徐 輝，寧國強

（西安通信學院 陜西 西安 710106）

因特網(wǎng)技術(shù)是人類進入信息化社會最為關鍵的技術(shù)之一，隨著因特網(wǎng)用戶數(shù)的日益增加，業(yè)務種類越來越多，要實現(xiàn)因特網(wǎng)對用戶業(yè)務需求的良好滿足，擁塞控制是主要技術(shù)之一。從因特網(wǎng)設計的初衷來看，該網(wǎng)絡是被設計為一種“盡力而為”（Best Effort）服務，是由所有網(wǎng)絡用戶來競爭網(wǎng)絡的有限資源，但是，隨著因特網(wǎng)業(yè)務的發(fā)展和用戶數(shù)的激增，現(xiàn)在因特網(wǎng)所處環(huán)境和其設計之處，發(fā)生了巨大的變化，因特網(wǎng)需要利用有限的資源為用戶提供多樣化服務，擁塞控制機制是因特網(wǎng)滿足用戶服務需求，保證網(wǎng)絡資源合理化使用的重要手段之一，在因特網(wǎng)技術(shù)研究中一直占據(jù)重要地位。但是，由于因特網(wǎng)規(guī)模大，結(jié)構(gòu)復雜，因此，傳統(tǒng)擁塞控制多采用基于經(jīng)驗和實驗方式，使得具有很大主觀性和片面性；隨著擁塞控制技術(shù)的發(fā)展，為了提高其科學合理性，多種數(shù)學工具被引入到擁塞控制的設計中，文中對現(xiàn)有因特網(wǎng)擁塞控制機制的數(shù)學模型進行了分析，提出了一個用于因特網(wǎng)的分析和設計的統(tǒng)一的數(shù)學框架，對研究熱點問題了進行了分析和研究，為進一步研究奠定了基礎。

1 擁塞控制數(shù)學框架構(gòu)建

在因特網(wǎng)擁塞控制技術(shù)的研究中，最初采用基于采用經(jīng)驗加技巧的方式進行，由于其構(gòu)造和評價過程過于依賴試驗和仿真，所以這種方法具有很大的主觀和片面性。對因特網(wǎng)擁塞控制進行數(shù)學建模，然后根據(jù)數(shù)學模型進行設計和分析，則是較先進的方式。采用這種方式，由于將擁塞控制問題轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學模型進行求解，因而提高了算法的理論保證，同時便于為擁塞控制算法的設計提供一個統(tǒng)一的理論構(gòu)架。在因特網(wǎng)擁塞控制技術(shù)的發(fā)展中，先后有經(jīng)濟學模型、最優(yōu)化理論、博弈論和控制論等多種數(shù)學模型提出，通過對這些模型的分析發(fā)現(xiàn)，因特網(wǎng)擁塞控制的本質(zhì)是如何控制網(wǎng)絡業(yè)務接入以最優(yōu)化使用網(wǎng)絡有限資源，最大化滿足網(wǎng)絡用戶業(yè)務需求，因此，控制論和最優(yōu)化理論是因特網(wǎng)擁塞控制理論建模的關鍵，其統(tǒng)一數(shù)學架構(gòu)可由圖1所示結(jié)構(gòu)來表示。在該結(jié)構(gòu)中包括擁塞控制算法的設計和擁塞控制算法的分析兩個部分。

擁塞控制算法的設計問題就是根據(jù)最優(yōu)化模型確立擁塞控制源端算法和鏈路算法的過程。在這方面的研究中，Low[1-3]等 人 剖 析 了 常 見 的 TCPAQM策 略 （RenoDrop Tail、RenoRED、RenoREM、VegasDrop Tail和 Vega sREM），定義了一組對偶的擁塞控制算法：

其中Fs表示TCP源端算法的更新方程，Gl表示AQM鏈路算法的更新方程，qr為源端接收到的聚合定價，這樣擁塞控制算法便可以通過一個3元組（F，G，U）來描述。為每種策略定義了3元組（F，G，U），并根據(jù)每個三元組詳細討論了這些算法的具體性能在獲知擁塞控制的對偶算法式（1）后，便可根據(jù)控制論知識或優(yōu)化理論來分析該擁塞控制算法的動力學特性和均衡特性。擁塞控制的分析問題就是對當前擁塞控制進行理論分析，其關鍵之處在于根據(jù)當前的擁塞控制算法建立合適的對偶算法式（1），然后進行動力學特性和均衡分析。常見的描述擁塞控制算法的動力學特性參數(shù)有穩(wěn)定性、收斂性和可擴展性等，常見的均衡特性參數(shù)有吞吐量、丟失率、時延、排隊長度和公平性等。

圖1幾乎涵蓋了所有的理論研究和擁塞控制算法的問題，囊括了絕大多數(shù)的有關因特網(wǎng)擁塞控制建模的研究要點，但此處僅就當前研究的熱點加以介紹。

圖1 因特網(wǎng)擁塞控制數(shù)學模型的體系結(jié)構(gòu)Fig．1 Architecture of themathematicmodeling about internet congestion controlmechanism

