劉玉海，凌建明，杜 浩

（同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201804）

馬爾可夫過程是當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的道面使用性能概率預(yù)測模型，能夠以概率的形式模擬道面使用性能的隨機(jī)衰變特征，其核心內(nèi)容是確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣.對機(jī)場道面而言，不同的道面結(jié)構(gòu)、使用時間、區(qū)域環(huán)境以及交通量水平具有不同的使用性能衰減特征，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣也是不同的［1］.傳統(tǒng)建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的方法，主要包括經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法、回歸方法以及非線性優(yōu)化方法等［2］，雖在一定的條件下能滿足工程要求，但隨研究深入其不足之處日益受到關(guān)注.傳統(tǒng)方法均以靜態(tài)轉(zhuǎn)移過程假設(shè)為前提，認(rèn)為馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣不隨時間變化而變化，與實(shí)際衰變模式不符.此外，通常不考慮道面結(jié)構(gòu)、環(huán)境因素、交通荷載以及其他相關(guān)因素對狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的影響，只對單個道面或道面族建模，即以道面性能時間序列數(shù)據(jù)為樣本建立指標(biāo)與使用時間或軸載作用次數(shù)的一元回歸關(guān)系，但需要多年觀測數(shù)據(jù)，對于改（擴(kuò)）建或大修道面，大多難以實(shí)現(xiàn).如果綜合利用多個道面觀測數(shù)據(jù)，必須盡量將各類影響因素作為解釋變量納入回歸方程中分解誤差成分，以降低多道面樣本數(shù)據(jù)回歸分析時的殘差相關(guān)性，從而建立性能指標(biāo)與因素變量之間的多元回歸關(guān)系.但普通多元回歸只能分析連續(xù)變量，無法考慮分類變量（如結(jié)構(gòu)類型、養(yǎng)護(hù)水平等）和隨機(jī)觀測誤差的影響.

針對馬爾可夫模型的缺陷，國內(nèi)外學(xué)者做了很多研究工作.Butt［3］將分析期（30年）分為五段，采用傳統(tǒng)方法分別建立轉(zhuǎn)移概率矩陣.Madanat等將計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中Probit模型［4］和Poisson回歸模型［5］引入設(shè)施管理技術(shù)中，建立設(shè)施性能影響變量與轉(zhuǎn)移概率之間的回歸關(guān)系，得到動態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣.Mishalani等［6］采用持續(xù)時間模型估計(jì)基礎(chǔ)設(shè)施狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率.Yang等［7］采用二分類Logistic回歸模型，考慮養(yǎng)護(hù)水平、道路使用時間、交通量等因素與瀝青路面開裂概率的線性關(guān)系，得到動態(tài)反饋馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣，實(shí)現(xiàn)瀝青路面開裂指數(shù)的概率預(yù)測.Li利用AASHTO測試數(shù)據(jù)，采用次序Probit模型建立路面使用性能動態(tài)概率預(yù)測模型［8］.Chua等［9］以路面材料疲勞模型為基礎(chǔ)，通過分析結(jié)構(gòu)失效率，建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣.雖然以上概率方法通過多元回歸技術(shù)，同時將連續(xù)變量和分類變量納入到模型中，分析多因素對道面使用性能的影響，建立道面使用性能狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率與因素變量之間的總體平均模型，進(jìn)一步提高多元回歸模型的精度，但無法考慮不同區(qū)域多個道面之間和單個道面內(nèi)可觀測自變量無法解釋的潛在隨機(jī)誤差，忽視總體期望與個體特性的差異，從而影響估計(jì)精度［10］.尤其在構(gòu)建國內(nèi)機(jī)場道面使用性能概率預(yù)測模型時，觀測數(shù)據(jù)覆蓋面廣、離散性高、連續(xù)性差，既要考慮針對單個道面建模時觀測時間序列數(shù)據(jù)不足和采用傳統(tǒng)方法的困難，又要考慮采用不同區(qū)域多個道面的觀測數(shù)據(jù)交叉建模時，如何減少來自多個抽樣總體的數(shù)據(jù)間不可觀測的異質(zhì)性.因此，本文將借鑒前人研究成果，以Logistic回歸模型為基礎(chǔ)，考慮隨機(jī)效應(yīng)作用，采用廣義線性混合效應(yīng)模型對多道面數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，降低總體異質(zhì)性，構(gòu)建動態(tài)馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，以達(dá)到更好的預(yù)測效果.

