張 淼， 于 瀾， 鞠 偉

（1.長春工程學院 理 學院，吉林 長 春 130012；2.中國第一汽車股份有限公司 技 術中心，吉林 長 春 130011）

0 引 言

大型空間柔性結構振動的一個主要特點就是固有頻率低而且密集，其中一個難點就是如何控制輕阻尼的模態(tài)密集型結構，常見的方法是將密集模態(tài)處理成為重頻模態(tài)來研究控制器的設計［1－4］。由于頻率密集時，對應的單個模態(tài)往往呈現(xiàn)病態(tài)，極可能出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，所以很難確定，因此單特征值的靈敏度分析方法已不適用［5－7］。而對于完備的重頻系統(tǒng)，特征子空間是良態(tài)的，容易確定，并可用于計算其相應的靈敏度。當把重頻系統(tǒng)得到的控制規(guī)律應用到密頻系統(tǒng)時，必須考慮由此產(chǎn)生的誤差及重頻模態(tài)的敏感性問題。

文獻［8］分析了模態(tài)不穩(wěn)定性對密頻系統(tǒng)控制性能的影響及溢出問題，并給出了密頻系統(tǒng)的參數(shù)自調(diào)整模糊振動控制方法。文獻［9］研究了重頻系統(tǒng)狀態(tài)估計器的方法。文獻［10］給出了密頻子空間可控度和可觀度的小參數(shù)方法。

目前用全模態(tài)方法分析密集模態(tài)敏感性問題仍未妥善解決，本文通過引入松弛因子的技術建立重頻系統(tǒng)模態(tài)靈敏度算法，進而分析了重頻、密頻模態(tài)對靈敏度矩陣的影響程度。

1 完備系統(tǒng)的靈敏度分析

對N自由度的線性振動系統(tǒng)，即

其中，M、C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，它們并沒有強加傳統(tǒng)的對稱正定條件的限制，但假定M－1存在。

對第i個特征對（λi，ui），λi是第i個復特征值，ui是相應于λi的復特征向量，并滿足方程Mui＋λiCui＋Kui＝0（?i＝1，…，2N）。

假設系統(tǒng)（1）可以被一系列m個設計參數(shù)g＝（g1，g2，…，gm）T所描述，這里gi可以是梁截面、板厚度等參數(shù)，g稱為設計向量，則M、C和K可以都是關于設計向量g的函數(shù)。當系統(tǒng)修改時，設計向量g發(fā)生擾動，記

其中，Δgi（i＝1，…，m）是第i個設計參數(shù)的擾動量。記ui擾動后的形式為，取其線性部分，得

其中，［▽ui］＝［ui，1，ui，2，…，ui，m］為N×m階矩陣，稱為特征向量靈敏度矩陣，ui，j＝?ui／?gj表示ui對第j個參數(shù)gj的變化率。

為了確定靈敏度矩陣，需分別計算得到ui，j（j＝1，…，m）。

由于系統(tǒng)（1）的狀態(tài)矩陣為：

則相應的特征問題為：

定義：

利用完全的狀態(tài)空間系統(tǒng)展開定理，有

其中，φk為矩陣A的特征空間的基底為展開系數(shù)。文獻［11］給出了單特征值系統(tǒng)的靈敏度分析的展開式系數(shù)的計算公式，但由于其公式的分母中含有λi－λk項，所以當系統(tǒng)對應重頻或密頻狀態(tài)時，此類計算公式將會失效。

將（5）式兩邊關于第j個參數(shù)gj求導，得

整理得：

將（7）式代入（9）式，有

或寫成：

其中

這里λi，j、φi及A，j為已知，當系統(tǒng)（1）完備時，模態(tài)矩陣Φ可逆，則（10）式可表示為：解耦（11）式，可分別計算求解得到系數(shù)，將其代回（7）式，并取其前N維就得到了模態(tài)靈敏度向量ui，j。

2 松弛因子的選取原則

由于（11）式中對角矩陣J奇異，若λk（k＝1，…，2N）為單特征值時，秩數(shù)rank（J）＝2N－1，因此，（11）式為亞定方程組或超定方程組，其解始終無法唯一確定，甚至可能無解。

為了解決這個問題，對于固定的k引入松馳因子ω（ω＞0），令

代入（11）式，得

實驗組總體健康、生理功能、社會功能、活力、生理職能、情感職能、軀體疼痛和精神健康方面和對照組實驗數(shù)據(jù)間均存在著明顯的差異,且P<0.05,具備統(tǒng)計學分析意義。見表1。

若λk為m重特征值，而其他特征值均為單特征值時，秩數(shù)rank（J）＝2N－m，此時系數(shù)對角陣J中會出現(xiàn)m個零對角元，（11）式中就有m個組合系數(shù)（d＝1，…，m）不能確定。用類似前面的分析方法，引入松弛因子ω，顯然當i≠k時的系數(shù)是精確的，而i＝k對應的系數(shù)是要通過簡單優(yōu)化近似得到的，這時最佳松弛因子ω＊收斂準則可選擇為：