2 因特網(wǎng)擁塞控制研究熱點分析

2.1 公平性特性的研究

有關公平性的研究一直是因特網(wǎng)擁塞控制建模領域的熱點，它表征了不同用戶使用網(wǎng)絡資源的差異，反映了因特網(wǎng)資源的配置情況。最常見的公平性準則是最大最小公平（Max-Min Fairness）或稱為瓶頸最優(yōu)準則[4]。該公平性準則給每個用戶相同的權(quán)限，確保了共享同一瓶頸的用戶能獲得相同的資源。為了表征不同的用戶在面對相同的擁塞時表現(xiàn)出不同的響應，Kelly[5]建議了一種比例公平準則（Proportional Fairness），該準則要求網(wǎng)絡資源的分布同自身的業(yè)務相關。從網(wǎng)絡傳輸時延角度考慮，文獻[6]提出了一種最小潛在時延的公平性準則（Potential Delay Minimization）。 更一般的，文獻[7]提出了一種通用公平性準則——基于效用函數(shù)的公平性，在文中，作者定義了一類特殊的效用函數(shù)：

作者指出，不同的參數(shù)α將會使網(wǎng)絡獲得不同的公平性：

α=0，網(wǎng)絡將獲得最大吞吐量的資源配置；

α=1，網(wǎng)絡將獲得比例公平的資源配置；

α=2，網(wǎng)絡將獲得最小潛在時延的資源配置；

α→∞，網(wǎng)絡的資源配置將趨近于最大最小公平。

在文獻[7]的基礎上，文獻[8]從更深層次上對公平性進行了研究并指出最優(yōu)化模型 （2）最終會使網(wǎng)絡的資源配置達到Pareto最優(yōu)[9]，并且作者還找尋到了常見公平性準則的物理意義：

最大吞吐量公平性準則會使用戶吞吐量的算術(shù)平均值（Arithmetic Mean）最大；

比例公平準則會使用戶吞吐量的幾何平均值（Geometric Mean）最大；

最小潛在時延公平準則會使用戶吞吐量的調(diào)和平均值（Harmonic Mean）最大。

對于實際因特網(wǎng)所滿足的公平性準則，Kelly[5]指出TCPAQM算法最終能使網(wǎng)絡達到加權(quán)比例公平。而Low[1]通過對偶理論的研究，指出當前的基于TCPRenoRED的因特網(wǎng)應當滿足加權(quán)最小潛在時延的公平性準則。

2.2 穩(wěn)定性的研究

穩(wěn)定性是表征網(wǎng)絡是否健壯的參數(shù)，有關因特網(wǎng)穩(wěn)定性的研究也一直是因特網(wǎng)理論研究領域的熱點。

Kelly[5]基于最優(yōu)化理論提出了一類擁塞控制框架，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析了擁塞控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

文獻 [10]使用了流的思想和隨機微分方程理論為TCPAQM擁塞控制算法建立了一個動態(tài)的微分方程系統(tǒng)：

其中，R（t）=q（t）/C+Tp，W 為 TCP 窗口，q 為擁塞隊列長度，R為RTT時間，C為排隊容量，Tp為傳輸時延，N為TCP的會話數(shù)目，p為包丟失概率。

結(jié)合上述微分動力系統(tǒng)，文獻[11]使用了經(jīng)典控制理論對擁塞控制的穩(wěn)定性進行了分析，建立了一個通用的線性時延反饋控制系統(tǒng)（圖2）。在這個模型當中，反饋控制系統(tǒng)包含有：Plant，代表一個子系統(tǒng)的組合，包括TCP源、鏈路以及TCP接收端；AQM控制器，產(chǎn)生分組丟棄概率pd作為一個控制信號來控制進入路由器隊列的分組到達速率；作為Plant變量的路由器的隊列長度（就是受控制的變量）Qt；路由器中期望的隊列長度 Qref；反饋信號（采樣的系統(tǒng)輸出）e（t）=Qref-Qt。根據(jù)這一模型，只要確定該模型中的各個要素，便會很容易的判定網(wǎng)絡的穩(wěn)定特性。

圖2 擁塞控制的線性時延反饋控制系統(tǒng)Fig．2 Linear time-delay feedback control system for internet congestion control

不同于文獻[11]的研究，Low等人建立了一個基于對偶理論的控制論模型[1]（圖3）。該模型是一個拉普拉斯域上的多變量的魯棒控制系統(tǒng)，在該模型中，源端的發(fā)送速率x同鏈路定價p互為對偶；源端接收到的聚合定價q同鏈路上的聚合速率 y互為對偶，Af（s）和 Ab（s）分別為前向和后向的傳輸矩陣，F(xiàn)（·）和G（·）分別為源端算法和鏈路算法。在文獻[12]中，Paganini使用了現(xiàn)代控制理論和奈奎斯特準則對該模型進行了討論和分析。

圖3 擁塞控制的魯棒控制系統(tǒng)Fig．3 Robust control system about internet congestion control

3 結(jié)束語

文中主要對因特網(wǎng)擁塞控制的統(tǒng)一數(shù)學構(gòu)建進行了研究，分析了其主要研究熱點，從對因特網(wǎng)進行簡單的考慮開始，到對其進行成熟的建模，這里面包含了眾多的研究成果，但是，由于因特網(wǎng)的復雜性和不斷發(fā)展，對因特網(wǎng)擁塞控制建立準確的數(shù)學模型不可能一蹴而就，還有很多問題尚待研究。對整個因特網(wǎng)的公平性、穩(wěn)定性、可擴展性的分析由于受復雜網(wǎng)絡的影響，很難進行全局的動力學理論分析。像因特網(wǎng)這樣的一個復雜的系統(tǒng)，對其分析與控制，只有通過通信、

控制、經(jīng)濟學和數(shù)學等多學科的共同努力，才有望獲得突破性的成果。

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