1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

假設(shè)系統(tǒng)所處的狀態(tài)有n種，任意時刻系統(tǒng)處于各種狀態(tài)的概率分布記為

定義系統(tǒng)從狀態(tài)i經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率為一步轉(zhuǎn)移概率，那么具有n種狀態(tài)的系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率就構(gòu)成了系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，其形式如下：

為了較好地反映機(jī)場道面使用性能的衰變過程，將道面PCI離散為由優(yōu)、良、中、次、差（1～5）五個狀態(tài)組成的狀態(tài)空間.然后確定每個狀態(tài)對應(yīng)的區(qū)間及區(qū)間中值，并作如下假設(shè)：在日常維修養(yǎng)護(hù)條件下，道面使用性能由低水平狀態(tài)向高水平狀態(tài)轉(zhuǎn)移的情況不會發(fā)生，即當(dāng)i＞j時pij＝0；在一年時間以內(nèi)其使用性能等級不會下降太快，可近似認(rèn)為道面使用性能衰變只發(fā)生在兩個等級之間，即當(dāng)（j－1）≥2時pij＝0.道面狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣可表示為

2 普通和混合效應(yīng)Logistic模型的建立

2.1 普通Logistic模型的建立［11］

假設(shè)在一定外界條件的影響下，有一個理論上存在的連續(xù)反應(yīng)變量Uin，其值域?yàn)樨?fù)無窮至正無窮.該連續(xù)反應(yīng)變量與外界影響的關(guān)系是線性的、確定的，滿足線性模型

式中：Uin為道面區(qū)域n在狀態(tài)i時的虛擬變量，它反映觀測對象狀態(tài)變化的內(nèi)在趨勢，但并不能被直接觀測或測量；Xn是道面區(qū)域n的外界影響因素向量，也是自變量；βi是狀態(tài)i下的回歸方程系數(shù)向量；εin是誤差項(xiàng).

由于虛擬變量無法測量，因此無法直接對以上回歸方程進(jìn)行估計(jì)，但在每一時刻道面所處的狀態(tài)等級，以及觀測周期內(nèi)道面狀態(tài)等級的變化是可以觀測到的.設(shè)yin為道面狀態(tài)等級發(fā)生轉(zhuǎn)移的指示變量，如果道面狀態(tài)等級在一定的時間周期內(nèi)由i狀態(tài)變化為j狀態(tài)，則yin記錄該事件的發(fā)生，yin＝j(luò)i.由于道面使用性能狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只發(fā)生在兩個等級之間，對于任意一個道面單元，經(jīng)歷一年的使用后，其使用性能要么仍停留在原來狀態(tài)等級，要么衰變到下一個狀態(tài)等級，由此構(gòu)成了兩種狀態(tài)的二分類問題.Uin代表事件發(fā)生的概率，當(dāng)該變量的值跨越臨界點(diǎn)c，便導(dǎo)致事件發(fā)生.為了計(jì)算方便，通常取c＝0，于是有

情況1：當(dāng)Uin≤0，yin＝0代表事件未發(fā)生，即道面性能狀態(tài)未發(fā)生轉(zhuǎn)移.

情況2：當(dāng)Uin＞0，yin＝1代表事件發(fā)生，即道面性能狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)移.