其中，ηtol為允許誤差界。由于對角陣的解耦性能，這種方法對其他系數(shù)（m≠k）的求解不會產(chǎn)生任何影響。

3 敏感模態(tài)的變化規(guī)律分析

由（12）式可知，當ω較小時，特征子空間即為密頻子空間，ω→0的過程，正是由密頻至重頻的轉換過程，（7）式中的組合系統(tǒng)可以反映模態(tài)敏感狀態(tài)。從（13）式可以看出，當ω越小時的值相對而言就會越大，與它對應的模態(tài)在靈敏度中的貢獻就會越大。

由此分析可知，重頻模態(tài)具有高度的敏感性，它們相對于其他頻率模態(tài)而言對靈敏度的貢獻最大，這是因為它們在靈敏度的線性組合式中的組合系統(tǒng)的權重最大。

而對于密頻系統(tǒng)，隨著頻率密集程度的增加，密集模態(tài)的敏感性程度提高。

4 數(shù)值算例

4.1 模態(tài)敏感性分析算例

在一個5－自由度的質(zhì)量彈性阻尼系統(tǒng)中，假設只在垂直方向上產(chǎn)生振動，如圖1所示。

圖1 5－自由度非比例阻尼系統(tǒng)

系統(tǒng)質(zhì)量陣的元素為：

阻尼矩陣的元素與剛度矩陣的元素有類似的形式。例如，c11＝c1；c12＝ －c1；c13＝c14＝c15＝0；c22＝c1＋c2，等。

對應初始系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A，求得初始系統(tǒng)的特征值，見表1所列。

表1 初始系統(tǒng)的特征值

從表1中可以看出，第7、第9和第8、第10為2對復數(shù)的重特征值。為便于說明，本文以重特征值第7和第9個為例，設計變量取k5，變化率為Δk5／k5＝0.01，求解其特征向量靈敏度。

根據(jù)（11）式，J是秩數(shù)為2N－2的對角陣，其主對角元見表2所列。

表2 矩陣J的主對角元

通過求解單個解耦方程，直接計算出J方程組中除第7個和第9個以外的所有展開系數(shù)7，9）。而為計算a（ij）7、a（ij）9，根據(jù)本文提出的引入松弛變量ω技術，就可得到全部展開式系數(shù)a（ij）k。表3所列給出了松弛因子ω＝0時的精確解和ω＝1，0.1，0.000 1所得到的解。

表3 靈敏度系數(shù)對比

從表3中可以看出，當m≠7，9時，引入松弛變量后所得到的新解中與精確解中完全一致，而隨著ω的變化與的變化也呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律，即ω越小與的數(shù)值越大，這說明其對應模態(tài)的敏感性越強，在系統(tǒng)攝動量中的貢獻就越大。

4.2 模態(tài)靈敏度分析算例

考慮文獻［9］中給出的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)

其中，k1＝0.95；k2＝k3＝…＝k10＝0.03；k11＝1.05；m1＝m2＝…＝m10＝1.0，每個頻率的自然阻尼系數(shù)都為0.05。

用有限元方法提取系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣后，經(jīng)計算得到初始系統(tǒng)的前10個特征值和以k11為設計參數(shù)，用本文方法所得到的前10階模態(tài)靈敏度近似值，結果見表4所列，表4中，‖ui，k11‖為模態(tài)靈敏度值。

從表4中可以看出，系統(tǒng)的第9及第10特征值十分接近而構成一個密集頻率子空間，并由本文所得到的靈敏度值可知，第9階與第10階模態(tài)關于參數(shù)k11的振動穩(wěn)定性較差，這與文獻［9］中的結論一致。

表4 系統(tǒng)特征值及模態(tài)靈敏度值

5 結束語

由于重頻或密頻的影響，在模態(tài)靈敏度算法中需要求解一種可能為亞定或超定方程組，但由于其系統(tǒng)陣已化為對角陣，所以很容易分析其性態(tài)。本文通過引入松弛因子的技術，提出一種精確而簡便的求解亞定或超定方程組的方法，并給出其收斂準則及誤差估計方法。該方法不僅適用于單頻系統(tǒng)，還適用于重頻系統(tǒng)的靈敏度分析，為密頻系統(tǒng)的振動控制等研究工作提供了良好的理論模型。

通過重頻系統(tǒng)的靈敏度分析，得到了重頻模態(tài)具有高度敏感性的結論，它們相對于其他頻率模態(tài)而言對靈敏度的貢獻最大。而對于密頻系統(tǒng)，隨著頻率密集程度的增加，其模態(tài)的敏感性程度也隨之提高。數(shù)值算例驗證了該方法的有效性。

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