張 玉，魏華波

（華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，鄭州 450000）

0 引言

多屬性決策是多目標(biāo)決策的一種,它是對具有多個屬性的有限方案,按照某種決策準(zhǔn)則進(jìn)行多方案選擇和排序。它的實際應(yīng)用范圍很廣,包括社會、經(jīng)濟(jì)、管理等諸多領(lǐng)域。多屬性決策問題的許多求解方法,一般都與屬性權(quán)重有密切關(guān)系,因為權(quán)重的合理性直接影響著多屬性決策排序的準(zhǔn)確性,所以在多屬性決策中,權(quán)重問題的研究占有重要地位。

目前確定權(quán)系數(shù)的方法有多種,大體上可分為主觀賦權(quán)法和客觀賦權(quán)法兩大類[1]。主觀賦權(quán)法是基于決策者給出的主觀偏好信息或決策者直接根據(jù)經(jīng)驗給出的屬性權(quán)重的。例如專家調(diào)查法、二項系數(shù)法、AHP法等?？陀^賦權(quán)法是基于決策矩陣信息,通過建立一定的數(shù)學(xué)模型計算出權(quán)重系數(shù)的。例如熵技術(shù)法,主成分分析法,多目標(biāo)最優(yōu)化方法等。兩大類賦權(quán)方法各有不同的特點。主觀賦權(quán)法可以體現(xiàn)決策者的經(jīng)驗判斷,屬性的相對重要程度一般不會違反人們的常識。但其隨意性較大,決策準(zhǔn)確性和可靠性稍差?？陀^賦權(quán)法存在賦權(quán)的客觀標(biāo)準(zhǔn),可利用一定的數(shù)學(xué)模型,通過計算得出屬性的權(quán)重系數(shù)。其缺點是忽視了決策者的主觀知識與經(jīng)驗等主觀偏好信息,有時會出現(xiàn)權(quán)重系數(shù)不合理的現(xiàn)象。

為了使多屬性決策的排序結(jié)果更科學(xué),一種合理的做法就是將不同的賦權(quán)法所得的權(quán)重系數(shù)按照一定的方法進(jìn)行組合。通過組合賦權(quán),使排序結(jié)果既能體現(xiàn)主觀信息,又能體現(xiàn)客觀信息。文獻(xiàn)[1],[2]分別提出了一種主、客觀賦權(quán)集成方法,它們均通過建立一個數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來求解屬性組合權(quán)重。目前優(yōu)化組合賦權(quán)方法的研究還不完善,有必要進(jìn)一步探討多種準(zhǔn)則下的優(yōu)化組合賦權(quán)方法,并進(jìn)行比較分析。一種新的基于CRITIC準(zhǔn)則下的多屬性決策的最優(yōu)組合賦權(quán)方法。利用該方法對文獻(xiàn)[1]的實例進(jìn)行了計算,其結(jié)果與文獻(xiàn)[1]的結(jié)果一致,表明本文提出的最優(yōu)組合賦權(quán)方法的科學(xué)合理性。

1 基于CRITIC的多屬性決策的組合賦權(quán)方法的基本原理

設(shè)有某個多屬性決策問題,其方案集表示為S={S1, S2,...,Sm}其屬性(或指標(biāo))集表示為P={P1,P2,...,Pn},第i個方案Si對第j個屬性Pj的屬性值記為aij,i=1,2,…, m,j=1,2,…,n,A=(aij)m×n稱為屬性矩陣或決策矩陣。通常,屬性可分為效益型、成本型。所謂效益型屬性是指屬性值愈大愈好的指標(biāo),成本型屬性是指屬性值愈小愈好的指標(biāo)。由于不同的屬性往往具有不同的量綱和量綱單位,為了消除它們帶來的不可公度性,在決策之前首先應(yīng)將屬性指標(biāo)作無量綱化處理。然而,決策屬性類型不同,無量綱化處理方法也將不同。對于效益型屬性,一般可令：

對于成本型屬性，一般令 ：

式中：

上述的無量綱化處理的矩陣B=(bij)m×n稱為規(guī)范化的決策矩陣,bij表示第i個方案Si對第j個屬性Pj的規(guī)范化屬性值,矩陣B的第i行表示第i個方案Si對n個屬性值的規(guī)范值。顯然bij愈大愈好。

稱Wc=(wc1,wc2,...,wcn)T為組合權(quán)系數(shù)向量。式中θ1,θ2,...,θl為組合權(quán)系數(shù)向量的線性表示系數(shù)。θk≥0 k=1,2,…,l,且滿足約束條件:

各個指標(biāo)的客觀權(quán)重就是以對比強(qiáng)度和沖突性來綜合衡量的。設(shè)Cj表示第j個評價指標(biāo)所包含的信息量，則Cj可以表示為:

Cj越大，第j個評價指標(biāo)所包含的信息量越大，該指標(biāo)的相對重要性也就越大，所以第j個指標(biāo)的客觀權(quán)重：

2 組合賦權(quán)方法檢驗的探討

組合賦權(quán)方法理論上可以綜合集成主、客觀信息,但是還有必要探討運用多種組合賦權(quán)方法的前提條件及效果,即探討組合賦權(quán)方法的檢驗問題[4]。組合賦權(quán)方法的事前檢驗主要用來印證主、客觀賦權(quán)法的結(jié)果是否一致。這可以采用Kendall一致性系數(shù)檢驗法進(jìn)行檢驗。如果l種具體的主、客賦權(quán)方法通過一致性檢驗,結(jié)果相差不大,此時考慮到計算上的簡便性和信息的完備性,可以直接計算一種方法的算術(shù)平均[4],將其作為組合權(quán)系數(shù):