可得到事件發(fā)生的概率為

假設(shè)誤差項(xiàng)εin服從Logistic分布，即分布函數(shù)如下式所示：

則道面使用性能狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)移和不發(fā)生轉(zhuǎn)移的概率為

由于Logistic模型是一種廣義的線性模型，具有非線性模型特征，因此，該模型的參數(shù)估計(jì)采用極大似然法.借助于計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)參數(shù)βi的估計(jì)，將其代入到式（4）或（5）中可獲得道面不同狀態(tài)下轉(zhuǎn)移概率.

2.2 混合效應(yīng)Logistic模型的建立

回歸模型中的誤差項(xiàng)εin至少可分為兩個層面，即多個道面或道面族之間結(jié)構(gòu)參數(shù)、環(huán)境因素、交通荷載等自變量觀測引起的層間誤差以及單個道面使用性能時間序列數(shù)據(jù)觀測的層內(nèi)誤差.普通Logistic回歸模型對此沒有選擇，只能分析可觀測的自變量對應(yīng)變量的固定效應(yīng)，加大了殘差成分的相關(guān)性，影響模型精度.混合效應(yīng)Logistic模型認(rèn)為回歸系數(shù)是隨機(jī)變動的，個體模型的回歸系數(shù)是總體模型隨機(jī)的樣本，將隨機(jī)效應(yīng)引入模型參數(shù)中.模型中同時包含了固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)，固定效應(yīng)反映了可觀測的自變量對應(yīng)變量的固定影響，而隨機(jī)效應(yīng)反映個體內(nèi)和個體間不可觀測的變異，進(jìn)一步分解總體方差，可以提高精度.混合效應(yīng)Logistic回歸模型［12］的基本形式為

式中：X，Z分別為固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)設(shè)計(jì)矩陣；β，b為模型的固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)參數(shù)向量，認(rèn)為隨機(jī)效應(yīng)b滿足均值為零、方差矩陣為G的正態(tài)分布，記為bi～N（0，G）.當(dāng)隨機(jī)效應(yīng)不存在時，線性混合效應(yīng)模型就退化為線性模型.

需要指出的是，混合效應(yīng)模型采用迭代估計(jì)算法，不僅可得到固定效應(yīng)估計(jì)值建立總體平均模型，還可以得到隨機(jī)效應(yīng)bi估計(jì)值＾bi，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)源中任意個體道面的性能預(yù)測.不但減少了傳統(tǒng)建模方法的工作量，而且克服了少數(shù)道面?zhèn)€體因觀測數(shù)據(jù)不足帶來的建模困難.

3 模型應(yīng)用分析

3.1 模型函數(shù)

為介紹混合效應(yīng)Logistic回歸模型應(yīng)用方法.采用我國華東區(qū)機(jī)場水泥道面實(shí)測PCI數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.考慮到機(jī)場所處的氣候環(huán)境和養(yǎng)護(hù)水平相似、道面結(jié)構(gòu)類型相同，根據(jù)數(shù)據(jù)組信息，以道面結(jié)構(gòu)厚度、年起降架次、道面使用時間以及當(dāng)前等級狀態(tài)為解釋變量建立Logistic模型函數(shù)，如下式所示：

式中：β0，β1，β2，β3，β4為模型參數(shù)；N為年起降架次；H為道面結(jié)構(gòu)厚度，cm；t為道面使用年限，a；C為道面當(dāng)前所處的狀態(tài)等級.

混合效應(yīng)Logistic模型是普通Logistic模型的延伸，通常有兩類混合效應(yīng)Logistic回歸模型可以被擬合，一類是隨機(jī)截距模型，一類是隨機(jī)截距和隨機(jī)系數(shù)模型.結(jié)合以上分析，分別建立兩類混合效應(yīng)Logistic回歸模型如下：

3.2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果分析

以16組剛性道面PCI觀測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用統(tǒng)計(jì)軟件實(shí)現(xiàn)混合效應(yīng)Logistic回歸模型的參數(shù)估計(jì)，分別得到兩類效應(yīng)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果及精度檢驗(yàn)結(jié)果，如表1，2所示.表中擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量分別為：似然值對數(shù)（－2Log Likelihood）、赤池信息（AIC）、改進(jìn)赤池信息（AICC）、貝葉斯信息（BIC）以及分別由Cox ＆Snell，Nagelkerke提出的類R2統(tǒng)計(jì)指標(biāo).

