T （jω）］＜γˉσ［（W2（jω）－1］成立。由圖5可見，實(shí)線在虛線的下方，滿足ˉσ［T （jω）］＜γˉσ［（W2（jω）－1］，這表明所設(shè)計(jì)控制器滿足了系統(tǒng)對魯棒穩(wěn)定性的要求。

4.2 魯棒控制器與PID控制器比較

本文取最大外干擾力矩為：

式中ω0為軌道角速度，設(shè)ω0＝0.001 08rad／s。仿真初始條件選為：θ（0）＝0.5°，θ·（0）＝0.01°／s。

圖6和圖7分別給出了魯棒控制器作用下俯仰角和俯仰角速度的調(diào)節(jié)曲線。

選定PID控制器參數(shù)為Kp＝200，Ki＝2.32，Kd＝1 000。

圖8和圖9分別給出了PID控制器作用下俯仰角和俯仰角速度的調(diào)節(jié)曲線。

圖8 PID作用下俯仰角的調(diào)節(jié)曲線Fig.8 Curve of pitch angle with PID control

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用魯棒控制理論的分析與綜合方法，對帶撓性太陽能帆板的三軸角動量飛輪式衛(wèi)星的姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并對所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)進(jìn)行檢驗(yàn)和仿真分析。解決了衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的未建模動態(tài)和參數(shù)不確定性問題，所設(shè)計(jì)控制器可兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)定性和干擾抑制性能，與PID控制器相比，H∞控制器具有更好的魯棒穩(wěn)定性與魯棒性能。

圖9 PID作用下俯仰角速度調(diào)節(jié)曲線Fig.9 Curve of pitch angle velocity with PID control

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