如果l種主、客賦權(quán)方法沒有通過一致性檢驗,就可以通過本文提出的基于CRITIC的多屬性決策的最優(yōu)組合賦權(quán)向量的分析結(jié)果。為了反映本文提出的組合賦權(quán)方法與其它方法的合理性,同樣有必要研究它的事后檢驗問題,可采用Spearman等級相關(guān)系數(shù)檢驗法[4]對組合賦權(quán)法進(jìn)行事后檢驗。

綜上所述,基于CRITIC法的多屬性決策的最優(yōu)組合賦權(quán)的計算步驟可歸納如下：

步驟1 由屬性矩陣A=(aij)m×n,根據(jù)式(1)式(2)計算規(guī)范化的屬性矩陣B=(bij)m×n

步驟2 采用Kendall一致性系數(shù)檢驗法對各種主、客賦權(quán)方法進(jìn)行一致性檢驗,若通過檢驗,按式(7)計算組合賦權(quán)向量Wc,轉(zhuǎn)步驟4。否則,轉(zhuǎn)下一步;

步驟3 根據(jù)CRITIC法式（5）和式（6）計算出的θ={θ1,θ2,...,θl}再根據(jù)式(3)求出歸一化的最優(yōu)組合賦權(quán)向量Wc。

步驟4 利用所求的組合權(quán)重權(quán)重Wc進(jìn)行多屬性綜合評價

步驟5 與其它方法一起進(jìn)行組合賦權(quán)方法的事后檢驗,并作對比分析。

3 應(yīng)用舉例分析

下面以文獻(xiàn)[1]中的例子的數(shù)據(jù),運用上面提出的基于CRITIC法的多屬性決策的最優(yōu)組合賦權(quán)向量的分析結(jié)果。這是一個在市場上選擇機(jī)器人的多屬性決策問題?？紤]到一個用戶要選擇機(jī)器人，其方案集為S={S1,S2,S3,S4}分別表示4個可供選擇方案；其屬性集P={P1,P2,P3,P4}即由4個屬性，它們分別是:P1表示價格($10000)；P2表示速度(m/s)；P3表示可重復(fù)性(mm)；P4表示負(fù)載能力(kg)其中P1,P3為成本型屬性，P2,P4為效益型屬性。該問題的原始決策矩A=(aij)4×4

根據(jù)式（1）和（2）計算規(guī)范化屬性矩陣B=(bij)4×4

假設(shè)第一類賦權(quán)方法為主觀賦權(quán)法,機(jī)器人用戶聘請3位專家給出關(guān)于屬性的權(quán)重(文獻(xiàn)[1])向量分別為：

假設(shè)第二類賦權(quán)方法為客觀賦權(quán)法,運用文獻(xiàn)[1]給出的客觀賦權(quán)法,可以求出4個屬性的權(quán)重向量為：

上面的4種賦權(quán)方法權(quán)重向量表明各屬性的排序有一定的差異,Kendall一致性系數(shù)檢驗的結(jié)果是4種賦權(quán)方法不具有一致性。

利用求得各個權(quán)重向量的相關(guān)系數(shù)矩陣為R：

各個權(quán)重向量的標(biāo)準(zhǔn)差為(σ)：

利用式（5）求得信息量(C)為：

再根據(jù)式（6）求得權(quán)重系數(shù)θ={θ1,θ2,...,θl}：

根據(jù)（3）式求得組合權(quán)重:

則可以計算每個方案的綜合評價值為：

排序的結(jié)果為S4＞S1＞S2＞S3,“＞”表示優(yōu)于。

文獻(xiàn)[1]的最優(yōu)組合賦權(quán)向量為Wc=[0.2733,0.2688, 0.2509,0.2100],可見本文提出的組合賦權(quán)方法和文獻(xiàn)[1]方法對4種屬性有相同的排序。因此對此市場上選擇機(jī)器人的多屬性決策問題,本文提出的方法所得的排序結(jié)果和文獻(xiàn)[1]的結(jié)果是一致的。由文獻(xiàn)[4]給出的Spearman等級相關(guān)系數(shù)計算式知,它們與原來的4種賦權(quán)方法之間具有相同的平均相關(guān)程度。實例說明了本文提出的以CRITIC法為準(zhǔn)則的最優(yōu)組合賦權(quán)方法的有效性。

4 結(jié)束語

在多屬性決策中,權(quán)重問題的研究占有重要地位。因為權(quán)重的合理性直接影響著多屬性決策排序的準(zhǔn)確性。本文給出了基于CRITIC多屬性決策的最優(yōu)組合賦權(quán)方法,它綜合了各種賦權(quán)方法的特點,可通過利用權(quán)重之間的對比強(qiáng)度和沖突性求出組合賦權(quán)系數(shù)。本文方法概念清楚、涵義明確,同時計算也不復(fù)雜。應(yīng)用舉例表明,本文方法排序結(jié)果準(zhǔn)確?？刹僮餍暂^強(qiáng),具有重要的推廣應(yīng)用價值。

[1]樊治平,張全,馬建.多屬性決策中權(quán)重確定的一種集成方法[J].管理科學(xué)報,1998,1(3).

[2]樊治平,趙萱.多屬性決策中權(quán)重確定的主客觀賦權(quán)法[J].決策與決策支持系統(tǒng),1997,7(4).

[3]D.Diakoulaki,G.Mavrotas，L.Papayannakis.Determaining Objective Weights in Multiple Crireria Paoblems:The CRITIC Method[J].Computer Ops.Res.22,1995.

[4]曾憲報.組合賦權(quán)法新探[J].預(yù)測,1997,16(5).