由表1可見，兩類模型中固定效應(yīng)均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，且估計(jì)值非常接近.而隨機(jī)截距和斜率模型中隨機(jī)截距項(xiàng)b0有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，但時間變量的隨機(jī)斜率b1沒有統(tǒng)計(jì)意義，概率為0.823 7，說明個體模型在時間系數(shù)上沒有顯著差異但個體間存在異質(zhì)性，而且該異質(zhì)性可由個體隨機(jī)效應(yīng)進(jìn)行解釋.顯然普通Logistic回歸模型無法對誤差項(xiàng)進(jìn)行分解，通常一些與自變量相關(guān)的隨機(jī)系數(shù)項(xiàng)直接進(jìn)入殘差中，從而導(dǎo)致殘差相關(guān)，違背殘差獨(dú)立同分布的假設(shè)，進(jìn)而影響模型參數(shù)估計(jì)可靠性和預(yù)測結(jié)果.

表2中數(shù)據(jù)表明，混合效應(yīng)Logistic模型的擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量AIC，AICC和BIC越小則擬合越優(yōu)，－2Log Likelihood相同.結(jié)合隨機(jī)效應(yīng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果，認(rèn)為隨機(jī)截距模型更佳.

由表1中固定效應(yīng)估計(jì)結(jié)果得到道面性能狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)移的優(yōu)勢比為

截距β0為基準(zhǔn)優(yōu)勢比的對數(shù)，即沒有任何變量存在時所產(chǎn)生的優(yōu)勢比，exp（β0）＝0.003說明在無固定效應(yīng)影響下道面狀態(tài)將以極小的優(yōu)勢比例發(fā)生轉(zhuǎn)移.β1＝2.239為交通量變化系數(shù)，系數(shù)符號為正且exp（β1）＝9.384，說明年起降架次每增加10倍，道面使用性能狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)移的概率優(yōu)勢將增加9.384倍.與此相反，道面厚度系數(shù)β3＝－0.187符號為負(fù)且exp（β3）＝0.829，即道面面層厚度每增加1cm時，相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移發(fā)生優(yōu)勢比例將下降0.829倍.C回歸系數(shù)符號為負(fù)，反映了道面由高等級狀態(tài)向低等級狀態(tài)轉(zhuǎn)移的趨勢和規(guī)律.

表1 兩類混合模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.1 Parameter estimation for effect of two mixed Logistic models

表2 兩類混合模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)表Tab.2 Goodness－of－fit test of two mixed effects Logistic model

圖1和圖2給出了三種不同交通量和道面厚度條件下，道面使用性能在等級3狀態(tài)下的轉(zhuǎn)移概率隨時間變化關(guān)系圖.如圖可見，道面衰變速率隨交通量增加而加快，隨道面厚度的增加而相應(yīng)減慢；道面狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)移的概率隨道面使用時間的增長而逐漸增大，直至道面由當(dāng)前狀態(tài)全部下降到一個狀態(tài)，與道面性能實(shí)際衰變規(guī)律相符.

圖3和圖4為不同交通量和道面厚度下，道面性能狀態(tài)不發(fā)生變化的概率與狀態(tài)等級關(guān)系圖.從圖中可見，道面性能狀態(tài)越優(yōu)時，轉(zhuǎn)移概率越大，反映道面狀態(tài)由高等級逐漸向低等級發(fā)生轉(zhuǎn)移的過程.同時由于道面處于低等級狀態(tài)時日常養(yǎng)護(hù)活動的干預(yù)，降低了道面狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率.

