朱 凱 李 悅

秩和檢驗作為一種方便、有效的非參數(shù)檢驗方法，在實際中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在總體分布、參數(shù)均未知時，可以用來比較兩樣本的均值〔1〕。本文針對秩和檢驗對來自非正態(tài)總體兩樣本均值比較可能遇到準(zhǔn)確性問題，介紹可以有效解決這一問題的方法——randomized permutation test(簡稱RPT)，并運用Matlab軟件編寫程序?qū)崿F(xiàn)該方法。

RPT方法簡介

在實際應(yīng)用秩和檢驗對兩樣本均數(shù)進(jìn)行比較時，采用的方法為:首先求出樣本所有可能組合下的分布，根據(jù)現(xiàn)有樣本計算某一樣本的秩和，記為Robs，稱Robs為秩和的臨界值，然后根據(jù)該分布求出大于或等于Robs的頻率，即為p值。該方法稱為exact permutation test(簡稱EPT)。然而當(dāng)樣本量較大時往往由于組合數(shù)太多(當(dāng)n1=n2=10時組合數(shù)為C1020=184756)難以獲得秩和的確切分布，此時EPT方法難以實現(xiàn)。因此，在樣本量較大時，秩和檢驗將檢驗統(tǒng)計量近似服從正態(tài)分布，利用矩法估計求出其參數(shù)(下稱正態(tài)近似法)，這將產(chǎn)生一定的誤差。此外，當(dāng)樣本存在相同秩次較多時，要求對檢驗統(tǒng)計量進(jìn)行校正，這不僅增加計算難度且進(jìn)一步增大誤差〔1－2〕。EPT的一個替代方法是:利用軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，通過基于樣本的大量重復(fù)的隨機(jī)組合，得到某一樣本秩和的近似抽樣分布，即對所有可能的組合進(jìn)行隨機(jī)抽樣后計算抽樣秩和大于臨界秩和的頻率，稱之為RPT〔3〕，該方法的關(guān)鍵步驟如下:

1. 建立假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)，H0:μ1= μ2，H1:μ1＞μ2，α =0.05(單側(cè)檢驗);

2.計算現(xiàn)有檢驗統(tǒng)計量Robs;

3.構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量R，在H0假設(shè)成立的條件下，利用軟件從兩樣本構(gòu)成的總體中抽取與樣本容量相同的樣本，并計算其秩和，反復(fù)進(jìn)行該步驟得到檢驗統(tǒng)計量的經(jīng)驗抽樣分布;

實例應(yīng)用與Matlab實現(xiàn)

為研究兩位化驗員讀得某種液體黏度讀數(shù)的差異，現(xiàn)對同一液體進(jìn)行重復(fù)讀數(shù)，數(shù)據(jù)見表1，試判斷兩化驗員讀數(shù)是否有差異(α=0.05)〔1〕。

表1 A、B兩位化驗員讀數(shù)結(jié)果

解:H0:μ1= μ2，H1:μ1＞ μ2，其中 μ1，μ2分別為兩總體的均值。

由題中數(shù)據(jù)可知n1=10，n2=11，將第一組秩和定為檢驗統(tǒng)計量，Robs=121。用RPT模擬100000次，即從上述兩組的21個數(shù)值中有放回地隨機(jī)抽取10個數(shù)值，重復(fù)進(jìn)行100000次，求這10個數(shù)的秩和RA大于Robs的頻率。筆者編寫了相應(yīng)的Matlab程序?qū)崿F(xiàn)該方法，程序及注釋如下:

a=［82 73 91 84 77 98 81 79 87 85］;

b=［80 76 92 86 74 96 83 79 80 75 79］;%數(shù)據(jù)錄入

n1=length(a);n2=length(b);n=n1+n2;%數(shù)據(jù)量統(tǒng)計

c=［a，b;ones(1，n)〕］;

［，，stats］=ranksum(a，b);%計算秩和

rank1=stats.ranksum;%計算Robs

m=100000;%模擬次數(shù)

t=0;rank0=zeros(1，m);%數(shù)據(jù)清零

for k=1:m

d=randperm(n);%生成1-21個隨機(jī)排列的整數(shù)

for k0=1:n1

rank0(k)=rank0(k)+c(2，d(k0));% 隨機(jī)抽取10個數(shù)并求其秩和

end

if rank0(k)＞rank1

t=t+1;%統(tǒng)計超過臨界秩和的數(shù)目

end

end

p=t/m;%超過臨界秩和的頻率

通過運行該程序，得到p=P(R≥Robs)=0.21811，p值均大于0.05，故接受H0，認(rèn)為兩位化驗員所測得的數(shù)據(jù)無顯著差異。若使用EPT方法進(jìn)行全排列，所有組合將達(dá)到C1021=352716種，且隨著樣本量的增加EPT方法運算次數(shù)還將呈幾何數(shù)增長，故EPT方法在實踐中是難以實現(xiàn)的。對上述程序進(jìn)行適當(dāng)修改后我們可以得出該問題的確切概率p'=P(R≥Robs)=0.2181239，RPT方法與之相比相對誤差只有0.0063626%。若使用傳統(tǒng)方法，求得的概率 p″=0.21891，此時相對誤差達(dá)到了0.36%，是RPT方法的近60倍。當(dāng)P值較小時，傳統(tǒng)方法的相對誤差還將進(jìn)一步增大。由此我們可知RPT方法較傳統(tǒng)方法減少了誤差，較EPT方法減少了運算次數(shù)，且該方法可根據(jù)實際情況適當(dāng)調(diào)整抽樣次數(shù)，以達(dá)到增加精度或減少計算量的目的。

結(jié) 論

在樣本量較大、總體分布未知，沒有其他合適方法進(jìn)行兩樣本均值比較時，可以使用秩和檢驗來進(jìn)行統(tǒng)計推斷〔4－6〕。在應(yīng)用RPT方法進(jìn)行秩和檢驗時需注意如下幾個問題:

1．秩和檢驗作為一種非參數(shù)檢驗，由于不依賴資料的分布類型，故適用范圍廣泛，尤其在等級資料的分析中有較高的功效。

2．編秩時相同值要取平均秩次，否則將使秩和的臨界值發(fā)生錯誤，影響最終結(jié)果。

3．模擬誤差來源于Monte Carlo模擬抽樣。理論上，無限次的模擬將會完全消除模擬誤差，但顯然這是不可能也沒有必要的。因此確定模擬誤差足夠小并且計算可行的RPT抽樣次數(shù)是有效控制模擬誤差的必要步驟〔3〕。

4．由于程序運行中要用到隨機(jī)數(shù)，最終的結(jié)果有一定的誤差，因此建議反復(fù)運行程序，待結(jié)果相對穩(wěn)定時再下結(jié)論。

RPT作為EPT的一種近似方法，具有使用方便、誤差小、執(zhí)行效率高的優(yōu)點，對出現(xiàn)較多相同秩次時處理能力較強，是一種有效提高秩和檢驗效率的好方法。

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