圖1 不同交通量下概率與時間關(guān)系圖Fig.1 Probability changes over ages at different traffic levels

圖5和圖6為道面狀態(tài)概率曲線圖，由圖可見各等級上道面使用性能狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨時間的動態(tài)變化呈相似的非線性特征，其主要差異體現(xiàn)為狀態(tài)發(fā)生顯著變化時所對應(yīng)時間區(qū)間不同.這一點(diǎn)符合道面使用性能等級劃分及逐步遞減的規(guī)律.由概率曲線可獲得任意時刻和狀態(tài)下道面狀態(tài)變化的概率值，從而確定動態(tài)馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣.

3.3 擬合效果分析

為分析混合效應(yīng)Logistic回歸模型的應(yīng)用效果和優(yōu)勢，將其與普通Logistic回歸模型進(jìn)行對比.采用同一組數(shù)據(jù)源估計(jì)式（9）中模型參數(shù)如表3所示.

表3 普通Logistic回歸模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.3 Parameter estimation for Logistic model

對比表1和表3不難看出，普通Logistic模型與混合效應(yīng)Logistic模型中固定效應(yīng)參數(shù)估計(jì)值符號一致但絕對數(shù)值上相差較大.這說明兩類模型反映的道面特征變量對狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的影響規(guī)律相同，同時多區(qū)域道面使用性能觀測數(shù)據(jù)組內(nèi)不可觀測的異質(zhì)性將導(dǎo)致總體平均模型參數(shù)估計(jì)出現(xiàn)一定的偏差，進(jìn)而影響馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣及其預(yù)測效果.總體而言，隨機(jī)效應(yīng)模型得到的參數(shù)估計(jì)，考慮了模型中自變量無法解釋的不可觀測的變異，更適合分析道面?zhèn)€體的性能狀態(tài)變化特征.相對而言，混合效應(yīng)模型中截距的負(fù)向增大導(dǎo)致道面狀態(tài)轉(zhuǎn)移的總體速率減小，但由于時間系數(shù)的增大，狀態(tài)轉(zhuǎn)移事件發(fā)生的時間區(qū)域?qū)⒏鼮榧?，速度更?

分別采用表1和表3中固定效應(yīng)估計(jì)值建立馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣后，如已知道面使用性能的初始狀態(tài)即可實(shí)現(xiàn)PCI狀態(tài)等級（C）和PCI值的預(yù)測，公式如下：

式中：Y（t0）為初始狀態(tài)分布概率；Y（t）為預(yù)測狀態(tài)分布概率；Pk為某時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣；mi為狀態(tài)等級i區(qū)間中值；ci為狀態(tài)等級i區(qū)間中值.

取初始狀態(tài)向量Y（t0）＝［1 0 0 0 0］，應(yīng)用式（10）分別計(jì)算得到對應(yīng)道面狀況指數(shù)PCI的確定型預(yù)測值和狀態(tài)等級C.圖7和圖8分別為應(yīng)用混合效應(yīng)Logistic模型與普通Logistic模型得到道面狀況指數(shù)PCI概率預(yù)測案例，由于道面狀態(tài)等級為離散變量，圖中分別繪制了ci取區(qū)間中值以及區(qū)間上、下限時的預(yù)測曲線.

圖7 PCI動態(tài)預(yù)測圖（普通Logistic模型）Fig.7 Dynamic prediction of PCI（Logistic model）

圖8中部分PCI觀測值超出了上限曲線范圍，而圖7中PCI觀測值基本落在預(yù)測區(qū)間內(nèi)，相比而言混合效應(yīng)模型預(yù)測效果更佳.

道面使用性能狀態(tài)等級C觀測值（橫軸）與預(yù)測值（縱軸）對比情況結(jié)果如圖9和圖10所示.圖中預(yù)測值與觀測值之間具有良好的線性相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)分別為0.823和0.871，同時混合效應(yīng)模型得到的預(yù)測結(jié)果離散性較小.可見應(yīng)用混合效應(yīng)模型得到的道面使用性能馬爾可夫概率擬合效果更優(yōu).

4 結(jié)論

本文討論了應(yīng)用廣義線性混合效應(yīng)模型建立馬爾可夫過程中狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的方法和效果.通過以上分析，主要得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）混合效應(yīng)Logistic模型能夠建立道面厚度H、交通量logN、道面使用時間t及當(dāng)前狀態(tài)等級C等因素變量與道面性能狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率之間的回歸關(guān)系，獲得非齊次馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣，從而實(shí)現(xiàn)道面使用性能的動態(tài)概率預(yù)測.

（2）兩類混合效應(yīng)Logistic模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果表明，模型中隨機(jī)效應(yīng)bi均具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，說明道面?zhèn)€體數(shù)據(jù)之間存在不可觀測的異質(zhì)性.普通Logistic模型對此沒有選擇，直接將其視為總體誤差，進(jìn)而增大了殘差相關(guān)性，影響參數(shù)估計(jì)的可靠性.由此可見，混合效應(yīng)模型更適合多道面觀測數(shù)據(jù)分析.

（3）普通Logistic回歸模型和混合效應(yīng)模型中固定效應(yīng)參數(shù)估計(jì)值符號一致但絕對數(shù)值上相差較大.一方面說明兩類模型反映的道面特征變量對狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的影響規(guī)律相同；另一方面進(jìn)一步說明多區(qū)域道面使用性能觀測數(shù)據(jù)組內(nèi)不可觀測的異質(zhì)性將導(dǎo)致模型參數(shù)估計(jì)出現(xiàn)偏差，因此不容忽視.

（4）相比而言，采用混合效應(yīng)Logistic模型建立的馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣具有更好的擬合效果.PCI預(yù)測曲線與觀測曲線較為接近，觀測值基本落在預(yù)測區(qū)間內(nèi)；道面狀態(tài)等級（C）預(yù)測值和觀測值相關(guān)系數(shù)由0.823提高到0.871.

［1］ Shahin M Y.Pavement management for airports，roads，and parking lots［M］.New York：Springer，2005.

［2］ Ortiz－García J J，Costello S B，Snaith M S.Derivation of transition probability matrices for pavement deterioration modeling［J］.Journal of Transportation Engineering，2006，132（2）：141.

［3］ Butt A A.Application of Markov process to pavement management systems at the network level［D］.Urbana－Champaign：University of Illinois，1991.

［4］ Madanat S，Mishalani R，Ibrahim W H W.Estimation of infrastructure transition probabilities from condition rating data［J］.Journal of Infrastructure Systems，1995，1（2）：120.

［5］ Madanat S，Wan Ibrahim W H.Poisson regression models of infrastructure transition probabilities［J］.Journal of Transportation Engineering，1995，121（3）：267.

［6］ Mishalani R G，Madanat S M.Computation of infrastructure transition probabilities using stochastic duration models［J］.Journal of Infrastructure Systems，2002，8（4）：139.

［7］ Yang Jidong，Gunaratne M，Lu Jian John，et al.Use of recurrent Markov chains for modeling the crack performance of flexible pavements［J］.Journal of Transportation Engineering，2005，131（11）：861.

［8］ LI Zheng.A probabilistic and adaptive approach to modeling performance of pavement infrastructure［D］.Austin：University of Texas at Austin，2005.

［9］ Chua K H，Monismith C L.Mechanistic model for transition probabilities［J］.Journal of Transportation Engineering，1994，120（1）：144.

［10］ HONG Feng.Modeling heterogeneity in transportation infrastructure deterioration：application to pavement［D］.Austin：University of Texas at Austin，2007.

［11］ Hosmer D W，Lemeshow S.Applied Logistic regression［M］.Hoboken：John Wiley ＆Sons，Inc，1989.

［12］ Heagerty P J.Marginally specified Logistic－normal models for longitudinal binary data［J］.Biometrics，1999，55（3）：688.